化工過程系統(tǒng)建模

化工過程系統(tǒng)建模6/17/20231第一頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日工業(yè)過程的基本定律與建模方法11.1連續(xù)性方程11.2能量方程11.3傳遞方程11.4化學(xué)反應(yīng)動力學(xué)11.5過程微觀動力學(xué)研究11.6過程宏觀動力學(xué)的研究11.7流體力學(xué)過程的動態(tài)方程11.8過程數(shù)學(xué)模型的確定6/17/20232第二頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日11.1連續(xù)性方程

①總的連續(xù)性方程對于一個動態(tài)系統(tǒng)的質(zhì)量守恒定律（質(zhì)量平衡）可以表示如下：在系統(tǒng)工程中，質(zhì)量的變化率=進入該系統(tǒng)的質(zhì)量流量-離開該系統(tǒng)的質(zhì)量流量。上面的關(guān)系式是單位時間質(zhì)量。對于一個系統(tǒng)只有一個總的連續(xù)方程。上式左側(cè)的變化率以數(shù)學(xué)形式表達時，可以用導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)來表示。6/17/20233第三頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日例11-1

下圖11-1所示是一個均勻混合的儲槽的流量為其密度為，儲槽滯料量為，它的密度因均勻混合與流出的密度相同，該系統(tǒng)的物料平衡方程。（11-1）圖11-1均勻混合儲槽6/17/20234第四頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日例11-2當(dāng)流體流經(jīng)一個直徑不變的圓管時，如圖11-2所示。當(dāng)流體處于湍流流動狀態(tài)時，取管道長一個單元，并假設(shè)無徑向速度及密度梯度，而只有軸向梯度存在。因此，當(dāng)流體沿著軸向即Z方向流動時，速度與密度將有變化，因此出現(xiàn)了時間t及距離Z兩個變量，所以分別以及表示。圖11-2流體流經(jīng)一圓管

6/17/20235第五頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日通過Z+dz截面離開系統(tǒng)的質(zhì)量流量=+

現(xiàn)取管截面為A，管段長為，建立質(zhì)量平衡方程：系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)量的變化率=通過Z截面進入系統(tǒng)的質(zhì)量流量=

由此可得：

（11-2）6/17/20236第六頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日②組份的連續(xù)性方程在化學(xué)反應(yīng)過程中與單純物料進出時不同，不同組份的質(zhì)量并不是守恒的，在一個系統(tǒng)中發(fā)生了化學(xué)反應(yīng)，如果對生成物來說，則它的摩爾數(shù)將增加；而對于反應(yīng)物來說，則反而減少。系統(tǒng)中第j個組份摩爾數(shù)的變化率=（進入該系統(tǒng)的第j個組份的摩爾數(shù)流量）-（離開該系統(tǒng)的第j個組份的摩爾數(shù)流量）+（由于化學(xué)反應(yīng)第j個組份的摩爾數(shù)生成速率）（11-3）液體在流動過程中，具有體積流動和分子擴散的對流作用。對于一個系統(tǒng)只有n個獨立的連續(xù)方程式（對于具有n個組份而言），通常選用總的質(zhì)量平衡和（n-1）個組份的連續(xù)方程式用于求解。6/17/20237第七頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日例11-3如圖11-3所示，在連續(xù)攪拌的儲槽內(nèi)進行化學(xué)反應(yīng)，通常稱為連續(xù)攪拌槽式反應(yīng)器。組份A以不可逆的特定速率k形成一個產(chǎn)品組份B。圖11-3連續(xù)攪拌反應(yīng)槽

6/17/20238第八頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日解：設(shè)進入反應(yīng)槽組份A的濃度為CA0，以及反應(yīng)器內(nèi)和出口的濃度為CA。若是簡單的一級反應(yīng)，在單位體積內(nèi)組份A的消耗

率將與槽內(nèi)A的瞬間濃度成正比，列出有關(guān)項，并代入（11-3）式。流入系統(tǒng)的A=F0CA0；(F0為進料量，V為反應(yīng)體積)流出系統(tǒng)的A=FCA；由化學(xué)反應(yīng)使A的生成率=-VkCA在反應(yīng)器內(nèi)A的變化率=d(VCA)/dt合并后得：（11-4）6/17/20239第九頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日

上式為常微分方程，這是因為對于集中參數(shù)表示的系統(tǒng)，t是僅有的獨立變量。

上式的左側(cè)為動態(tài)項，右側(cè)一、二項是對流項，右側(cè)的第三項為化學(xué)反應(yīng)生成項。對A與B兩組份形成的雙元系數(shù)，同樣可以列出對B組份的連續(xù)方程。（11-5）或者可以采用另一個總的連續(xù)方程來描述，因為，、及有單值關(guān)系。（11-6）式中：--組份A的分子量；

--組份B的分子量。6/17/202310第十頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日例11-4如圖11-3所示，假設(shè)這一化學(xué)反應(yīng)是連續(xù)進行的連串反應(yīng),設(shè)由A生成B的速率為，由B生成C的速率為，即對于組份A，B，C的連續(xù)方程按一級反應(yīng)可表示如下：（11-7）6/17/202311第十一頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日同樣各組份與密度的關(guān)系為：

（11-8）于是，我們可以用（11-7）式中的三組方程式，或者?。?1-7）式中的兩組份平衡式和一個總的質(zhì)量平衡式來表示。6/17/202312第十二頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日假設(shè)其反應(yīng)為的一級反應(yīng)，在一段內(nèi)物料由A轉(zhuǎn)化為B，所以將下降，密度、速度及濃度將隨時間及軸向位置而變。在此，仍假設(shè)在徑向上無速度和密度梯度。

圖11-4管道反應(yīng)器例11-5

如果流體通過一個管道反應(yīng)器，如圖11-4所示。6/17/202313第十三頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日并設(shè)反應(yīng)器入口處（=0時）A的濃度為，在處反應(yīng)器流出物中A的濃度為，以段作組份A的連續(xù)方程式，流入項可以分為體積流量與擴散兩項。由于軸向有濃度差，因此就會產(chǎn)生擴散。雖然在一般情況下對實際系統(tǒng)影響很小，但是把它列寫出來可以觀察擴散對模型的影響。對于A的擴散流通是可以用表示：式中：為A的擴散流通（）為擴散系數(shù)（）為A的濃度（）

（11-9）6/17/202314第十四頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日以微元作物料平衡：在處進入系統(tǒng)A的摩爾流量=體積流量+擴散項=在處離開系統(tǒng)的摩爾流量=在系統(tǒng)內(nèi)A的生成率=在系統(tǒng)內(nèi)A隨時間的變化=

由以上得總的方程為：

(11-10)整理后為：6/17/202315第十五頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日11.2能量方程根據(jù)能量守恒定律得：在系統(tǒng)內(nèi)位能、動能和內(nèi)能的變化率因?qū)α骰驍U散進入系統(tǒng)的位能、動能和內(nèi)能因?qū)α骰驍U散離開系統(tǒng)的位能、動能和內(nèi)能因傳導(dǎo)、輻射及反應(yīng)加給系統(tǒng)的熱系統(tǒng)對環(huán)境所作的功（11-11）6/17/202316第十六頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日例11-6

設(shè)連續(xù)攪拌槽式反應(yīng)器中，加冷卻盤管以移走反應(yīng)熱

（kcal/mol),放熱時為負值，如圖11-5所示。圖11-5移走熱量的連續(xù)攪拌反應(yīng)槽

由于反應(yīng)所放出的熱量與參與反應(yīng)的A的mol數(shù)成正比，即QG=-λVCAK（Kcal/h)，設(shè)被盤管移走的熱量為-Q，

6/17/202317第十七頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日

設(shè)被盤管移走的熱量為-Q，進入系統(tǒng)有物料溫度為T0，反應(yīng)

器溫度為T，根據(jù)（11-11）式可得：式中：U—內(nèi)能（kcal/kg);K—動能(kcal/kg)

Ф—位能(kcal/kg);W—系統(tǒng)對外作的功(kg.m/h)P—系統(tǒng)內(nèi)的壓力(kg/m2);P0—進料壓力(kg/m2);J—換算系數(shù)；ρ—密度。（11-12）6/17/202318第十八頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日11.3傳遞方程

有關(guān)傳遞方程均以通量的形式（單位面積的傳遞率）來表示，且與推動力（溫度、濃度或速度梯度）成比例，比例常數(shù)是系統(tǒng)的一個物理特性（如熱導(dǎo)率、擴散系數(shù)或粘度）。①動量傳遞方程式動量傳遞方程式主要描述運動的規(guī)律。這里僅研究由于外部原因（重力、壓力差、摩擦力等作用）而引起的流體流動。（牛頓定律）（11-13）6/17/202319第十九頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日

上式中--單位面積上一層流體對其相鄰的一層作相對運動時，分子間相互作用所產(chǎn)生的內(nèi)摩擦力，也可以看成單位時間、單位面積內(nèi)由速度高的一層流體傳遞給速度低的一層流體的動量。

---y方向上的速度梯度；-----粘性系數(shù)(簡稱粘度)。6/17/202320第二十頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日②熱量傳遞方程式熱量傳遞的基本定律---付立葉定律（11-14）上式中：----瞬時的熱流量；----溫度梯度；----導(dǎo)熱系數(shù)。當(dāng)溫度沿著單位法線長度下降1度時，單位時間內(nèi)傳過單位面積的熱量。6/17/202321第二十一頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日③質(zhì)量傳遞方程式質(zhì)量傳遞的基本定律---Fick定律（11-15）上式中：----組分A的瞬時傳遞量；----濃度梯度，作為質(zhì)量傳遞過程中的推動力；-----分子的擴散系數(shù)。6/17/202322第二十二頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日11.4化學(xué)反應(yīng)動力學(xué)

化學(xué)反應(yīng)動力學(xué)是研究化學(xué)反應(yīng)速度及影響反應(yīng)速度的條件的科學(xué)，影響化學(xué)反應(yīng)速度的主要條件是：溫度、濃度、催化劑等。作為提供反應(yīng)器設(shè)計參數(shù)，通常保持催化劑不變，考察溫度和濃度對反應(yīng)速度的影響，求取該反應(yīng)的宏觀動力學(xué)方程式。①濃度的影響---質(zhì)量作用定律在恒溫下，反應(yīng)的速度服從質(zhì)量作用定律，即A+BKD+E反應(yīng)速度：（11-16）6/17/202323第二十三頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日

上式K為速度常數(shù)，它與反應(yīng)物濃度無關(guān),是溫度、反應(yīng)物性質(zhì)、溶劑等的函數(shù)?？赡娣磻?yīng)：注：a,b,c,d為反應(yīng)級數(shù)，一般都是通過實驗求得。（11-17）平行反應(yīng)：6/17/202324第二十四頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日（11-18）串行反應(yīng)：（11-19）6/17/202325第二十五頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日

然而，工業(yè)上進行的化學(xué)反應(yīng)大部份是機制不夠明確的復(fù)雜反應(yīng)，只能通過試驗求得反應(yīng)速度和濃度的關(guān)系，如：（11-20）6/17/202326第二十六頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日②溫度的影響---Arrhenius方程式（11-21）式中：K---為某一反應(yīng)速率；

α---比例系數(shù)；E---活化能；T---絕對溫度；R---理想氣體常數(shù)。注：這一指數(shù)溫度關(guān)系在化工系統(tǒng)中為最嚴(yán)重的非線性關(guān)系之一6/17/202327第二十七頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日11.5過程微觀動力學(xué)研究

在化學(xué)反應(yīng)過程中，相互作用是在反應(yīng)物的分子水平上實現(xiàn)的，可認為這個過程是在微觀水平上進行的，所以，對過程的研究屬于過程微觀動力學(xué)的研究。也就是在實驗裝置上獲取有關(guān)化學(xué)信息的過程。

封閉系統(tǒng)的動力學(xué)數(shù)據(jù)的測定：①濃度C的變化速度是時間t的函數(shù)，即（11-22）6/17/202328第二十八頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日②濃度C的變化速度是濃度的函數(shù)，即③濃度C是時間t的函數(shù)，即注：動力學(xué)實驗數(shù)據(jù)一般分兩步：先使溫度固定不變，確定原始物質(zhì)濃度的變化；再求出反應(yīng)速度常數(shù)隨溫度的變化。（11-23）（11-24）6/17/202329第二十九頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日11.6過程宏觀動力學(xué)的研究

從實驗裝置得到過程微觀動力學(xué)的信息→（中間試驗裝置、較大的中間試驗裝置上）獲取過程宏觀動力學(xué)信息。宏觀動力學(xué)是研究大的分子團、物流宏觀質(zhì)點的相互作用。其主要任務(wù)是：求出和修正過程數(shù)學(xué)模型中的各個系數(shù)并確定模型的實用性。6/17/202330第三十頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日

（1）用階躍法、脈沖法和偽隨機信號造成擾動（注入示蹤劑）來確定被研究對象的流體力學(xué)模型的結(jié)構(gòu)：是理想混合還是理想置換，采用擴散模型、槽列模型或組合模型。（2）研究各個傳熱工況參數(shù)的影響，修正傳熱條件和傳熱面積，分析穩(wěn)定性。（3）研究對象對于不同擾動通道的動態(tài)性質(zhì)，分析各參數(shù)隨時間變化的情況，提出控制對象的方案。（4）建立較完整的對象（過程）數(shù)學(xué)模型。（5）實現(xiàn)數(shù)學(xué)模型的最優(yōu)化，再現(xiàn)和修正最優(yōu)工況。中間試驗裝置的研究：6/17/202331第三十一頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日y2非解析模型（包括：專家知識集、模糊邏輯、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)）生產(chǎn)過程(實際現(xiàn)場)解析模型

（包括：微分方程、

傳遞函數(shù)、差分方程、脈沖

傳遞函數(shù)、線性方程以及

非線性方程等）uyy1e1e2圖11-6建模示意圖6/17/202332第三十二頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日模型簡化：模型Auttyyayb模型Butty圖11-7模型簡化6/17/202333第三十三頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日ynyttr圖11-8控制器參數(shù)導(dǎo)優(yōu)參數(shù)尋優(yōu)：控制器控制對象（過程）rye計算機6/17/202334第三十四頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日11.7流體力學(xué)過程的動態(tài)方程(流體力學(xué)的基本方程式)

流體力學(xué)過程動態(tài)方程的列寫，是從三個基本方程出發(fā)，它們是：連續(xù)性方程、運動方程和能量方程。1）連續(xù)性方程連續(xù)性方程表明流體流動過程中的物料的平衡關(guān)系。設(shè)在流體流束中取介于截面1-1與11-2之間，其長度為無限小dz的微元，如下圖所示。dz1122圖11-9流體微元

6/17/202335第三十五頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日

依據(jù)物料平衡關(guān)系，單位時間內(nèi)流入微元的質(zhì)量與離開微元的質(zhì)量差等于微元內(nèi)蓄存量的變化率：移項后，得（11-25）上式中：6/17/202336第三十六頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日上面(11-25)式為一維非平穩(wěn)漸變流的連續(xù)性方程。若用平均流速V來表示，則流速與流量的關(guān)系是：（11-26）那么，(11-25)式可寫成：（11-27）式(11-26)和(11-27)是一般情況下的連續(xù)性方程。對于各種特定情況，可化為其它形式，如：6/17/202337第三十七頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日①截面積Ａ不變的情況由(11-27)式可得（11-28）②不隨距離而變的情況由于Ｑ＝ＡＶ，那么由(11-27)式可得（11-29）6/17/202338第三十八頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日③流體不可壓縮的情況此時，，由(11-27)可得（11-29）④穩(wěn)態(tài)情況對于平穩(wěn)流來說，由(11-25)式可得（11-30）（11-31）6/17/202339第三十九頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日

也就是說，在穩(wěn)定流動情況下，沿著長度z沒有變化，即如果流體不可壓縮，則6/17/202340第四十頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日2）運動方程運動方程是流體力學(xué)過程力平衡關(guān)系的微分表達形式。對于下面圖中所示的微元，討論壓力、重力、摩擦力和慣性力之間的平衡關(guān)系。0圖11-10流體微元的示意圖6/17/202341第四十一頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日應(yīng)用于牛頓第二定律，可以得到或?qū)懗桑海?1-32）上式中：6/17/202342第四十二頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日由于流速v是距離z和時間t的函數(shù)，即v=v(z,t)，因此上式可寫成（11-33）將(11-32)式代入(11-33)式，可得（11-34）由圖11-10可知：6/17/202343第四十三頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日所以(11-34)式可以寫成：（11-35）式(11-34)和(11-35)都是一般情況下的運動方程。①當(dāng)忽略摩擦力的影響，即FR=0，則有（11-36）

②對于穩(wěn)定情況下，所以上式可寫成（11-37）6/17/202344第四十四頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日

又因在穩(wěn)定情況下，P和v都僅是z的函數(shù)，沒有其它的自變量，所以可寫成，即（11-38）(11-38)式是平穩(wěn)流的運動方程式3）能量方程

能量方程表達了流體過程中的能量平衡關(guān)系。能量方程可以按能量的平衡關(guān)系直接推導(dǎo)，也可以由運動方程積分得出。對于沒有摩擦、不可壓縮的平穩(wěn)流，把式(11-38)積分后得到：（11-39）6/17/202345第四十五頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日每項除以g，并引入重度

（11-40）上式是著名的柏努利方程，式中每一項都具有明確的物理意義。各個截面上速度頭、壓頭和位頭之和為定值。6/17/202346第四十六頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日11.8過程數(shù)學(xué)模型的確定（1）分布函數(shù)任何有液體和氣體移動的化工過程的數(shù)學(xué)模型，其結(jié)構(gòu)首先是由流體力學(xué)參數(shù)決定的，并表現(xiàn)出物流質(zhì)點在所研究的系統(tǒng)中停留時間的分布性質(zhì)。

這種分布的性質(zhì)服從統(tǒng)計規(guī)律，可根據(jù)通過系統(tǒng)的信號形式求得。在系統(tǒng)的輸入端以階躍、脈沖或諧振擾動的形式注入示蹤劑。6/17/202347第四十七頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日引入脈沖擾動時，示蹤劑的統(tǒng)計分布函數(shù)（C曲線）可寫成：(11-41)

停留時間分布函數(shù)表示在輸出物流中，在小于時間內(nèi)示蹤劑在系統(tǒng)中出現(xiàn)的分布速率。平均停留時間可由下式確定：(11-42)6/17/202348第四十八頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日分布函數(shù)可表示為：上式中：----入口處的初始濃度。(11-43)無量綱的停留時間為：(11-44)平均停留時間已知時，C—曲線可用下面方程表示：(11-45)6/17/202349第四十九頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日階躍擾動和脈沖擾動時的分布函數(shù)之間的聯(lián)系為：(11-46)

由于值表示輸出物流中年齡為物質(zhì)的分布率，將此數(shù)乘以停留在年齡為的物流單元中的物質(zhì)濃度，即可確定離開實際設(shè)備的物質(zhì)平均濃度為：(11-47)6/17/202350第五十頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日例11-7確定設(shè)備的數(shù)學(xué)模型時，由于引入δ函數(shù)形式的擾動（脈沖式注入示蹤劑），在設(shè)備輸出端得出下列示蹤劑濃度的數(shù)值：表11-1時間(min)05101520253035示蹤劑濃度(g/m3,液體)03554210試作示蹤劑分布曲線。6/17/202351第五十一頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日解：由方程（11-43）確定分布函數(shù)。為此，先求出采樣時間間隔分布函數(shù)隨時間的值列于表11-2。

(min)051015202530(min)00.030.050.050.040.020.01表11-26/17/202352第五十二頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日

為了求出函數(shù)C，將時間變成無量綱形式θ，把C()變成C的形式。為此，按方程（11-42）、（11-43）求出在設(shè)備的平均停留時間。由方程（11-44）求出無量綱時間由此，根據(jù)方程（11-45）可得6/17/202353第五十三頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期日圖11-11示蹤劑分布曲線θ01/32/3