第七章 §7.1.2 復數(shù)的幾何意義-高一數(shù)學人教A版（2019）必修第二冊 課件（共40張PPT）

7.1.2復數(shù)的幾何意義第七章

§7.1

復數(shù)的概念1.理解并可以用復平面內(nèi)的點或以原點為起點的向量來表示復數(shù)及它們之間的

一一對應(yīng)關(guān)系.2.掌握實軸、虛軸、模、共軛復數(shù)等概念.(重點)3.掌握用向量的模來表示復數(shù)的模的方法.(難點)學習目標導語18世紀，瑞士人阿甘達(J.Argand,1768－1822)給出復數(shù)的一個幾何解釋，他注意到負數(shù)是正數(shù)的一個擴充，它是將方向和大小結(jié)合起來得出的，他的思路是：能否利用增添某種新的概念來擴充實數(shù)系.在使人們接受復數(shù)方面，高斯的工作更為有效.他不僅將a＋bi表示為復平面上的一點(a，b)，而且闡述了復數(shù)的幾何加法和乘法.使人們對復數(shù)不再有種神秘的印象.同學們，你們想知道復數(shù)的幾何意義是什么嗎？一、復數(shù)與復平面內(nèi)點的關(guān)系二、復數(shù)與復平面內(nèi)的向量的關(guān)系三、共軛復數(shù)隨堂演練四、復數(shù)的幾何應(yīng)用內(nèi)容索引復數(shù)與復平面內(nèi)點的關(guān)系

一問題1有序?qū)崝?shù)對是和坐標平面上的點一一對應(yīng)的，復數(shù)能和坐標平面上的點一一對應(yīng)嗎？提示復數(shù)a＋bi(a，b∈R)實質(zhì)上是實數(shù)的有序?qū)崝?shù)對(a，b)，復數(shù)可以和坐標平面上的點一一對應(yīng).1.建立了直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面，x軸叫做_____，y軸叫做_____，實軸上的點都表示_____；除了_____外，虛軸上的點都表示_______.2.復數(shù)集C中的數(shù)和復平面內(nèi)所有的點組成的集合是________的，即復數(shù)z＝a＋bi復平面內(nèi)的點Z(a，b)，這是復數(shù)的一種幾何意義.知識梳理實軸虛軸實數(shù)原點純虛數(shù)一一對應(yīng)例1(1)請完成以下表格.復平面內(nèi)的點(0,0)(－2,0)(0,1)(－2,2)復數(shù)

－2

分類實數(shù)

0i－2＋2i實數(shù)純虛數(shù)虛數(shù)(2)在復平面內(nèi)，若復數(shù)z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i對應(yīng)的點：分別求實數(shù)m的取值范圍.①在虛軸上；復數(shù)z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的實部為m2－2m－8，虛部為m2＋3m－10.由題意得m2－2m－8＝0，解得m＝－2或m＝4.②在第二象限；③在y＝x的圖象上.利用復數(shù)與點的對應(yīng)關(guān)系解題的步驟(1)找對應(yīng)關(guān)系：復數(shù)的幾何表示法即復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)可以用復平面內(nèi)的點Z(a，b)來表示，是解決此類問題的依據(jù).(2)列出方程：此類問題可根據(jù)復數(shù)的實部與虛部應(yīng)滿足的條件列出方程(組)，通過解方程(組)或不等式(組)求解.反思感悟跟蹤訓練1

求實數(shù)m分別取何值時，復數(shù)z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i(m∈R)對應(yīng)的點Z滿足下列條件：(1)在復平面內(nèi)的x軸上方；∵點Z在x軸上方，∴m2－3m＋2>0，解得m<1或m>2.(2)在實軸負半軸上.若復數(shù)z的對應(yīng)點Z在實軸負半軸上，復數(shù)與復平面內(nèi)的向量的關(guān)系

二問題2能用平面向量表示復數(shù)嗎？提示

在平面直角坐標系中，每一個平面向量都可以用一個有序?qū)崝?shù)對來表示，而有序?qū)崝?shù)對與復數(shù)是一一對應(yīng)的，這樣就可以用平面向量來表示復數(shù).1.復數(shù)與平面向量：如圖所示，設(shè)復平面內(nèi)的點Z表示復數(shù)z＝a＋bi，連接OZ，顯然向量

由點Z唯一確定；反過來，點Z也可以由向量____確定.知識梳理唯一為方便起見，我們常把復數(shù)z＝a＋bi說成點Z或說成向量

，并且規(guī)定，相等的向量表示______復數(shù).同一個2.復數(shù)的模(1)定義：向量

的模叫做復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的?；蚪^對值.(2)記法：復數(shù)z＝a＋bi的模記作_________.(3)公式：|z|＝|a＋bi|＝_______.|z|或|a＋bi|(1)設(shè)復數(shù)z1＝－4＋3i，z2＝－4－3i.①在復平面內(nèi)畫出復數(shù)z1，z2對應(yīng)的點和向量；例2②求復數(shù)z1，z2的模，并比較它們的模的大小.則|z1|＝|z2|.(2)在復平面內(nèi)的長方形ABCD的四個頂點中，點A，B，C對應(yīng)的復數(shù)分別是2＋3i,3＋2i，－2－3i，求點D對應(yīng)的復數(shù).記O為復平面的原點，故點D對應(yīng)的復數(shù)為－3－2i.(1)反思感悟(2)計算復數(shù)的模時，應(yīng)先確定復數(shù)的實部和虛部，再利用模長公式計算.雖然兩個虛數(shù)不能比較大小，但它們的?？梢员容^大小.反思感悟跟蹤訓練2

已知i為虛數(shù)單位，(1＋i)x＝2＋yi，其中x，y∈R，則|x＋yi|等于√共軛復數(shù)

三1.定義：一般地，當兩個復數(shù)的實部____，虛部__________時，這兩個復數(shù)叫做互為共軛復數(shù).虛部不等于0的兩個共軛復數(shù)也叫做__________.2.表示：復數(shù)z的共軛復數(shù)用

表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么

＝______.3.若z1，z2是共軛復數(shù)，那么在復平面內(nèi)它們所對應(yīng)的點關(guān)于_____對稱.知識梳理相等互為相反數(shù)共軛虛數(shù)實軸a－bi例3

復數(shù)z＝3－4i的共軛復數(shù)對應(yīng)的點在A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限√反思感悟互為共軛復數(shù)的兩個復數(shù)在復平面內(nèi)所對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱.特別地，實數(shù)和它的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)所對應(yīng)的點重合，且在實軸上.跟蹤訓練3(多選)下列說法正確的是A.復數(shù)和其共軛復數(shù)都是成對出現(xiàn)的B.實數(shù)不存在共軛復數(shù)C.互為共軛復數(shù)的兩個復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于虛軸對稱D.復數(shù)和其共軛復數(shù)的模相等√√由共軛復數(shù)的相關(guān)知識可知，AD正確.復數(shù)的幾何應(yīng)用

四例4(課本72頁例題改編)設(shè)z∈C，且z在復平面內(nèi)對應(yīng)點Z，試說明滿足下列條件的點Z的集合是什么圖形.(1)|z|＝2；方法一

|z|＝2說明復數(shù)z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點Z到原點的距離為2，這樣的點Z的集合是以原點O為圓心，2為半徑的圓.方法二

設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，由|z|＝2，得a2＋b2＝4.故點Z對應(yīng)的集合是以原點O為圓心，2為半徑的圓.(2)1≤|z|≤2.不等式|z|≤2的解集是圓|z|＝2及該圓內(nèi)部所有點的集合.不等式|z|≥1的解集是圓|z|＝1及該圓外部所有點的集合.這兩個集合的交集，就是滿足條件1≤|z|≤2的點的集合，如圖中的陰影部分，故所求點的集合是以O(shè)為圓心，以1和2為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)，并且包括圓環(huán)的邊界.反思感悟(1)|z|表示在復平面內(nèi)復數(shù)z對應(yīng)的點到原點的距離.(2)設(shè)出復數(shù)的代數(shù)形式，利用模的定義轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題求解.跟蹤訓練4(1)滿足條件|z|≤5的復數(shù)z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點的集合的圖形的面積為_____.易知復數(shù)z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點的集合是以原點(0,0)為圓心，以5為半徑的圓，其面積為25π.25π(2)已知復數(shù)z1＝

，z2＝(x2＋a)i，對于任意x∈R均有|z1|>|z2|成立，則實數(shù)a的取值范圍是________.由|z1|>|z2|，得x4＋x2＋1>(x2＋a)2.則(1－2a)x2＋(1－a2)>0對x∈R恒成立.課堂小結(jié)1.知識清單：(1)復數(shù)與復平面內(nèi)的點、向量之間的對應(yīng)關(guān)系.(2)復數(shù)的模及幾何意義.(3)共軛復數(shù).2.方法歸納：待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū)：虛數(shù)不能比較大小，虛數(shù)的?？梢员容^大小.隨堂演練

12341.復數(shù)z＝－1－2i(i為虛數(shù)單位)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限√z＝－1－2i對應(yīng)的點Z(－1，－2)位于第三象限.1234則實數(shù)m的取值范圍是(－2,1).2.已知z＝m－1＋(m＋2)i在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，則實數(shù)m的取值范圍是A.(－1,2) B.(－2,1)C.(1，＋∞) D.(－∞，－2)√3.向量a＝(3,4)，設(shè)向量a對應(yīng)的復數(shù)為z，則z的共軛復數(shù)

＝______，||＝____.12