異方差時間序列模型

1、關(guān)于異方差時間序列模型第1頁，共49頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三Contents第一節(jié) 問題的提出第二節(jié) ARCH模型第三節(jié) GARCH模型第四節(jié) 其他GARCH模型第2頁，共49頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三第一節(jié) 問題的提出 在自回歸移動平均模型中，我們主要討論平穩(wěn)時間序列的建模問題，由于針對平穩(wěn)序列，實際上假定任一時點的隨機誤差項的期望值是相同的，一般為0，同時假定任一隨機誤差項平方的期望值就是隨機誤差的方差，即同方差。 但是在金融市場上，金融資產(chǎn)報酬序列具有這樣的特性，大的報酬緊連著大的報酬，小的報酬緊連著小的報酬，稱為波動集群性(Mandelbr

2、ot,1963、Fama,1965)。波動集群性表明股票報酬波動是時變的，表明是異方差。 異方差雖然不會影響回歸系數(shù)的最小二乘估計的無偏性，但是將影響到回歸系數(shù)估計的標準差和置信區(qū)間。例如，匯率，股票價格常常用隨機游走過程描述，第3頁，共49頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三 其中ut為白噪聲過程。1995-2000年日元兌美元匯率時間序列及差分序列見圖1和圖2。圖1 日元兌美元匯率序列JPY(1995-2000) 圖2日元兌美元匯率差分序列(收益)D(JPY)第4頁，共49頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三圖3 收益絕對值序列 (1995-2000)圖4 D(JP

3、Y)的平方 (1995-2000) 這種序列的特征是（1）過程的方差不僅隨時間變化，而且有時變化得很激烈。（2）按時間觀察，表現(xiàn)出“波動集群”（volatility clustering）特征，即方差在一定時段中比較小，而在另一時段中比較大。（3）從取值的分布看表現(xiàn)的則是“高峰厚尾”（leptokurtosis and fat-tail）特征，即均值附近與尾區(qū)的概率值比正態(tài)分布大，而其余區(qū)域的概率比正態(tài)分布小。圖5給出高峰厚尾分布示意圖。圖6給出一個高峰厚尾分布實例。第5頁，共49頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三第6頁，共49頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三顯然

4、現(xiàn)期方差與前期的“波動”有關(guān)系。描述這類關(guān)系的模型稱為自回歸條件異方差（ARCH）模型（Engle 1982年提出）。使用ARCH模型的理由是：（1）通過預測xt或ut的變化量評估股票的持有或交易對收益所帶來的風險有多大，以及決策的代價有多大；（2）可以預測xt的置信區(qū)間，它是隨時間變化的；（3）對條件異方差進行正確估計后可以使回歸參數(shù)的估計量更具有有效性。第7頁，共49頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三為了說得更具體，讓我們回到k -變量回歸模型：如果ut的均值為零，對yt取基于(t-1)時刻的信息的期望，即Et-1(yt)，有如下的關(guān)系：由于yt的均值近似等于式（1）的估計值

5、，所以式（1）也稱為均值方程。(1)(2)第8頁，共49頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三假設(shè)在時刻 ( t 1 ) 所有信息已知的條件下，擾動項ut的條件分布是： 也就是，ut遵循以0為均值，(0+1u2t-1 )為方差的正態(tài)分布。由于(3)中ut的方差依賴于前期的平方擾動項，我們稱它為ARCH(1)過程：(3)通常用極大似然估計得到參數(shù)0, 1, 2, , k, 0, 1的有效估計。第9頁，共49頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三第二節(jié) ARCH模型一、ARCH模型的定義若一個平穩(wěn)隨機變量xt可以表示為AR(p) 形式，其隨機誤差項的方差可用誤差項平方的q階分布

6、滯后模型描述，（1）（2）則稱ut 服從q階的ARCH過程，記作utARCH (q)。其中(1) 式稱作均值方程，(2) 式稱作ARCH方程。第10頁，共49頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三(1) 和 (2) 式還應滿足如下條件。對于 (1) 式，為保證平穩(wěn)性，特征方程的根應在單位圓之外。xt 的條件期望是xt 的無條件期望（T 時）是對于 (2) 式，由于 的非負性，對i應有如下約束，當全部i = 0, i = 1, 2, , q時，條件方差 。因為方差是非負的，所以要求0 0。為保證 是一個平穩(wěn)過程，(2) 式的特征方程第11頁，共49頁，2022年，5月20日，14點29

7、分，星期三的根應在單位圓之外。對i, i = 1, 2, , q的另一個約束是對（2）式求期望的：則無條件方差為：可見若保證 是一個平穩(wěn)過程，應該有約束0 (1+2+ +q)1。因為Var(xt)=Var(ut)= ，所以上式可以用來預測xt的方差。當T時：第12頁，共49頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三 二、 ARCH模型的極大似然估計ARCH模型經(jīng)常應用在回歸模型中。其中=(0 1, , k-1), xt=(1 x1, , xk-1)（xt的分量也可以包括yt的滯后變量），utARCH (q)。為計算方便，假定已知yt , xt的T+q組觀測值，從而保證估計參數(shù)所用的樣本容

8、量為T。utARCH (q)可以表示為：其中vtIID(0, 1)，vt與xt相互獨立，所以有 ，E(ut) = 0。yt服從正態(tài)分布，概率密度函數(shù)為第13頁，共49頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三其中：用參數(shù)和=(0 1 2 q ) 組成參數(shù)向量，對數(shù)似然函數(shù)是:求的極大似然估計量就是求 使 logL() 在= 處獲得極大值。求log L() 對 的偏導數(shù)，第14頁，共49頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三第15頁，共49頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三在上式為零條件下求到的 即是 的極大似然估計量。 具有一致性。第16頁，共49頁，2022年，

9、5月20日，14點29分，星期三 三、 ARCH模型檢驗在均值方程（回歸模型或時間序列模型）的誤差項中是否存在自回歸條件異方差應該進行假設(shè)檢驗。檢驗ARCH可以使用F、LM、LR、W統(tǒng)計量。下面介紹F、LM檢驗。1、自回歸條件異方差的LM檢驗。 建立原假設(shè)H0：1=2= q=0 （不存在ARCH）H1：1, 2 , , q 不全為零在原假設(shè)成立條件下，OLS估計量是一致的、有效的；在備擇假設(shè)成立條件下，OLS估計量是一致的，但不是有效的。先介紹使用LM統(tǒng)計量檢驗H0。因為計算LM統(tǒng)計量的值，只需估計原假設(shè)成立條件下的方程。具體步驟是：第17頁，共49頁，2022年，5月20日，14點29分，星

10、期三 估計 ，求 ，計算 。 估計輔助回歸式 用第3步得到的可決系數(shù)R2構(gòu)成統(tǒng)計量LM = T R2。其中T表示輔助回歸式的樣本容量。在原假設(shè)成立條件下有若LM ，接受H1。注意：輔助回歸式中要有常數(shù)項0。第18頁，共49頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三 2、自回歸條件異方差的F檢驗。 建立原假設(shè) H0：1=2=q=0 （不存在ARCH） H1：1, 2 , , q不全為零 估計yt= xt+ut，求 ，計算 。 用 估計2個輔助回歸式 構(gòu)造F統(tǒng)計量，在原假設(shè)成立條件下有 注意：輔助回歸式中要有常數(shù)項0。 若F F,(q,T-q-1)，接受H1。（約束模型，同方差）（非約束模型

11、，存在ARCH）第19頁，共49頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三3、自回歸條件異方差的LR檢驗。 建立原假設(shè) H0：1=2=q=0 （不存在ARCH） H1：1, 2 , , q不全為零 估計yt= xt+ut，求 ，計算 。 用 估計2個輔助回歸式，并計算極大似然函數(shù)值LogLr和LogLu 用LogLr和LogLu構(gòu)造LR統(tǒng)計量，在原假設(shè)成立條件下有 （約束模型，同方差）（非約束模型，存在ARCH） 若 ，接受H0。 若 ，接受H1。如果結(jié)論是應該建立ARCH模型，則進一步應該對ARCH模型的階數(shù)q進行檢驗。對此可采用t檢驗。第20頁，共49頁，2022年，5月20日，14

12、點29分，星期三4、自回歸條件異方差的Q檢驗。 殘差平方意味著方差，若存在自相關(guān)，說明存在自回歸條件異方差。第21頁，共49頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三四、ARCH模型檢驗（EViews操作案例）1995.1-2000.8日元兌美元匯率值（1427個）序列（JPY）見圖。極小值為81.12日元，極大值為147.14日元。其均值為112.93日元，標準差是13.3日元。1995年4月曾一度達到81.12日元兌1美元。1998年8月達到147.14日元兌1美元。JPY顯然是一個非平穩(wěn)序列。JPY的差分序列D(JPY)表示收益，見圖9.2。因為D(JPY)是平穩(wěn)序列，用D(JPY

13、)建立時間序列模型。 第22頁，共49頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三通過相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖分析，應該建立AR(3)或MA(3)模型。建立AR(3)模型如下：(2.0)(-3.3)R2=0.01，DW=1.91，Q(15)=8.6第23頁，共49頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三 方法1：通過Q檢驗考察AR(3) 模型中是否存在自回歸條件異方差。 第24頁，共49頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三 方法2：ARCH的LM檢驗。 在均值方程估計窗口，選ARCH的LM檢驗。用1階檢驗式檢驗。(9.4)(9.9) R2=0.0643,T=1423第25頁，

14、共49頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三 方法3、4：自回歸條件異方差的F檢驗和LR檢驗。 用參差平方序列1階自回歸檢驗式做參數(shù)約束的F檢驗和LR檢驗第26頁，共49頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三 例 中國CPI模型的ARCH檢驗 本例建立CPI模型，因變量為中國的消費價格指數(shù)（上年同月=100）減去100，記為cpit；解釋變量選擇貨幣政策變量：狹義貨幣供應量M1的增長率，記為m1rt；3年期貸款利率，記為Rt，樣本期間是1994年1月2007年12月。由于是月度數(shù)據(jù)，利用X-12季節(jié)調(diào)整方法對 cpit 和 m1rt 進行了調(diào)整，結(jié)果如下： t = (19.

15、5) (-5.17) (2.88) (-2.74) R2=0.99 對數(shù)似然值 = -167.79 AIC = 2.045 SC =2.12 第27頁，共49頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三 這個方程的統(tǒng)計量很顯著，擬合的程度也很好。但是觀察該回歸方程的殘差圖，也可以注意到波動的“成群”現(xiàn)象：波動在一些時期內(nèi)較小，在其他一些時期內(nèi)較大，這說明誤差項可能具有條件異方差性。第28頁，共49頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三 從自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)可以看出：殘差序列存在著一階ARCH效應。再進行條件異方差的ARCH LM檢驗，得到了在滯后階數(shù)p = 1時的ARCH

16、LM檢驗結(jié)果： 因此計算殘差平方t2的自相關(guān)（AC）和偏自相關(guān)（PAC）系數(shù)，結(jié)果如下： 第29頁，共49頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三 從自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)可以看出：殘差序列存在著一階ARCH效應。因此利用ARCH(1)模型重新估計模型，結(jié)果如下： 均值方程： z = (12.53) (-1.53) (4.72) (-3.85) 方差方程： z = (5.03) (3.214) R2=0.99 對數(shù)似然值 = -151.13 AIC = 1.87 SC = 1.98 方差方程中的ARCH項的系數(shù)是統(tǒng)計顯著的，并且對數(shù)似然值有所增加，同時AIC和SC值都變小了，這說明A

17、RCH(1)模型能夠更好的擬合數(shù)據(jù)。 第30頁，共49頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三 再對這個方程進行條件異方差的ARCH LM檢驗，得到了殘差序列在滯后階數(shù)p=1時的統(tǒng)計結(jié)果： 此時的相伴概率為0.69，接受原假設(shè)，認為該殘差序列不存在ARCH效應，說明利用ARCH(1)模型消除了殘差序列的條件異方差性。殘差平方相關(guān)圖的檢驗結(jié)果為： 自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)近似為0。這個結(jié)果也說明了殘差序列不再存在ARCH效應。 第31頁，共49頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三第三節(jié) GARCH模型一、GARCH模型定義 擾動項ut的方差常常依賴于很多時刻之前的變化量（特別

18、是在金融領(lǐng)域，采用日數(shù)據(jù)或周數(shù)據(jù)的應用更是如此）。因此 必須估計很多參數(shù)，而這一點很難精確的做到。但是如果我們能夠意識到方差方程不過是t2的分布滯后模型，我們就能夠用一個或兩個t2的滯后值代替許多ut2的滯后值，這就是廣義自回歸條件異方差模型(Generalized AutoRegressive Conditional Heteroscedasticity model，簡記為GARCH模型)。在GARCH模型中，要考慮兩個不同的設(shè)定：一個是條件均值，另一個是條件方差。第32頁，共49頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三 在標準化的GARCH(1,1)模型中：均值方程：方差方程：其中

19、：xt是 (k+1)1維外生變量向量，是(k+1)1維系數(shù)向量。 均值方程是一個帶有擾動項的外生變量函數(shù)。由于t2是以前面信息為基礎(chǔ)的一期向前預測方差 ，所以它被稱作條件方差，也被稱作條件方差方程 。第33頁，共49頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三條件方差方程是下面三項的函數(shù)： 1常數(shù)項（均值）： 2用均值方程的擾動項平方的滯后來度量從前期得到的波動性的信息：ut-12（ARCH項）。 3上一期的預測方差： t2-1 （GARCH項）。 GARCH(1,1)模型中的(1,1)是指階數(shù)為1的GARCH項（括號中的第一項）和階數(shù)為1的ARCH項（括號中的第二項）。一個普通的ARCH

20、模型是GARCH模型的一個特例，GARCH(0,1)，即在條件方差方程中不存在滯后預測方差t2-1的說明。 第34頁，共49頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三 在EViews中ARCH模型是在擾動項是條件正態(tài)分布的假定下，通過極大似然函數(shù)方法估計的。例如，對于GARCH(1,1)，t 時期的對數(shù)似然函數(shù)為：其中 這個說明通?？梢栽诮鹑陬I(lǐng)域得到解釋，因為代理商或貿(mào)易商可以通過建立長期均值的加權(quán)平均（常數(shù)），上期的預期方差（GARCH項）和在以前各期中觀測到的關(guān)于變動性的信息（ARCH項）來預測本期的方差。如果上升或下降的資產(chǎn)收益出乎意料地大，那么貿(mào)易商將會增加對下期方差的預期。這個

21、模型還包括了經(jīng)?？梢栽谪攧帐找鏀?shù)據(jù)中看到的變動組，在這些數(shù)據(jù)中，收益的巨大變化可能伴隨著更進一步的巨大變化。第35頁，共49頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三 有兩個可供選擇的方差方程的描述可以幫助解釋這個模型： 1如果我們用條件方差的滯后遞歸地替代方差方程的右端，就可以將條件方差表示為滯后擾動項平方的加權(quán)平均： 我們看到GARCH(1,1)方差說明與樣本方差類似，但是，它包含了在更大滯后階數(shù)上的，擾動項的加權(quán)條件方差。 第36頁，共49頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三 2設(shè)vt= ut2t2。用其替代方差方程中的方差并整理，得到關(guān)于擾動項平方的模型： 因此，擾動

22、項平方服從一個異方差ARMA(1, 1)過程。決定波動沖擊持久性的自回歸的根是加的和。在很多情況下，這個根非常接近1，所以沖擊會逐漸減弱。 第37頁，共49頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三 高階GARCH(p, q)模型 高階GARCH模型可以通過選擇大于1的p或q得到估計，記作GARCH(p, q)。其方差表示為： 這里，p是GARCH項的階數(shù)，q是ARCH項的階數(shù)，p0并且, (L)和(L)是滯后算子多項式。 第38頁，共49頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三 為了使GARCH(q, p)模型的條件方差有明確的定義，相應的ARCH()模型的所有系數(shù)都必須是正數(shù)

23、。只要(L)和(L)沒有相同的根并且(L)的根全部位于單位圓外，那么當且僅當0=0/(1-(L)，(L)=(L)/(1-(L)的所有系數(shù)都非負時，這個正數(shù)限定條件才會滿足。例如，對于GARCH(1, 1)模型這些條件要求所有的3個參數(shù)都是非負數(shù)。第39頁，共49頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三 GARCH模型的檢驗當原假設(shè)H0是ARCH(0)時，顯然備擇假設(shè)H1有兩個。一個是ARCH(r)，一個是GARCH(r,0)。若原假設(shè) H0是ARCH(1)，則備擇假設(shè)H1可以是ARCH(1+r)，也可以是GARCH(r,1)。同理若原假設(shè)H0是ARCH(q)，備擇假設(shè)H1可以有兩個。A

24、RCH(q+r)和GARCH(r,q) 。LM統(tǒng)計量無法區(qū)別這兩個備擇假設(shè)。但仍然可以做LM檢驗。在實際應用中，備擇假設(shè)既可以是ARCH，也可以是GARCH。對于q值很大的ARCH模型，建議使用GARCH模型。在實際應用中，GARCH(1,1)和GARCH(2,1)一般足以滿足對自回歸條件異方差的描述。第40頁，共49頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三第四節(jié) 其他GARCH模型一、 IGARCH模型 對于ARCH(p) 模型和GARCH(p,q) 模型，在實際應用中，條件 有時不能得到滿足。下面以GARCH(1,1)模型為例進行討論。 （保證可以轉(zhuǎn)換成無限階的ARCH過程） （保

25、證GARCH過程平穩(wěn) ） 第41頁，共49頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三用 分別表示對1, 1的估計。有時會出現(xiàn) 甚至， 。例如Engle-Chowdury（1992）對IBM收益率序列估計時，得如下結(jié)果，第42頁，共49頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三 2回推 在計算GARCH模型的回推初始方差時，首先用系數(shù)值來計算均值方程中的殘差，然后計算初始值的指數(shù)平滑算子 （6.1.30）其中：是來自均值方程的殘差，是無條件方差的估計： （6.1.31）平滑參數(shù)為0.1至1之間的數(shù)值。也可以使用無條件方差來初始化GARCH過程： （6.1.32）第43頁，共49頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三6.1.6 GARCH模型的殘差分布假設(shè) 在實踐中我們注意到，許多時間序列，特別是金融時間序列的無條件分布往往具有比正態(tài)分布更寬的尾部。為了更精確地描述這些時間序列分布的尾部特征，還需要對誤差項ut的分布進行假設(shè)。GARCH模型中的擾動項的分布，一般會有3個假設(shè)：正態(tài)（高斯）分布、學生t-分布和廣義誤差分布（GED）。給定一個分布假設(shè)，GARCH模型常常使用極大似然估計法進行估計。下面分別介紹這3種分布，其中的 代表參數(shù)向量。 1對于擾動項服從正態(tài)分布的GARCH(1, 1)模型，它的對數(shù)似然函數(shù)為 （6.1.33）這里的t