2022北京順義高二（下）期末數(shù)學(xué)（教師版）

1/12022北京順義高二（下）期末數(shù)學(xué)一?選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.的值為（）A.20 B.10 C.5 D.22.的展開式中，的系數(shù)為（）A.12 B. C.6 D.3.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表，則X的數(shù)學(xué)期望等于（）X012P02a0.5A.0.3 B.0.8 C.1.2 D.1.34.設(shè)函數(shù)，則（）A.0 B. C.1 D.5.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中為圖上三個(gè)不同的點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.6.已知某居民小區(qū)附近設(shè)有A，B，C，D4個(gè)核酸檢測(cè)點(diǎn)，居民可以選擇任意一個(gè)點(diǎn)位去做核酸檢測(cè)，現(xiàn)該小區(qū)的3位居民要去做核酸檢測(cè)，則檢測(cè)點(diǎn)的選擇共有（）A.64種 B.81種 C.7種 D.12種7.中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題：今有牛?馬?羊食人苗，苗主責(zé)之粟五斗，羊主曰：“我羊食半馬?”馬主曰：“我馬食半牛，”今欲衰償之，問各出幾何？此問題的譯文是：今有牛，馬，羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償5斗粟，羊主人說：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半，”馬主人說：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例償還，他們各應(yīng)償還多少？試問：該問題中牛主人應(yīng)償還（）斗粟A. B. C. D.8.降低室內(nèi)微生物密度的有效方法是定時(shí)給室內(nèi)注入新鮮空氣，即開窗通風(fēng)換氣.在某室內(nèi)，空氣中微生物密度（c）隨開窗通風(fēng)換氣時(shí)間（t）的關(guān)系如下圖所示.則下列時(shí)間段內(nèi)，空氣中微生物密度變化的平均速度最快的是（）A. B. C. D.9.已知數(shù)列為各項(xiàng)均為整數(shù)的等差數(shù)列，公差為d，若，則的最小值為（）A.9 B.10 C.11 D.1210.已知是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是（）A. B.一定存在極小值點(diǎn)C.若，則是函數(shù)的極小值點(diǎn) D.若，則二?填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.已知等差數(shù)列，，則___________.12.某學(xué)校擬邀請(qǐng)5位學(xué)生家長中的3位參加一個(gè)座談會(huì)，其中甲同學(xué)家長必須參加，則不同的邀請(qǐng)方法有___________種.13.已知某品牌只賣A，B兩種型號(hào)的產(chǎn)品，兩種產(chǎn)品的比例為，其中A型號(hào)產(chǎn)品優(yōu)秀率為，B型號(hào)產(chǎn)品優(yōu)秀率為，則購買一件該品牌產(chǎn)品為優(yōu)秀品的概率為___________.14.函數(shù)的最小值為___________.15.已知數(shù)列，滿足不等式（其中），對(duì)于數(shù)列給出以下四個(gè)結(jié)論：①；②數(shù)列一定是遞增數(shù)列；③數(shù)列通項(xiàng)公式可以是；④數(shù)列的通項(xiàng)公式可以是.所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________.三?解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?演算步驟或證明過程.16.已知展開式中第2項(xiàng)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等.（1）求n的值；（2）求展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和；（3）判斷展開式中是否存在常數(shù)項(xiàng)，并說明理由.17.已知函數(shù).（1）求單調(diào)區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的最值.18.下表為高二年級(jí)某班學(xué)生體質(zhì)健康測(cè)試成績（百分制）的頻率分布表，已知在分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生數(shù)為14人.分?jǐn)?shù)段頻率0.120.160.20.180.140.1a（1）求測(cè)試成績?cè)诜謹(jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)；（2）現(xiàn)從分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中抽出2人代表該班參加校級(jí)比賽，若這2人都是男生的概率為，求分?jǐn)?shù)段內(nèi)男生的人數(shù)；（3）若在分?jǐn)?shù)段內(nèi)的女生有4人，現(xiàn)從分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)抽出3人參加體質(zhì)提升鍛煉小組，記X為從該組軸出的男生人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.19.已知數(shù)列為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為，數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，且.（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和；（3）數(shù)列滿足，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求的最小值.20.已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.（3）證明：.21.若存在某常數(shù)M（或m），對(duì)于一切，都有（或），則稱數(shù)列上（或下）界，若數(shù)列既有上界也有下界，則稱數(shù)列為“有界”.（1）已知4個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式如下：①；②；③；④.請(qǐng)寫出其中“有界數(shù)列”的序號(hào)；（2）若，判斷數(shù)列是否為“有界數(shù)列”，說明理由；（3）在（2）的條件下，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，是否存在正整數(shù)k，使，都有成立？若存在，求出k的范圍；若不存在，說明理由.

參考答案一?選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.的值為（）A.20 B.10 C.5 D.2【答案】A【解析】【分析】由排列數(shù)定義計(jì)算．【詳解】故選：A．2.的展開式中，的系數(shù)為（）A.12 B. C.6 D.【答案】C【解析】【分析】寫出展開式的通項(xiàng)，再代入計(jì)算可得；【詳解】解：二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，所以，即的系數(shù)為；故選：C3.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表，則X的數(shù)學(xué)期望等于（）X012P0.2a0.5A.0.3 B.0.8 C.1.2 D.1.3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)求出，再根據(jù)期望公式計(jì)算可得；【詳解】解：依題意可得，解得，所以；故選：D4.設(shè)函數(shù)，則（）A.0 B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，直接代入求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，所以.故選：B5.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中為圖上三個(gè)不同的點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)圖形及導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷即可；【詳解】解：由圖可知函數(shù)在點(diǎn)的切線斜率小于，即，在點(diǎn)的切線斜率等于，即，在點(diǎn)的切線斜率大于，即，所以；故選：B6.已知某居民小區(qū)附近設(shè)有A，B，C，D4個(gè)核酸檢測(cè)點(diǎn)，居民可以選擇任意一個(gè)點(diǎn)位去做核酸檢測(cè)，現(xiàn)該小區(qū)的3位居民要去做核酸檢測(cè)，則檢測(cè)點(diǎn)的選擇共有（）A.64種 B.81種 C.7種 D.12種【答案】A【解析】【分析】由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算．【詳解】3位居民依次選擇檢測(cè)點(diǎn)，方法數(shù)為．故選：A．7.中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題：今有牛?馬?羊食人苗，苗主責(zé)之粟五斗，羊主曰：“我羊食半馬?”馬主曰：“我馬食半牛，”今欲衰償之，問各出幾何？此問題的譯文是：今有牛，馬，羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償5斗粟，羊主人說：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半，”馬主人說：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例償還，他們各應(yīng)償還多少？試問：該問題中牛主人應(yīng)償還（）斗粟A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】牛主人應(yīng)償還x斗粟，由題意列方程即可解得.【詳解】設(shè)牛主人應(yīng)償還x斗粟，則馬主人應(yīng)償還斗粟，羊主人應(yīng)償還斗粟，所以，解得：.故選：B8.降低室內(nèi)微生物密度的有效方法是定時(shí)給室內(nèi)注入新鮮空氣，即開窗通風(fēng)換氣.在某室內(nèi)，空氣中微生物密度（c）隨開窗通風(fēng)換氣時(shí)間（t）的關(guān)系如下圖所示.則下列時(shí)間段內(nèi)，空氣中微生物密度變化的平均速度最快的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】連接圖上的點(diǎn)，利用直線的斜率與平均變化率的定義判斷即可；【詳解】解：如圖分別令、、、、所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為、、、、，由圖可知，所以內(nèi)空氣中微生物密度變化的平均速度最快；故選：C9.已知數(shù)列為各項(xiàng)均為整數(shù)的等差數(shù)列，公差為d，若，則的最小值為（）A.9 B.10 C.11 D.12【答案】C【解析】【分析】由題意可得，得，由于等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，得到公差也為正整數(shù)，即為24的約數(shù)，從而可求出相應(yīng)的的值，進(jìn)而可求出的最小值【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)閿?shù)列為各項(xiàng)均為整數(shù)的等差數(shù)列，所以公差也為正整數(shù)，所以只能是1，2，3，4，6，8，12，24，此時(shí)的相應(yīng)取值為25，13，9，7，5，4，3，2，所以的分別為26，15，12，11，11，12，15，26，所以的最小值為11，故選：C10.已知是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是（）A. B.一定存在極小值點(diǎn)C.若，則是函數(shù)的極小值點(diǎn) D.若，則【答案】D【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，有兩個(gè)不等實(shí)根，然后由極值點(diǎn)、單調(diào)性與的根的關(guān)系判斷各選項(xiàng)．【詳解】，是極大值點(diǎn)，有兩個(gè)不等實(shí)根，，即，設(shè)有兩不等實(shí)根和，是極大值點(diǎn)，則時(shí)，，時(shí)，，從而時(shí)，，是極小值點(diǎn)．B正確；由于時(shí)，，因此A正確；若，則，,的兩解互為相反數(shù)，即，C正確；時(shí)，，，D錯(cuò)．故選：D．二?填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.已知等差數(shù)列，，則___________.【答案】5【解析】【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算．【詳解】由題意，．故答案為：5．12.某學(xué)校擬邀請(qǐng)5位學(xué)生家長中的3位參加一個(gè)座談會(huì)，其中甲同學(xué)家長必須參加，則不同的邀請(qǐng)方法有___________種.【答案】6【解析】【分析】從剩下的四位家長中選2位即可得．【詳解】甲同學(xué)家長必須參加，則還需從剩下的4位家長中選2位，方法數(shù)為．故答案：6．13.已知某品牌只賣A，B兩種型號(hào)的產(chǎn)品，兩種產(chǎn)品的比例為，其中A型號(hào)產(chǎn)品優(yōu)秀率為，B型號(hào)產(chǎn)品優(yōu)秀率為，則購買一件該品牌產(chǎn)品為優(yōu)秀品的概率為___________.【答案】##078【解析】【分析】根據(jù)全概率公式直接求解.【詳解】根據(jù)題意，購買一件該品牌產(chǎn)品為優(yōu)秀品的的概率為：.故答案為：.14.函數(shù)的最小值為___________.【答案】1【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，確定單調(diào)性可得最小值．【詳解】，由得，得，在上遞減，在上遞增，所以的極小值也是最小值為．故答案為：1．15.已知數(shù)列，滿足不等式（其中），對(duì)于數(shù)列給出以下四個(gè)結(jié)論：①；②數(shù)列一定是遞增數(shù)列；③數(shù)列通項(xiàng)公式可以是；④數(shù)列的通項(xiàng)公式可以是.所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________.【答案】①③④【解析】【分析】求得與的大小關(guān)系判斷①；舉反例否定②；利用題給條件證明數(shù)列的通項(xiàng)公式可以是肯定③；利用題給條件證明數(shù)列的通項(xiàng)公式可以是肯定④.【詳解】數(shù)列滿足不等式（其中），則有（其中），①由，可得.判斷正確；②當(dāng)時(shí)，滿足，數(shù)列為常數(shù)列.則數(shù)列不一定是遞增數(shù)列.判斷錯(cuò)誤；③當(dāng)時(shí)，由，可得，即不等式成立，則數(shù)列的通項(xiàng)公式可以是.判斷正確；④當(dāng)時(shí)，則不等式成立，則數(shù)列的通項(xiàng)公式可以是.判斷正確；故答案為：①③④三?解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?演算步驟或證明過程.16.已知的展開式中第2項(xiàng)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等.（1）求n的值；（2）求展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和；（3）判斷展開式中是否存在常數(shù)項(xiàng)，并說明理由.【答案】（1）5；（2）1024；（3）不存在.【解析】【分析】（1）利用第2項(xiàng)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，列方程，即可解得；（2）利用賦值法令代入可得；（3）利用通項(xiàng)公式列方程求解即可.【小問1詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為.因?yàn)檎归_式中第2項(xiàng)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以，解得：.【小問2詳解】要求展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和，只需令代入可得：.即展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為1024.【小問3詳解】要求展開式中的常數(shù)項(xiàng)，只需在中，令，而,所以無解，即展開式中不存在常數(shù)項(xiàng).17.已知函數(shù).（1）求單調(diào)區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的最值.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）最小值為，最大值為4【解析】【分析】（1）先求定義域，再求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)求出單調(diào)區(qū)間；（2）結(jié)合第一問求出最小值，再比較端點(diǎn)值求出最大值.【小問1詳解】定義域?yàn)镽，，令得：或，令得：，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為【小問2詳解】由（1）可知：在處取得極小值，且為最小值，故，又因?yàn)?，而，所以，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為418.下表為高二年級(jí)某班學(xué)生體質(zhì)健康測(cè)試成績（百分制）的頻率分布表，已知在分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生數(shù)為14人.分?jǐn)?shù)段頻率0.120.160.20.180.140.1a（1）求測(cè)試成績?cè)诜謹(jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)；（2）現(xiàn)從分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中抽出2人代表該班參加校級(jí)比賽，若這2人都是男生的概率為，求分?jǐn)?shù)段內(nèi)男生的人數(shù)；（3）若在分?jǐn)?shù)段內(nèi)的女生有4人，現(xiàn)從分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)抽出3人參加體質(zhì)提升鍛煉小組，記X為從該組軸出的男生人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）5（2）4（3）分布列見解析，【解析】【分析】（1）利用在分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生數(shù)為14人求出高二年級(jí)某班學(xué)生總數(shù)，再利用頻率和為1求出，兩數(shù)相乘可得答案；（2）設(shè)男生有人，根據(jù)抽出2人這2人都是男生的概率為，解得可得答案；（3）求出在分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生人數(shù)及男生人數(shù)，可得X的取值及對(duì)應(yīng)的概率，可得分布列和期望.【小問1詳解】高二年級(jí)某班學(xué)生共有人，因?yàn)椋?，所以測(cè)試成績?cè)诜謹(jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)為人.【小問2詳解】由（1）知在分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生有5人，設(shè)男生有人，若抽出2人這2人都是男生的概率為，則，解得，所以在分?jǐn)?shù)段內(nèi)男生有4人.【小問3詳解】在分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生有人，所以男生有2人，X的取值有，，，，X的分布列為X012P.19.已知數(shù)列為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為，數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，且.（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和；（3）數(shù)列滿足，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求的最小值.【答案】（1），（2）（3）-10【解析】【分析】（1）根據(jù)，求出公差，從而求出通項(xiàng)公式，結(jié)合求出公比，得到等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用等比數(shù)列求和公式求解；（3）先求出，結(jié)合的增減性和正負(fù)性求出當(dāng)或5時(shí)，取得最小值，求出最小值【小問1詳解】，因?yàn)?，所以，故，所以，故，又題意得：，所以，解得：或-5（舍去），因?yàn)?，所以，所以【小?詳解】數(shù)列的前n項(xiàng)和【小問3詳解】，可以看出為遞增數(shù)列，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)或5時(shí)，取得最小值，最小值為20.已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.（3）證明：.【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析．【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，計(jì)