11.1.2 三角形的高、中線與角平分線

第十一章三角形11．1與三角形有關(guān)的線段11.1.2三角形的高、中線與角平分線學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握三角形的高，中線及角平分線的概念.（重點）2.掌握三角形的高，中線及角平分線的畫法.3.掌握鈍角三角形的兩短邊上高的畫法.（難點）重點：掌握三角形的高，中線及角平分線的概念.難點：鈍角三角形的兩短邊上高的畫法.自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí)一、知識鏈接1.如圖按要求作圖：PAABOB（1）在左圖中，過點P作線段AB的垂線PD；作出線段AB的中點E，則有____=_____.（2）在右圖中，作出∠AOB的平分線，則有∠_____=∠_____=____∠AOB.二、新知預(yù)習(xí)1.三角形的高：（1）小學(xué)我們已經(jīng)學(xué)過三角形的高，如圖①，過點A向它的對邊畫垂線，作出△ABC的高AD.（2）自主歸納：①從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點與垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高.②一個三角形有______條高，請在圖①中作出△ABC的另外兩條高.③三角形的高是一條_______.2.（1）如圖②，連接△ABC的頂點A和它的邊BC的中點D，類比三角形高線的定義，則所得的線段AD叫做△ABC的邊BC上的_____線，畫出△ABC其他的兩條中線.（2）自主歸納：①在三角形中，連接一個頂點與它對邊的中點的線段，叫做這個三角形的中線.②一個三角形有_____條中線，每條中線都是一條______.3.三角形的角平分線：（1）如圖③，你能用同樣的方法畫出任意一個三角形的一個內(nèi)角的平分線嗎?（2）自主歸納①三角形角平分線定義：________________________.②三角形的角平分線與角的平分線的區(qū)別是：______________.③一個三角形有_______條角平分線.4.幾何語言表示三角形的高、中線、角平分線幾何推理圖例三角形的高∵AD是△ABC的高，∴①____⊥_____，②∠ADB=∠______=______°.三角形的中線∵BF是△ABC的中線，∴①AF=_____=______AC.②AC=____AF=____CF.CB三角形的角平分線∵BE為△ABC的角平分線，∴①∠1=∠_____=____∠ABC.②∠ABC=____∠1=___∠2.三、自學(xué)自測1.按要求畫出下列三角形的中線、高線、角平分線.畫中線AD，BE，CF畫高DG，EH，F(xiàn)M畫角平分線GM，HN，IP四、我的疑惑________________________________________________________________________________________________________________________________課堂探究課堂探究要點探究探究點1：三角形的高問題1：什么是三角形的高？怎樣畫三角形的高？問題2：由三角形的高你能得到什么結(jié)論？探究交流1．銳角三角形的三條高（1）你能畫出這個三角形的三條高嗎？（2）這三條高之間有怎樣的位置關(guān)系？（3）銳角三角形的三條高是在三角形的內(nèi)部還是外部？2．直角三角形的三條高（1）畫出直角三角形的三條高.（2）它們有怎樣的位置關(guān)系？直角邊BC上的高是；直角邊AB上的高是；斜邊AC上的高是.3．鈍角三角形的三條高（1）鈍角三角形的三條高相交嗎？（2）AC邊上的高是哪條線段？AB邊上的高是哪條線段？BC邊上的高是哪條線段？（3）鈍角三角形的三條高交于一點嗎？（4）它們所在的直線交于一點嗎？這點位于何處？歸納三角形的三條高的特性銳角三角形直角三角形鈍角三角形高在三角形內(nèi)部的數(shù)量高之間是否相交高所在的直線是否相交三條高所在直線的交點的位置典例精析例1如圖所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于點D，且AD＝4，若點P在邊AC上移動，求BP的最小值.方法總結(jié):面積法的應(yīng)用：若涉及兩條高求長度，一般需結(jié)合面積（但不求出面積），利用三角形面積的兩種不同表示方法列等式求解.探究點2：三角形的中線問題1如圖，如果點C是線段AB的中點，你能得到什么結(jié)論？問題2如圖，如果點D是線段BC的中點，那么線段AD就稱為△ABC的中線．類比三角形的高的概念，試說明什么叫三角形的中線.想一想由三角形的中線能得到什么結(jié)論？畫一畫如圖，分別畫出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的三條中線，并觀察它們中線的交點有什么規(guī)律？問題3如圖，在△ABC中，AD是△ABC的中線，AE是△ABC的高．試判斷△ABD和△ACD的面積有什么關(guān)系？為什么？問題4通過問題3你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？歸納總結(jié)1.三角形的三條中線相交于一點，三角形三條中線的交點叫做三角形的重心.2.三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分.例2如圖，在△ABC中，E是BC上的一點，EC＝2BE，點D是AC的中點，設(shè)△ABC，△ADF和△BEF的面積分別為S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，求S△ADF－S△BEF的值.方法總結(jié)：三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分；高相等時，面積的比等于底邊的比；底相等時，面積的比等于高的比．探究點3：三角形的角平分線問題1如圖，若OC是∠AOB的平分線，你能得到什么結(jié)論？問題2你能用同樣的方法畫出任意一個三角形的一個內(nèi)角的平分線嗎?問題3一個三角形有幾條角平分線？問題4請畫出這個三角形的另外兩條角平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么？例3如圖，DC平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°，求∠ECD的度數(shù).二、課堂小結(jié)三角形的有關(guān)線段三角形的有關(guān)線段的線段．三角形的中線：在三角形中，連接一個頂點和它對邊中點的線段，三角形的中線把三角形分為面積相等的兩個三角形.三角形的角平分線：三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，連接這個角的頂點與交點的線段.當(dāng)堂檢測當(dāng)堂檢測1．下列說法正確的是（）A．三角形三條高都在三角形內(nèi)B．三角形三條中線相交于一點C．三角形的三條角平分線可能在三角形內(nèi)，也可能在三角形外D．三角形的角平分線是射線2．在△ABC中，AD為中線，BE為角平分線，則在以下等式中：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；③BD=DC；④AE=EC．其中正確的是（）A．①② B．③④ C．①④ D．②③3.如圖，△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB，圖中線段中可以作為△ABC的高的有（）A．2條B．3條C．4條D．5條4.下列各組圖形，哪一組圖形中AD是△ABC的BC邊上的高（） 5.填空：（1）如圖①，AD，BE，CF是△ABC的三條中線，則AB=2，BD=，AE=.（2）如圖②，AD，BE，CF是△ABC的三條角平分線，則∠1=_______，∠3=________，∠ABC=2______.6.如圖，AD是△ABC的中線，CE是△ACD的中線，S△AEC=3cm2，則S△ABC=____.7.在△ABC中，CD是中線，已知BC-AC=5cm，△DBC的周長為25cm，求△ADC的周長.能力提升王大爺有一塊三角形的菜地,現(xiàn)在要將它們平均分給四個兒子,在菜地的一角A處有一口池塘,為了使分開后的四塊菜地都就近取水,王大爺為此很傷腦筋.你能想出什么辦法幫幫王大爺嗎？如果不考慮水源,你認(rèn)為還可以怎樣分?參考答案自主學(xué)習(xí)一、知識鏈接1．解：（1）AEBE如圖，線段PD，點E即為所求.（2）AOCBOC如圖，射線OC即為所求.二、新知預(yù)習(xí)1．解：（1）如圖①（1），線段AD即為所求.（2）②3如圖①（2），線段BE、CF即為所求.③線段2．解：（1）中如圖②，線段BE、CF即為所求.（2）②3線段3．解：（1）如圖③，線段AD即為所求.（2）①三角形一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段②三角形的角平分線是一條線段，角的平分線是一條射線③34．三角形的高：ADBCADC90三角形的中線：CF22三角形的角平分線：222三、自學(xué)自測1．如圖所示即為所求.四、我的疑惑課堂探究一、要點探究探究點1：三角形的高問題1解：定義如圖，從△ABC的頂點A向它所對的邊BC所在直線畫垂線，垂足為D，所得線段AD叫做△ABC的邊BC上的高.問題2解：∠ADB=∠ADC=90°.探究交流1．銳角三角形的三條高問題1解：（1）如圖所示.（2）銳角三角形的三條高交于同一點.(3)銳角三角形的三條高都在三角形的內(nèi)部.2．直角三角形的三條高（1）如圖所示.（2）BDABBC直角三角形的三條高交于直角頂點.3．鈍角三角形的三條高（1）如圖所示.（2）BFCEAD（3）鈍角三角形的三條高不相交于一點.（4）鈍角三角形的三條高所在直線交于一點.并且這個點在三角形外部.歸納311相交相交不相交相交相交相交三角形內(nèi)部直角頂點三角形外部典例精析例1解：根據(jù)垂線段最短，可知當(dāng)BP⊥AC時，BP有最小值．由△ABC的面積公式可知，AD·BC＝BP·AC.代入數(shù)值，可解得BP＝.探究點2：三角形的中線問題1解：AC=BC=AB.問題2解：定義：如圖，連接△ABC的頂點A和它所對的邊BC的中點D，所得線段AD叫做△ABC的邊BC上的中線.想一想解：BD=CD=BC.畫一畫解：如圖，三角形的三條中線交于三角形內(nèi)部一點，這一點我們稱為三角形的重心.問題3解：相等，因為兩個三角形等底同高，所以它們面積相等.問題4解：三角形的中線能將三角形的面積平分.例2解：∵點D是AC的中點，∴AD＝AC.∵S△ABC＝12，∴S△ABD＝S△ABC＝×12＝6.∵EC＝2BE，S△ABC＝12，∴S△ABE＝S△ABC＝×12＝4.∵S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)＝S△ADF－S△BEF，∴S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.探究點3：三角形的角平分線問題1解：∠AOC=∠BOC.問題2解：如圖.想一想解：相同點是：∠ABD=∠CBD；不同點是：前者是線段，后者是射線.問題3解：3條角平分線問題4解，如圖，三角形的三條角平分線交于一點，稱之為三角形的內(nèi)心．