吳贛昌第五版經(jīng)管類概率論和數(shù)理統(tǒng)計課后習題完整版

./隨機事件及其概率1.1隨機事件習題1試說明隨機試驗應具有的三個特點．習題2將一枚均勻的硬幣拋兩次,事件A,B,C分別表示"第一次出現(xiàn)正面","兩次出現(xiàn)同一面","至少有一次出現(xiàn)正面",試寫出樣本空間及事件A,B,C中的樣本點.現(xiàn)習題91.2隨機事件的概率1.3古典概型現(xiàn)習題3現(xiàn)習題4現(xiàn)習題5現(xiàn)習題6現(xiàn)習題7現(xiàn)習題8現(xiàn)習題9現(xiàn)習題101.4條件概率習題3空現(xiàn)習題41.5事件的獨立性現(xiàn)習題6現(xiàn)習題7現(xiàn)習題8總習題1習題3.證明下列等式：習題4.現(xiàn)習題5習題6.習題7習題8習題9習題10習題11現(xiàn)習題12習題13習題14習題15習題16習題17習題18習題19習題20習題21習題22現(xiàn)習題23現(xiàn)習題24第二章隨機變量及其分布2.1隨機變量習題1隨機變量的特征是什么？解答：①隨機變量是定義在樣本空間上的一個實值函數(shù).②隨機變量的取值是隨機的,事先或試驗前不知道取哪個值.③隨機變量取特定值的概率大小是確定的.習題2試述隨機變量的分類.解答：①若隨機變量X的所有可能取值能夠一一列舉出來,則稱X為離散型隨機變量；否則稱為非離散型隨機變量.②若X的可能值不能一一列出,但可在一段連續(xù)區(qū)間上取值,則稱X為連續(xù)型隨機變量.習題3盒中裝有大小相同的球10個,編號為0,1,2,?,9,

從中任取1個,觀察號碼是"小于5","等于5","大于5"的情況,試定義一個隨機變量來表達上述隨機試驗結果,并寫出該隨機變量取每一個特定值的概率.2.2離散型隨機變量及其概率分布習題1設隨機變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布,且P{X=1}=P{X=2},求λ.習題2設隨機變量X的分布律為

P{X=k}=k15,k=1,2,3,4,5,試求<1>P{12<X<52;

<2>P{1≤X≤3};

<3>P{X>3}.習題3一袋中裝有5只球,編號為1,2,3,4,5.在袋中同時取3只,以X表示取出的3只球中的最大號碼,寫出隨機變量X的分布律.習題4<空>習題5某加油站替出租車公司代營出租汽車業(yè)務,每出租一輛汽車,可從出租公司得到3元.因代營業(yè)務,每天加油站要多付給職工服務費60元,設每天出租汽車數(shù)X是一個隨機變量,它的概率分布如下：X10203040pi0.150.250.450.15求因代營業(yè)務得到的收入大于當天的額外支出費用的概率.習題6設自動生產線在調整以后出現(xiàn)廢品的概率為p=0.1,

當生產過程中出現(xiàn)廢品時立即進行調整,X代表在兩次調整之間生產的合格品數(shù),試求：<1>X的概率分布；<2>P{X≥5};<3>在兩次調整之間能以0.6的概率保證生產的合格品數(shù)不少于多少?習題7設某運動員投籃命中的概率為0.6,求他一次投籃時,投籃命中的概率分布.習題8某種產品共10件,其中有3件次品,現(xiàn)從中任取3件,求取出的3件產品中次品的概率分布.習題9一批產品共10件,其中有7件正品,3件次品,每次從這批產品中任取一件,取出的產品仍放回去,求直至取到正品為止所需次數(shù)X的概率分布.習題10紡織廠女工照顧800個紡綻,每一紡錠在某一段時間τ內斷頭的概率為0.005,在τ這段時間內斷頭次數(shù)不大于2的概率.習題11設書籍上每頁的印刷錯誤的個數(shù)X服從泊松分布,經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)在某本書上,有一個印刷錯誤與有兩個印刷錯誤的頁數(shù)相同,求任意檢驗4頁,每頁上都沒有印刷錯誤的概率.2.3隨機變量的分布函數(shù)習題1.解答：離散.由于F<x>是一個階梯函數(shù),故知X是一個離散型隨機變量.習題2習題3已知離散型隨機變量X的概率分布為P{X=1}=0.3,P{X=3}=0.5,P{X=5}=0.2,試寫出X的分布函數(shù)F<x>,并畫出圖形.習題4習題5習題6在區(qū)間[0,a]上任意投擲一個質點,以X表示這個質點的坐標.設這個質點落在[0,a]中任意小區(qū)間內的概率與這個小區(qū)間的長度成正比例,試求X的分布函數(shù).2.4連續(xù)型隨機變量及其概率密度習題1習題2習題3習題4習題5設一個汽車站上,某路公共汽車每5分鐘有一輛車到達,設乘客在5分鐘內任一時間到達是等可能的,試計算在車站候車的10位乘客中只有1位等待時間超過4分鐘的概率.習題6習題7<空>習題8習題9習題10習題112.5隨機變量函數(shù)的分布習題1習題2習題3習題4習題5習題6總習題二1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、第三章多維隨機變量及其分布3.1二維隨機變量及其分布1、2、⑴⑵⑶3、⑴⑵⑶4、5、6、7、8、9、3.2條件分布與隨機變量的獨立性1、2、3、4、5、6、7、3.3二維隨機變量函數(shù)的分布1、2、7、4、復習總結與總習題解答1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、〔空15、16、17、第四章隨機變量的數(shù)字特征4.1數(shù)學期望1、2、3、45、6、7、8、9、10、11、4.2方差1、2、3、4、5、6、7、8、4.3協(xié)方差與相關系數(shù)1、2、3、4、5、6、7、8、4.4大數(shù)定理與中心極限定理1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、總習題四解答1、2、3、4、5、6、X表示每件產品的利潤,則X取-2,10,求每件產品的平均利潤,即X的數(shù)學期望.E<X>=-2×0.1+10×0.9=8.8.7、8、9、10、11、12、13、14、15、故cov<X,Y>=0.16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、第五章數(shù)理統(tǒng)計的基礎知識5.1數(shù)理統(tǒng)計的基本概念習題1已知總體X服從[0,λ]上的均勻分布<λ未知>,X1,X2,?,Xn為X的樣本,則<>.<A>1/n∑i=1nXi-λ2是一個統(tǒng)計量；<B>1/n∑i=1nXi-E<X>是一個統(tǒng)計量；<C>X1+X2是一個統(tǒng)計量；<D>1/n∑i=1nXi^2-D<X>是一個統(tǒng)計量.解答：應選<C>.由統(tǒng)計量的定義：樣本的任一不含總體分布未知參數(shù)的函數(shù)稱為該樣本的統(tǒng)計量.<A><B><D>中均含未知參數(shù).習題2觀察一個連續(xù)型隨機變量,抽到100株"豫農一號"玉米的穗位<單位：cm>,得到如下表中所列的數(shù)據(jù).按區(qū)間[70,80>,[80,90>,?,[150,160>,將100個數(shù)據(jù)分成9個組,列出分組數(shù)據(jù)計表<包括頻率和累積頻率>,并畫出頻率累積的直方圖.解答：分組數(shù)據(jù)統(tǒng)計表組序號123456789組限組中值組頻率組頻率%累計頻率%70~807533380~9085991290~10095131325100~110105161641110~120115262667120~130125202087130~1401357794140~1501454498150~16015522100頻率直方圖見圖<a>,累積頻率直方圖見圖<b>.習題3測得20個毛坯重量<單位：g>,列成如下簡表：毛坯重量185187192195200202205206頻數(shù)11111211毛坯重量207208210214215216218227頻數(shù)21112121將其按區(qū)間[183.5,192.5>,?,[219.5,228.5>組,列出分組統(tǒng)計表,并畫出頻率直方圖.解答：分組統(tǒng)計表見表組序號12345組限183.5,～192.5192.5,～201.5201.5,～210.5210.5,～219.5219.5,～228.5組中值188197206215224組頻數(shù)32861組頻率/%151040305頻率直方圖見下圖習題4某地區(qū)抽樣調查200個居民戶的月人均收入,得如下統(tǒng)計資料：月人均收入<百元>5-66-77-88-99-1010-1111-12合計戶數(shù)18357624191414200求樣本容量n,樣本均值Xˉ,樣本方差S^2.解答：對于抽到的每個居民戶調查均收入,可見n=200.這里,沒有給出原始數(shù)據(jù),而是給出了整理過的資料<頻率分布>,我們首先計算各組的"組中值",然后計算Xˉ和S2的近似值：月人均收入<百元>5-66-77-88-99-1010-1111-12合計組中值ak5.56.57.58.59.510.511.5-戶數(shù)fk18357624191414200Xˉ=1n∑kakfk=1200<5.5×18+?+11.5×14>=7.945,S2≈1n-1∑k<ak-Xˉ>2fk=1n-1∑kak2fk-Xˉ2=1199<5.52×18+?+11.52×14>-7.945≈66.0402-63.123025=2.917175.習題5設總體X服從二項分布B<10,3100>,X1,X2,?,Xn為來自總體的簡單隨機樣本,Xˉ=1n∑i=1nXi與Sn2=1n∑i=1n<Xi-Xˉ>2分別表示樣本均值和樣本二階中心矩,試求E<Xˉ>,E<S2>.解答：由X～B<10,3100>,得E<X>=10×3100=310,D<X>=10×3100×97100=2911000,所以E<Xˉ>=E<X>=310,E<S2>=n-1nD<X>=291<n-1>1000n.習題6設某商店100天銷售電視機的情況有如下統(tǒng)計資料日售出臺數(shù)k23456合計天數(shù)fk2030102515100求樣本容量n,經(jīng)驗分布函數(shù)Fn<x>.解答：<1>樣本容量n=100;<2>經(jīng)驗分布函數(shù)Fn<x>={0,x<20.20,2≤x<30.50,3≤x<40.60,4≤x<50.85,5≤x<61,x≥6.習題7設總體X的分布函數(shù)為F<x>,概率密度為f<x>,X1,X2,?,Xn為來自總體X的一個樣本,記X<1>=min1≤i≤n<Xi>,X<n>=max1≤i≤n<Xi>,試求X<1>和X<n>各自的分布函數(shù)和概率密度.解答：設X<1>的分布函數(shù)和概率密度分別為F1<x>和f1<x>,X<n>的分布函數(shù)和概率密度分別為Fn<x>和fn<x>,則Fn<X>=P{X<n>≤x}=P{X1≤x,?,X<n>≤x}=P{X1≤x}P{X2≤x}?P{Xn≤x}=[F<x>]n,fn<x>=F′n<x>=n[F<x>]n-1f<x>,F1<x>=P{X<1>≤x}=1-P{X<1>>x}=1-P{X1>x,X2>x,?,Xn>x}=1-P{X1>x}P{X2>x}?P{Xn>x}=1-[1-P{X1≤x}][1-P{X2≤x}]?[1-P{Xn≤x}]=1-[1-F<x>]n,F′1<x>=f1<x>=n[1-F<x>]n-1f<x>.習題8設總體X服從指數(shù)分布e<λ>,X1,X2是容量為2的樣本,求X<1>,X<2>的概率密度.解答：f<x>={λe-λx,x>00,其它,F<x>={1-e-λx,x>00,x≥0,X<2>的概率密度為f<2><x>=2F<x>f<x>={2λe-λx<1-e-λx>,x>00,其它,又X<1>的概率密度為f<1><x>=2[1-F<x>]f<x>={2λe-2λx,x>00,其它.習題9設電子元件的壽命時間X<單位：h>服從參數(shù)λ=0.0015的指數(shù)分布,今獨立測試n=6元件,記錄它們的失效時間,求：<1>沒有元件在800h之前失效的概率；<2>沒有元件最后超過3000h的概率.解答：<1>總體X的概率密度f<x>={<0.0015>e-0.0015x,x>00,其它,分布函數(shù)F<x>={1-e-0.0015x,x>00,其它,{沒有元件在800h前失效}={最小順序統(tǒng)計量X<1>>800},有P{X<1>>800}=[P{X>800}]6=[1-F<800>]6=exp<-0.0015×800×6>=exp<-7.2>≈0.000747.<2>{沒有元件最后超過3000h}={最大順序統(tǒng)計量X<6><3000}P{X<6><3000}=[P{X<3000}]6=[F<3000>]6=[1-exp{-0.0015×3000}]6=[1-exp{-4.5}]6≈0.93517.習題10設總體X任意,期望為μ,方差為σ2,若至少要以95%的概率保證∣Xˉ-μ∣<0.1σ,問樣本容量n應取多大？解答：因當n很大時,Xˉ-N<μ,σ2n>,于是P{∣Xˉ-μ∣<0.1σ}=P{μ-0.1σ<Xˉ<μ+0.1σ}≈Φ<0.1σσ/n>-Φ<-0.1σσ/n>=2Φ<0.1n>-1≥0.95,則Φ<0.1n>≥0.975,查表得Φ<1.96>=0.975,因Φ<x>非減,故0.1n≥1.96,n≥384.16,故樣本容量至少取385才能滿足要求.5.2常用統(tǒng)計分布習題1對于給定的正數(shù)a<0<a<1>,設za,χa2<n>,ta<n>,Fa<n1,n2>分別是標準正態(tài)分布,χ2<n>,t<n>,F<n1,n2>分布的上a分位點,則下面的結論中不正確的是<>.<A>z1-a<n>=-za<n>;<B>χ1-a2<n>=-χa2<n>;<C>t1-a<n>=-ta<n>;<D>F1-a<n1,n2>=1Fa<n2,n1>.解答：應選<B>.因為標準正態(tài)分布和t分布的密度函數(shù)圖形都有是關于y軸對稱的,而χ2分布的密度大于等于零,所以<A>和<C>是對的.<B>是錯的.對于F分布,若F～F<n1,n2>,則1-a=P{F>F1-a<n1,n2>}=P{1F<1F1-a<n1,n2>=1-P{1F>1F1-a<n1,n2>由于1F～F<n2,n1>,所以P{1F>1F1-a<n1,n2>=P{1F>Fa<n2,n1>=a,即F1-a<n1,n2>=1Fa<n2,n1>.故<D>也是對的.習題2<1>2.設總體X～N<0,1>,X1,X2,?,Xn為簡單隨機樣本,問下列各統(tǒng)計量服從什么分布?<1>X1-X2X32+X42;解答：因為Xi～N<0,1>,i=1,2,?,n,所以：X1-X2～N<0,2>,X1-X22～N<0,1>,X32+X42～χ2<2>,故X1-X2X32+X42=<X1-X2>/2X32+X422～t<2>.習題2<2>2.設總體X～N<0,1>,X1,X2,?,Xn為簡單隨機樣本,問下列各統(tǒng)計量服從什么分布?<2>n-1X1X22+X32+?+Xn2;解答：因為Xi～N<0,1>,∑i=2nXi2～χ2<n-1>,所以n-1X1X22+X32+?+Xn2=X1∑i=2nXi2/<n-1>～t<n-1>.習題2<3>2.設總體X～N<0,1>,X1,X2,?,Xn為簡單隨機樣本,問下列各統(tǒng)計量服從什么分布?<3><n3-1>∑i=13Xi2/∑i=4nXi2.解答：因為∑i=13Xi2～χ2<3>,∑i=4nXi2～χ2<n-3>,所以：<n3-1>∑i=13Xi2/∑i=4nXi2=∑i=13Xi2/3∑i=4nXi2/<n-3>～F<3,n-3>.習題3設X1,X2,X3,X4是取自正態(tài)總體X～N<0,22>的簡單隨機樣本,且Y=a<X1-2X2>2+b<3X3-4X4>2,則a=?,b=?時,統(tǒng)計量Y服從χ2分布,其自由度是多少？解答：解法一Y=[a<X1-2X2>]2+[b<3X3-4X4>]2,令Y1=a<X1-2X2>,Y2=b<3X3-4X4>,則Y=Y12+Y22,為使Y～χ2<2>,必有Y1～N<0,1>,Y2～N<0,1>,因而E<Y1>=0,D<Y1>=1,E<Y2>=0,D<Y2>=1,注意到D<X1>=D<X2>=D<X3>=D<X4>=4,由D<Y1>=D[a<X1-2X2>]=aD<X1-X2>=a<D<X1>+22D<X2>>=a<4+4×4>=20a=1,D<Y2>=D[b<3X3-4X4>]=bD<3X3-4X4>=b<9D<X3>+16D<X4>>=b<4×9+16×4>=100b=1,分別得a=120,b=1100.這時Y～χ2<2>,自由度為n=2.解法二因Xi～N<0,22>且相互獨立,知X1-2X2=X1+<-2>X2～N<0,20>,3X3-4X4=3X3+<-4>X4～N<0,100>,故X1-2X220～N<0,1>,3X3-4X4100～N<0,1>,為使Y=<X1-2X21/a>2+<3X3-4X41/b>2～χ2<2>,必有X1-2X21/a～N<0,1>,3X3-4X41/b～N<0,1>,與上面兩個服從標準正態(tài)分布的隨機變量比較即是1a=20,1b=100,即a=120,b=1100.習題4設隨機變量X和Y相互獨立且都服從正態(tài)分布N<0,32>.X1,X2,?,X9和Y1,Y2,?,Y9是分別取自總體X和Y的簡單隨機樣本,試證統(tǒng)計量T=X1+X2+?+X9Y12+Y22+?+Y92服從自由度為9的t分布.解答：首先將Xi,Yi分別除以3,使之化為標準正態(tài).令X′i=Xi3,Y′i=Yi3,i=1,2,?,9,則X′i～N<0,1>,Y′i～N<0,1>;再令X′=X′1+X′2+?+X′9,則X′～N<0,9>,X′3～N<0,1>,Y′2=Y′12+Y′22+?+Y′92,Y′2～χ2<9>.因此T=X1+X2+?+X9Y12+Y22+?+Y92=X1′+X2′+?+X9′Y′12+Y′22+?+Y′92=X′Y′2=X′/3Y′2/9～t<9>,注意到X′,Y′2相互獨立.習題5設總體X～N<0,4>,而X1,X2,?,X15為取自該總體的樣本,問隨機變量Y=X12+X22+?+X1022<X112+X122+?+X152>服從什么分布？參數(shù)為多少？解答：因為Xi2～N<0,1>,故Xi24～χ2<1>,i=1,2,?,15,而X1,X2,?,X15獨立,故X12+X22+?+X1024～χ2<10>,X112+X122+?+X1524～χ2<5>,所以X12+X22+?+X1024/10X112+X122+?+X1524/5=X12+X22+?+X1022<X112+X122+?+X152>=Y習題6證明：若隨機變量X服從F<n1,n2>的分布,則<1>Y=1X服從F<n2,n1>分布；<2>并由此證明F1-α<n1,n2>=1Fα<n2,n1>.解答：<1>因隨機變量X服從F<n1,n2>,故可設X=U/n1V/n2,其中U服從χ2<n1>,V服從χ2<n2>,且U與V相互獨立,設1X=V/n2U/n1,由F分布之定義知Y=1x=V/n2U/n1,服從F<n2,n1>.<2>由上側α分位數(shù)和定義知P{X≥F1-α<n1,n2>}=1-α,P{1X≤1F1-α<n1,n2>=1-α,即P{Y≤1F1-α<n1,n2>=1-α,1-P{Y>1F1-α<n1,n2>=1-α,故P{Y>1F1-α<n1,n2>=α,而P{Y≥Fα<n2,n1>}=α.又Y為連續(xù)型隨機變量,故P{Y≥1F1-α<n1,n2>=α,從而Fα<n2,n1>=1F1-α<n1,n2>,即F1-α<n1,n2>=1Fα<n2,n1>.習題7查表求標準正態(tài)分布的上側分位數(shù)：u0.4,u0.2,u0.1與u0.05.解答：u0.4=0.253,u0.2=0.8416,u0.1=1.28,u0.05=1.65.習題8查表求χ2分布的上側分位數(shù)：χ0.952<5>,χ0.052<5>,χ0.992<10>與χ0.012<10>.解答：1.145,11.071,2.558,23.209.習題9查表求F分布的上側分位數(shù)：F0.95<4,6>,F0.975<3,7>與F0.99<5,5>.解答：0.1623,0.0684,0.0912.習題10查表求t分布的下側分位數(shù)：t0.05<3>,t0.01<5>,t0.10<7>與t0.005<10>.解答：2.353,3.365,1.415,3.169.5.3抽樣分布習題1已知離散型均勻總體X,其分布律為X246Pi1/31/31/3取大小為n=54的樣本,求：<1>樣本平均數(shù)Xˉ落于4.1到4.4之間的概率；<2>樣本均值Xˉ超過4.5的概率.解答：μ=E<X>=13×<2+4+6>=4,σ2=E<X2>-[E<X>]2=13×<22+42+66>-42=83,所以μXˉ=μ=4,σXˉ2=σ2n=8/354=481,σXˉ=29.令Z=Xˉ-42/9,則n充分大時,Z～近似N<0,1>.<1>P{4.1<Xˉ<4.4}=P{4.1-42/9<Z<4.4-42/9≈Φ<1.8>-Φ<0.45>=0.9641-0.6736=0.2905.<2>P{Xˉ>4.5}=P{Z>4.5-42/9=1-P{Z≤2.25}≈1-Φ<2.25>=1-0.9878=0.0122.習題2設總體X服從正態(tài)分布N<10,32>,X1,X2,?,X6是它的一組樣本,設Xˉ=16∑i=16Xi.<1>寫出Xˉ所服從的分布；<2>求Xˉ>11的概率.解答：<1>Xˉ～N<10,326>,即Xˉ～N<10,32>.<2>P{Xˉ>11}=1-P{Xˉ≤11}=1-Φ<11-1032>≈1-Φ<0,8165>≈1-Φ<0.82>=0.2061.習題3設X1,X2,?,Xn是總體X的樣本,Xˉ=1n∑i=1nXi,分別按總體服從下列指定分布求E<Xˉ>,D<Xˉ>.<1>X服從0-1分布b<1,p>;<2>*X服從二項分布b<m,p>;<3>X服從泊松分布P<λ>;<4>X服從均勻分布U[a,b];<5>X服從指數(shù)分布e<λ>.解答：<1>由題意,X的分布律為：P{X=k}=Pk<1-P>1-k<k=0,1>.E<X>=p,D<X>=p<1-p>.所以E<Xˉ>=E<1n∑i=1nXi>=1n∑i=1nE<Xi>=1n?np=p,D<Xˉ>=D<1n∑i=1nXi>=1n2∑i=1nD<X1>=1n2?np<1-p>=1np<1-p>.<2>由題意,X的分布律為：P{X=k}=CmkPk<1-p>m-k<k=0,1,2,?,m>.同<1>可得E<Xˉ>=mp,D<Xˉ>=1nmp<1-p>.<3>由題意,X的分布律為：P{X=k}=λkk!e-λ<λ>0,k=0,1,2,?>.E<X>=λ,D<X>=λ.同<1>可得E<Xˉ>=λ,D<Xˉ>=1nλ.<4>由E<X>=a+b2,D<X>=<b-a>212,同<1>可得E<Xˉ>=a+b2,D<Xˉ>=<b-a>212n.<5>由E<X>=1λ,D<X>=1λ2,同<1>可得D<Xˉ>=1λ,D<Xˉ>=1nλ2.習題4某廠生產的攪拌機平均壽命為5年,標準差為1年,假設這些攪拌機的壽命近似服從正態(tài)分布,求：〔1容量為9的隨機樣本平均壽命落在4.4年和5.2年之間的概率；〔2容量為9的隨機樣本平均壽命小于6年的概率。解答：〔1由題意知Xˉ～N<5,1n>,n=9,則標準化變量Z=Xˉ-51/9=Xˉ-51/3～N<0,1>.而P{4.4<Xˉ<5.2}=P{4.4-51/3<Xˉ-51/3<5.2-51/3=P{-1.8<Z<0.6}≈Φ<0.6>-Φ<-1.8>=0.7257-0.0359=0.6898〔2P{Xˉ<6}=P{Xˉ-51/3<6-51/3=P{Z<3}≈Φ<3>=0.9987.習題5設X1,X2,?,X16及Y1,Y2,?,Y25分別是兩個獨立總體N<0,16>和N<1,9>的樣本,以Xˉ和Yˉ分別表示兩個樣本均值,求P{∣Xˉ-Yˉ∣>1}.解答：Xˉ～N<0,1616>,Yˉ～N<1,925>,Xˉ-Yˉ～N<-1,1+925>,即Xˉ-Yˉ～N<-1,3425>．標準化變量Xˉ-Yˉ,令Z=Xˉ-Yˉ34/5～N<0,1>,所以P{∣Xˉ-Yˉ∣>1}=1-P{∣Xˉ-Yˉ∣≤1}=1-P{-1≤Xˉ-Yˉ≤1}=1-P{0≤Xˉ-Yˉ+134/5≤234/5≈1-Φ<1.715>+Φ<0>=1-0.9569+0.5=0.5431．習題6假設總體X服從正態(tài)分布N<20,32>,樣本X1,?,X25來自總體X,計算P{∑i=116Xi-∑i=1725Xi≤182.解答：令Y1=∑i=116Xi,Y2=∑i=1725Xi,由于X1,?,X25相互獨立同正態(tài)分布N<20,32>,因此有Y1與Y2相互獨立,且Y1～N<320,122>,Y2～N<180,92>,Y1-Y2～N<140,152>,{∑i=116Xi-∑i=1725Xi≤182=P{Y1-Y2≤182},=P{Y1-Y2-14015≤2.8≈Φ<2.8>=0.997.習題7從一正態(tài)總體中抽取容量為n=16的樣本,假定樣本均值與總體均值之差的絕對值大于2的概率為0.01,試求總體的標準差.解答：設總體X～N<μ,σ2>,樣本均值為Xˉ,則有Xˉ-μσ/n=Xˉ-μσ/4～N<0,1>.因為P{∣Xˉ-μ∣>2}=P{∣Xˉ-μσ/4∣>8σ=2P{Z>8σ=2[1-Φ<8σ>]=0.01,所以Φ<8σ>=0.995.查標準正態(tài)分布表,得8σ=2.575,從而σ=82.575=3.11.習題8設在總體N<μ,σ2>中抽取一容量為16的樣本,這里μ,σ2均為未知.<1>求P{S2/σ2≤2.041},其中S2為樣本方差；<2>求D<S2>.解答：<1>因為是正態(tài)總體,根據(jù)正態(tài)總體下的統(tǒng)計量分布可知<n-1>S2σ2～χ2<n-1>.這里n=16,于是P{S2/σ2≤2.041}=P<15S2σ2≤15×2.041>=1-P{15S2σ2>30.615<查χ2分布表可得>=1-0.01=0.99.<2>因為<n-1>S2σ2～χ2<n-1>,又知D<<n-1>S2σ2>=2<n-1>,所以D<S2>=σ4<n-1>2D<<n-1>S2σ2>=σ4<n-1>2?2<n-1>=2n-1σ4=215σ4<因為n=16>.習題9設總體X～N<μ,16>,X1,X2,?,X10為取自該總體的樣本,已知P{S2>a}=0.1,求常數(shù)a.解答：因為<n-1>S2σ2～χ2<n-1>,n=10,σ=4,所以P{S2>a}=P{9S216>916a=0.1.查自由度為9的χ2分布表得,916a=14.684,所以a≈26.105.習題10設X1,X2,?,Xn和Y1,Y2,?,Yn分別取自正態(tài)總體X～N<μ1,σ2>和Y～N<μ2,σ2>且相互獨立,問以下統(tǒng)計量服從什么分布？<1><n-1><S12+S22>σ2;<2>n[<Xˉ-Yˉ>-<μ2-σ2>]2S12+S22.解答：<1>由<n-1>S12σ2～χ2<n-1>,<n-1>S22σ2～χ2<n-1>,由χ2<n>的可加性<n-1><S12+S22>σ2～χ<2<n-1>>.<2>Xˉ-Yˉ～N<μ1-μ2,2σ2n>,標準化后<Xˉ-Yˉ>-<μ1-μ2>σ2n～N<0,1>,故有[<Xˉ-Yˉ>-<μ1-μ2>]22σ2n～χ2<1>,又由<n-1><S12+S22>σ2～χ2<2n-2>,注意F分布定義[<Xˉ-Yˉ>-<μ1-μ2>]21n2σ2/1<n-1><S12+S22>σ2/2<n-1>=n[<Xˉ-Yˉ>-<μ1-μ2>]2S1習題11分別從方差為20和35的正態(tài)總體中抽取容量為8和10的兩個樣本,求第一個樣本方差不小于第二個樣本方差的兩倍的概率.解答：用S12和S22分別表示兩個樣本方差,由定理知F=S12/σ12S22/σ22=S12/20S22/35=1.75S12S22～F<8-1,10-1>=F<7,9>.又設事件A={S12≥2S22},下面求P{S12≥2S22},因P{S12≥2S22}=P{S12S22≥2=P{S12/20S22/35≥2×3520=P{F≥3.5}.查F分布表得到自由度為n1=7,n2=9的F分布上α分布點Fα<n1=7,n2=9>有如下數(shù)值：F0.05<7,9>=3.29,F0.025<7,9>=4.20,因而F0.05<7,9>=3.29<3.5<F0.025<7,9>=4.20,即事件A的概率介于0.025和0.05之間,故0.025≤P{S12≥2S22}≤0.05.總習題解答習題1設總體X服從泊松分布.一個容量為10的樣本值為1,2,4,3,3,4,5,6,4,8,計算樣本均值,樣本方差和經(jīng)驗分布函數(shù).解答：樣本的頻率分布為xˉ=4,s2=3.6.經(jīng)驗分布函數(shù)為F10<x>={0,x<11/10,1≤x<22/10,2≤x<34/10,3≤x<47/10,4≤x<58/10,5≤x<69/10,6≤x<71,x≥8.習題2A廠生產的某產種電器的使用壽命服從指數(shù)分布,參數(shù)λ未知.為此,抽查了n件電器,測量其使用壽命,試確定本問題的總體、樣本及樣本的分布.解答：總體是這種電器的使用壽命,其概率密度為f<x>={λe-λx,x>00,x≤0<λ未知>,樣本X1,X2,?,Xn是n件某種電器的使用壽命,抽到的n件電器的使用壽命是樣本的一組觀察值.樣本X1,X2,?,Xn相互獨立,來自同一總體X,所以樣本的聯(lián)合密度為f<x1,x2,?,xn>={λne-λ<x1+x2+?+xn>,x1,x2,?,xn>00,其它.習題3設總體X在區(qū)間[a,b]上服從均勻分布,求：<1>來自X的簡單隨機樣本X1,X2,?,Xn的密度f<x1,x2,?,xn>;<2>Y=max{X1,X2,?,Xn}的密度fY<x>;Z=min{X1,X2,?,Xn}的密度fZ<x>.解答：<1>X的密度為f<x>={1b-a,x∈<a,b>0,其它,由于X1,X2,?,Xn獨立且與X同分布,所以有f<x1,x2,?,xn>=∏i=1nf<xi>={1<b-a>n,a≤x1≤?≤xn≤b0,其它.<2>由題設X在[a,b]上服從均勻分布,其分布函數(shù)為F<x>={0,x<ax-ab-a,x∈[a,b]1,x>b,由Y=max{X1,X2,?,Xn}及Z=min{X1,X2,?,Xn}分布函數(shù)的定義FY<x>=[F<x>]n,FZ<x>=1-[1-F<x>]n,于是有fY<x>=nFn-1<x>f<x>=n<x-a>n-1<b-a>n,x∈[a,b],fZ<x>=n[1-Fn-1<x>]n-1?f<x>=n<b-x>n-1<b-a>n,x∈[a,b].習題4在天平上重復稱一重量為a的物品,假設各次稱量的結果相互獨立,且服從正態(tài)分布N<a,0.2>.若以Xˉ表示n次稱量結果的算術平均值,求使P{∣Xˉ-a∣<0.1}≥0.95成立的稱量次數(shù)n的最小值.解答：因為Xˉ=1n∑i=1nXi～N<a,<0.2>2n>,所以Xˉ-a0.2/n～N<0,1>,故P{∣Xˉ-a∣<0.1}=P{∣Xˉ-a0.2/n∣Φ<n2>-1≥0.95,即Φ<n2>≥0.975,查正態(tài)分布表得n2≥1.96,所以n≥15.37,即n=16.習題5設總體X～N<20,3>,從X中抽取兩個樣本X1,X2,?,X10和Y1,Y2,?,X15,求概率P{∣Xˉ-Yˉ∣>0.3}.解答：因為X1,X2,?,X10和Y1,Y2,?,Y15獨立同分布,所以Xˉ～N<20,310>,Yˉ～N<20,0.2>,于是Xˉ-Yˉ～N<0,0.5>.P{∣Xˉ-Yˉ∣>0.3}=P{∣Xˉ-Yˉ∣/0.5>0.3/0.5}=1-P{∣Xˉ-Yˉ∣/0.5≤0.3/0.5}=2[1-Φ<0.3/0.5>]=2[1-0.6628]=0.6744<查正態(tài)分布表>.習題6設總體X～N<μ,σ2>,假如要以0.9606的概率保證偏差∣Xˉ-μ∣<0.1,試問：當σ2=0.25時,樣本容量n應取多大？解答：P{∣Xˉ-μ∣<0.1}=0.9606,即P{∣Xˉ-μ∣<0.1}=P{∣Xˉ-μ0.25/n∣Φ<0.1n0.25>-1=0.9606,?Φ<0.1n0.25>=0.9803?n5=2.06?n≈106.P{∣Xˉ-μ∣<0.1}=0.9606,即P{∣Xˉ-μ∣<0.1}=P{∣Xˉ-μ0.25/n∣習題7設X1ˉ和X2ˉ分別為來自正態(tài)總體N<μ,σ2>的容量為n的兩個簡單隨機樣本X11,X12,?,X1n和X21,X22,?,X2n的均值,試確定n,使兩個子樣的均值之差超過σ的概率小于0.05.解答：Xiˉ～N<μ,σ2n><i=1,2>,且X1ˉ和X2ˉ相互獨立,故有X1ˉ-X2ˉ～N<0,2σ2n>,從而X1ˉ-X2ˉσ/2/n～N<0,1>,P<∣X1ˉ-X2ˉ∣>σ>=P{∣X1ˉ-X2ˉ∣σ2/n>n2=2Φ<-n2>=2[1-Φ<n2>]<0.05,故Φ<n2>>0.975,查正態(tài)分布表n2≥1.96,所以n>7.68,即取n=8.習題8設總體X～f<x>={∣x∣,∣x∣<10,其它,X1,X2,?,X50為取自X的一個樣本,試求：<1>Xˉ的數(shù)學期望與方差；<2>S2的數(shù)學期望；<3>P{∣Xˉ∣>0.02}.解答：μ=E<X>=∫-11x∣x∣dx=0,σ2=D<X>=E<X2>-[E<X>]2=E<X2>=∫-11x2∣x∣dx=12.<1>Xˉ=1n∑i=1nXi<n=50>?E<Xˉ>=E<1n∑i=1nXi>=1n∑i=1nE<Xi>=0,D<Xˉ>=σ2n=12n=1100;<2>E<S2>=[1n-1∑i=1n<Xi-Xˉ>2]=1n-1E[∑i=1n<Xi-Xˉ>2]=1n-1E<∑i=1nXi2-nXˉ2>=1n-1<∑i=1nD<X1>-nD<Xˉ>>=1n-1<n?12-n?12n>=12;<3>P{∣Xˉ∣>0.02}=1-P{∣Xˉ∣≤0.02}=1-P{∣Xˉ-μD<Xˉ>∣≤0.02-μD<Xˉ>=1-P≥{∣X1/10∣≤0.2=2[1-Φ<0.2>]=0.8414.習題9從一正態(tài)總體中抽取容量為10的樣本,設樣本均值與總體均值之差的絕對值在4以上的概率為0.02,求總體的標準差.解答：由于Xˉ～N<μ,σ2n>,故有0.02=P{∣Xˉ-μ∣≥4}=P{∣Xˉ-μσ/n∣≥4σ/n≈2<1-Φ<4σ/n>>≈2<1-Φ<12.65σ>>,Φ<12.65σ>=0.99,即有12.65σ=u0.01=2.33,解得σ≈5.43.習題10設X1,?,Xn是取自總體X的樣本,Xˉ,S2分別為樣本均值與樣本方差,假定μ=E<X>,σ2=D<X>均存在,試求E<Xˉ>,D<Xˉ>,E<S2>.解答：E<Xˉ>=1n∑i=1nE<Xi>=1n∑i=1nE<X>=μ,D<Xˉ>=1n2∑i=1nD<Xi>=1n2∑i=1nD<X>=σ2n,E<S2>=E<1n-1<∑i=1nXi2-nXˉ2>>=1n-1<∑i=1nE<Xi2>-nE<Xˉ2>>=1n-1<∑i=1nE<X2>-nE<Xˉ2>>=1n-1<∑i=1n<μ2+σ2>-n<μ2+<σ2n>>>=σ2.注：本題證明了對于任何存在均值μ與方差σ2的總體分布,均有E<Xˉ>=μ,E<S2>=σ2.習題11設總體X服從正態(tài)分布N<μ,σ2><σ>0>,從總體中抽取簡單隨機樣本X1,?,X2n<n≥2>,其樣本均值為Xˉ=12n∑i=12nXi,求統(tǒng)計量Y=∑i=1n<Xi+Xn+i-2Xˉ>2的數(shù)學期望.解答：注意到Xi+Xn+i相互獨立,同分布N<2μ,2σ2>,則它們可認為是取自同一正態(tài)總體N<2μ,2σ2>的樣本,其樣本均值為1n∑i=1n<Xi+Xn+i>=1n∑i=12nXi=2Xˉ.如果記Zi=Xi+Xn+i,i=1,?,n,即Zi<i=1,?,n>是取自N<2μ,2σ2>的樣本,且Yn-1=1n-1∑i=1n<Xi+Xn+i-2Xˉ>2=S2<Z>,則有E<S2<Z>>=1n-1E<Y>=2σ2,所以E<Y>=2<n-1>σ2.習題12設有k個正態(tài)總體Xi～N<μi,σ2>,從第i個總體中抽取容量為ni的樣本Xi1,Xi2,?,Xini,且各組樣本間相互獨立,記Xiˉ=1n∑j=1niXij<i=1,2,?,k>,n=n1+n2+?+nk,求W=1σ2∑i=1k∑j=1ni<Xij-Xiˉ>2的分布.解答：因為∑j=1ni<Xij-Xiˉ>2σ2=<ni-1>Si2σ2～χ2<ni-1>,且<ni-1>Si2σ2<i=1,2,?,k>相互獨立,故W=1σ2∑i=1k∑j=1ni<Xij-Xiˉ>2=∑i=1k<ni-1>Si2σ2～χ2<∑i=1k<ni-1>>,而∑i=1k<ni-1>=∑i=1kni-k=n-k,故W=1σ2∑i=1k∑j=1ni<Xij-Xiˉ>2～χ2<n-k>.習題13已知X～t<n>,求證X2～F<1,n>.解答：設X=U/Yn,其中U～N<0,1>,Y～χ2<n>.且U與Y相互獨立,于是,U2～χ2<1>,且U2與Y也相互獨立,所以X2=U2/<Yn>.根據(jù)F變量的構成模式知,X2應服從F<1,n>分布.習題14設X1,X2,?,X9是取自正態(tài)總體X～N<μ,σ2>的樣本,且Y1=16<X1+X2+?+X6>,Y2=13<X7+X8+X9>,S2=12∑i=79<Xi-Y2>2,求證Z=2<Y1-Y2>S～t<2>.解答：易知Y1=16<X1+X2+?+X6>～N<μ,σ26>,Y2=13<X7+X8+?+X9>～N<μ,σ23>,且Y1與Y2獨立,故Y1-Y2～N<0,σ22>,又2S2σ2=∑i=79<Xi-Y2>2/σ2～χ2<2>,Y1-Y2與2S2σ2獨立,從而<Y1-Y2>/σ22S2σ2/2=2<Y1-Y2>S=Z～t<2>.習題15設X1,?,Xn,Xn+1是取自正態(tài)總體X～N<μ,σ2>的樣本,Xnˉ=1n∑i=1nXi,Sn=1n-1∑i=1n<Xi-Xnˉ>2,試確定統(tǒng)計量nn+1?Xn+1-XnˉSn的分布.解答：將統(tǒng)計量改寫成下列形式：nn+1?Xn+1-XnˉSn=<Xn+1-Xnˉ>/1+1nσ<n-1>Sn2σ2/<n-1><*>由于Xn+1與Xi<i=1,?,n>相互獨立,Xnˉ=1n∑i=1nXi～N<μ,σ2n>,Xn+1～N<μ,σ2>,所以Xn+1-Xnˉ～N<0,<1+1n>σ2>,從而<Xn+1-Xnˉ>/<1+1nσ>～N<0,1>,注意到Xnˉ與Sn2相互獨立,Xn+1也與Sn2相互獨立,且<n-1>Sn2σ2～χ2<n-1>,故由<*>式即得nn+1?Xn+1-XnˉSn～t<n-1>.習題16假設X1,X2,?,X9是來自總體X～N<0,22>的簡單隨機樣本,求系數(shù)a,b,c,使Q=a<X1+X2>2+b<X3+X4+X5>2+c<X6+X7+X8+X9>2服從χ2分布,并求其自由度.解答：由于X1,X2,?,X9相互獨立且取自總體X～N<0,22>,由正態(tài)分布的線性運算性質有X1+X2～N<0,8>,X3+X4+X5～N<0,12>,X6+X7+X8+X9～N<0,16>,于是,由χ2=χ12+?+χk2有Q=<X1+X2>28+<X3+X4+X5>212+<X6+X7+X8+X9>216～χ2<3>,故a=1/8,b=1/12,c=1/16,自由度為3.習題17<1>17.從總體X～N<μ,σ2>中抽取容量為16的樣本.在下列情況下分別求Xˉ與μ之差的絕對值小于2的概率：<1>已知σ2=25;解答：由σ=5,U統(tǒng)計量<Xˉ-μ>/σn～N<0,1>,P{∣Xˉ-μ∣<2}=P{∣Xˉ-μ∣/σn<2/516=P{∣U∣<1.6}=2Φ<1.6>-1=0.8904.習題17<2>17.從總體X～N<μ,σ2>中抽取容量為16的樣本.在下列情況下分別求Xˉ與μ之差的絕對值小于2的概率：<2>σ2未知,但s2=20.8.解答：由T統(tǒng)計量<Xˉ-μ>/Sn～t<n-1>,P{∣Xˉ-μ∣<2}=P{∣Xˉ-μ∣/Sn<2/20.816=P{∣T∣<1.76}=1-2×0.05=0.90.習題18<1>18.設X1,X2,?,X10取自正態(tài)總體N<0,0.32>,試求<1>P{∑i=110Xi2>1.44;解答：由∑i=1n<Xi-μ>2σ2～χ2<n>題中μ=0,因此P{∑i=110Xi2>1.44=P{∑i=110Xi2<0.3>2>1.44<0.3>2=P{χ2<10>>16}=0.1.習題19<1>設總體X具有方差σ12=400,總體Y具有方差σ22=900,兩總體的均值相等,分別自這兩個總體取容量為400的樣本,設兩樣本獨立,分別記樣本均值為Xˉ,Y,ˉ試利用切比雪夫不等式估計k,使得P{∣Xˉ-Yˉ∣<k}≥0.99.<2>設在<1>中總體X和Y均為正態(tài)變量,求k.解答：<1>由題設E<Xˉ-Yˉ>=E<Xˉ>-E<Yˉ>=0,D<Xˉ-Yˉ>=D<Xˉ>+D<Yˉ>=400400+900400=134<由兩樣本的獨立性>.由切比雪夫不等式P{∣Xˉ-Yˉ∣<k}≥1-1k2×134,按題意應有1-1k2×134=0.99,解得k=18.028.<2>由題設X,Y均為正態(tài)變量,故有Xˉ-Yˉ～N<0,134>.因此P{∣Xˉ-Yˉ∣<k}=P{∣Xˉ-Yˉ∣13/4<k13/4=P{-k13/4<Xˉ-Yˉ13/4<k13/4=Φ<k13/4>-Φ<-k13/4>=2Φ<k13/4>-1,要使2Φ<k13/4>-1≥0.99,即Φ<k13/4>≥0.995=Φ<2.58>,k13/4≥2.58,k≥4.651.習題20假設隨機變量F服從分布F<5,10>,求λ的值使其滿足P{F≥λ}=0.95.解答：一般書中給出的F分布表,給出P{F≥λ}=α的α值只有α=0.01,α=0.05等幾個較小的值,而現(xiàn)α=0.95,不能直接查F表得到λ,但是注意到P{F≥λ}=0.95,并且P{F≤λ}=P{F-1≤λ-1}=0.05,而F-1～F<10,5>,因此可查表得1λ=F0.05<10,5>=4.74,λ≈0.21.習題21設X1,X2,?,Xn是總體X～N<μ,σ2>的一個樣本,證明：E[∑i=1n<Xi-Xˉ>2]2=<n2-1>σ4.解答：因為χ2=∑i=1n<Xi-Xˉ>2/σ2～χ2<n-1>,E<χ2>=n-1,D<χ2>=2<n-1>,所以E[∑i=1n<Xi-Xˉ>2]2=σ4E[∑i=1n<Xi-Xˉ>2/σ2]2=σ4E[χ2]2=σ4[D<χ2>+[E<χ2>]2]=σ4[2<n-1>+<n-1>2]=<n2-1>σ4.第六章參數(shù)估計6.1點估計問題概述習題1總體X在區(qū)間[0,θ]上均勻分布,X1,X2,?,Xn是它的樣本,則下列估計量θ是θ的一致估計是<>.<A>θ=Xn;<B>θ=2Xn;<C>θ=Xˉ=1n∑i=1nXi;<D>θ=Max{X1,X2,?,Xn}.解答：應選<D>.由一致估計的定義,對任意?>0,P<∣Max{X1,X2,?,Xn}-θ∣<?>=P<-?+θ<Max{X1,X2,?,Xn}<?+θ>=F<?+θ>-F<-?+θ>.因為FX<x>={0,x<0xθ,0≤x≤θ1,x>θ,及F<x>=FMax{X1,X2,?,Xn}<x>=FX1<x>FX2<x>?FXn<x>,所以F<?+θ>=1,F<-?+θ>=P<Max{X1,X2,?,Xn}<-?+θ>=<1-xθ>n,故P<∣Max{X1,X2,?,Xn}-θ∣<?>=1-<1-xθ>n→1<n→+∞>.習題2設σ是總體X的標準差,X1,X2,?,Xn是它的樣本,則樣本標準差S是總體標準差σ的<>.<A>矩估計量；<B>最大似然估計量；<C>無偏估計量；<D>相合估計量.解答：應選<D>.因為,總體標準差σ的矩估計量和最大似然估計量都是未修正的樣本標準差；樣本方差是總體方差的無偏估計,但是樣本標準差不是總體標準差的無偏估計.可見,樣本標準差S是總體標準差σ的相合估計量.習題3設總體X的數(shù)學期望為μ,X1,X2,?,Xn是來自X的樣本,a1,a2,?,an是任意常數(shù),驗證<∑i=1naiXi>/∑i=1nai<∑i=1nai≠0>是μ的無偏估計量.解答：E<X>=μ,E<∑i=1naiXi∑i=1nai>=1∑i=1nai?∑i=1naiE<Xi><E<Xi>=E<X>=μ>=μ∑i=1nai∑i=1n=μ,綜上所證,可知∑i=1naiXi∑i=1nai是μ的無偏估計量.習題4設θ是參數(shù)θ的無偏估計,且有D<θ>>0,試證θ2=<θ>2不是θ2的無偏估計.解答：因為D<θ>=E<θ2>-[E<θ>]2,所以E<θ2>=D<θ>+[E<θ>]2=θ2+D<θ>>θ2,故<θ>2不是θ2的無偏估計.習題5設X1,X2,?,Xn是來自參數(shù)為λ的泊松分布的簡單隨機樣本,試求λ2的無偏估計量.解答：因X服從參數(shù)為λ的泊松分布,故D<X>=λ,E<X2>=D<X>+[E<X>]2=λ+λ2=E<X>+λ2,于是E<X2>-E<X>=λ2,即E<X2-X>=λ2.用樣本矩A2=1n∑i=1nXi2,A1=Xˉ代替相應的總體矩E<X2>,E<X>,便得λ2的無偏估計量λ2=A2-A1=1n∑i=1nXi2-Xˉ.習題6設X1,X2,?,Xn為來自參數(shù)為n,p的二項分布總體,試求p2的無偏估計量.解答：因總體X～b<n,p>,故E<X>=np,E<X2>=D<X>+[E<X>]2=np<1-p>+n2p2=np+n<n-1>p2=E<X>+n<n-1>p2,E<X2>-E<X>n<-1>=E[1n<n-1><X2-X>]=p2,于是,用樣本矩A2,A1分別代替相應的總體矩E<X2>,E<X>,便得p2的無偏估計量p2=A2-A1n<n-1>=1n2<n-1>∑i=1n<Xi2-Xi>.習題7設總體X服從均值為θ的指數(shù)分布,其概率密度為f<x;θ>={1θe-xθ,x>00,x≤0,其中參數(shù)θ>0未知.又設X1,X2,?,Xn是來自該總體的樣本,試證：Xˉ和n<min<X1,X2,?,Xn>>都是θ的無偏估計量,并比較哪個更有效.解答：因為E<X>=θ,而E<Xˉ>=E<X>,所以E<Xˉ>=θ,Xˉ是θ的無偏估計量.設Z=min<X1,X2,?,Xn>,因為FX<x>={0,x≤01-e-xθ,x>0,FZ<x>=1-[1-FX<x>]n={1-e-nxθ,x>00,x≤0,所以fZ<x>={nθe-nxθ,x>00,x≤0,這是參數(shù)為nθ的指數(shù)分布,故知E<Z>=θn,而E<nZ>=E[n<min<X1,X2,?,Xn>]=θ,所以nZ也是θ的無偏估計.現(xiàn)比較它們的方差大小.由于D<X>=θ2,故D<Xˉ>=θ2n.又由于D<Z>=<θn>2,故有D<nZ>=n2D<Z>=n2?θ2n2=θ2.當n>1時,D<nZ>>D<Xˉ>,故Xˉ較nZ有效.習題8設總體X服從正態(tài)分布N<m,1>,X1,X2是總體X的子樣,試驗證m1=23X1+13X2,m2=14X1+34X2,m3=12X1+12X2,都是m的無偏估計量；并問哪一個估計量的方差最小?解答：因為X服從N<m,1>,有E<Xi>=m,D<Xi>=1<i=1,2>,得E<m1>=E<23X1+13X2>=23E<X1>+13E<X2>=23m+13m=m,D<m1>=D<23X1+13X2>=49D<X1>+19D<X2>=49+19=59,同理可得：E<m2>=m,D<m2>=58,E<m3>=m,D<m3>=12.所以,m1,m2,m3都是m的無偏估計量,并且在m1,m2,m3中,以m3的方差為最小.習題9設有k臺儀器.已知用第i臺儀器測量時,測定值總體的標準差為σi<i=1,2,?,k>,用這些儀器獨立地對某一物理量θ各觀察一次,分別得到X1,X2,?,Xk.設儀器都沒有系統(tǒng)誤差,即E<Xi>=θ<i=1,2,?,k>,問a1,a2,?,ak應取何值,方能使用θ=∑i=1kaiXi估計θ時,θ是無偏的,并且D<θ>最??？解答：因為E<Xi>=θ<i=1,2,?,k>,故E<θ>=E<∑i=1kaiXi>=∑i=1kaiE<Xi>=θ∑i=1kai,欲使E<θ>=θ,則要∑i=1kai=1.因此,當∑i=1kai=1時,θ=∑i=1kaiXi為θ的無偏估計,D<θ>=∑i=1kai2σi2,要在∑i=1kai=1的條件下D<θ>最小,采用拉格朗日乘數(shù)法.令L<a1,a2,?,ak>=D<θ>+λ<1-∑i=1kai>=∑i=1kai2σi2+λ<1-∑i=1kai>,{?L?ai=0,i=1,2,?,k∑i=1kai=1,即2aiσi2-λ=0,ai=λ2i2;又因∑i=1kai=1,所以λ∑i=1k12σi2=1,記∑i=1k1σi2=1σ02,所以λ=2σ02,于是ai=σ02σi2<i=1,2,?,k>,故當ai=σ02σi2<i=1,2,?,k>時,θ=∑i=1kaiXi是θ的無偏估計,且方差最小.習題6.2點估計的常用方法習題1設X1,X2,?,Xn為總體的一個樣本,x1,x2,?,xn為一相應的樣本值,求下述各總體的密度函數(shù)或分布律中的未知參數(shù)的矩估計量和估計值及最大似然估計量．f<x>={θcθx-<θ+1>,x>c0,其它,其中c>0為已知,θ>1,θ為未知參數(shù).<2>f<x>={θxθ-1,0≤x≤10,其它,其中θ>0,θ為未知參數(shù).<3>P{X=x}=<mx>px<1-p>m-x,其中x=0,1,2,?,m,0<p<1,p為未知參數(shù).解答：<1>E<X>=∫c+∞x?θcθx-<θ+1>dx=θcθ∫c+∞x-θdx=θcθ-1,解出θ=E<X>E<X>-c,令Xˉ=E<X>,于是θ=XˉXˉ-c為矩估計量,θ的矩估計值為θ=xˉxˉ-c,其中xˉ=1n∑i=1nxi．另外,似然函數(shù)為L<θ>=∏i=1nf<xi;θ>=θncnθ<∏i=1nxi>-<θ+1>,xi>c,對數(shù)似然函數(shù)為lnL<θ>=nlnθ+nθlnc-<θ+1>∑i=1nlnxi,對lnL<θ>求導,并令其為零,得dlnL<θ>dθ=nθ+nlnc-∑i=1nlnxi=0,解方程得θ=n∑i=1nlnxi-nlnc,故參數(shù)的最大似然估計量為θ=n∑i=1nlnXi-nlnc．<2>E<X>=∫01x?θxθ-1dx=θθ+1,以Xˉ作為E<X>的矩估計,則θ的矩估計由Xˉ=θθ+1解出,得θ=<Xˉ1-Xˉ>2,θ的矩估計值為θ=<xˉ1-xˉ>2,其中xˉ=1n∑i=1nxi為樣本均值的觀測值．另外,似然函數(shù)為L<θ>=∏i=1nf<xi;θ>=θn/2<∏i=1nxi>θ-1,0≤xi≤1,對數(shù)似然函數(shù)為lnL<θ>=n2lnθ+<θ-1>∑i=1nlnxi,對lnL<θ>求導,并令其為零,得dlnL<θ>dθ=n2θ+12θ∑i=1nlnxi=0,解方程得θ=<-n∑i=1nlnxi>2,故參數(shù)的最大似然估計量為θ=<n∑i=1nlnXi>2．<3>X～b<m,p>,E<X>=mp,以Xˉ作為E<X>的矩估計,即Xˉ=E<X>,則參數(shù)p的矩估計為p=1mXˉ=1m?1n∑i=1nXi,p的矩估計值為p=1mxˉ=1m?1n∑i=1nxi．另外,似然函數(shù)為L<θ>=∏i=1nf<xi;θ>=<∏i=1nCmxi>p∑i=1nxi<1-p>∑i=1n<m-xi>,xi=0,1,?,m,對數(shù)似然函數(shù)為lnL<θ>=∑i=1nlnCmxi+<∑i=1nxi>lnp+<∑i=1n<m-xi>>ln<1-p>,對lnL<θ>求導,并令其為零,得dlnL<θ>dθ=1p∑i=1nxi-11-p∑i=1n<m-xi>=0,解方程得p=1mn∑i=1nxi,故參數(shù)的最大似然估計量為p=1mn∑i=1nXi=1mXˉ．習題2設總體X服從均勻分布U[0,θ],它的密度函數(shù)為f<x;θ>={1θ,0≤x≤θ0,其它,求未知參數(shù)θ的矩估計量；<2>當樣本觀察值為0.3,0.8,0.27,0.35,0.62,0.55時,求θ的矩估計值.解答：<1>因為E<X>=∫-∞+∞xf<x;θ>dx=1θ∫0θxdx=θ2,令E<X>=1n∑i=1nXi,即θ2=Xˉ,所以θ=2Xˉ.<2>由所給樣本的觀察值算得xˉ=16∑i=16xi=16<0.3+0.8+0.27+0.35+0.62+0.55>=0.4817,所以θ=2xˉ=0.9634.習題3設總體X以等概率1θ取值1,2,?,θ,求未知參數(shù)θ的矩估計量.解答：由E<X>=1×1θ+2×1θ+?+θ×1θ=1+θ2=1n∑i=1nXi=Xˉ,得θ的矩估計為θ=2Xˉ-1.習題4一批產品中含有廢品,從中隨機地抽取60件,發(fā)現(xiàn)廢品4件,試用矩估計法估計這批產品的廢品率.解答：設p為抽得廢品的概率,1-p為抽得正品的概率<放回抽取>.為了估計p,引入隨機變量Xi={1,第i次抽取到的是廢品0,第i次抽取到的是正品,于是P{Xi=1}=p,P{Xi=0}=1-p=q,其中i=1,2,?,60,且E<Xi>=p,故對于樣本X1,X2,?,X60的一個觀測值x1,x2,?,x60,由矩估計法得p的估計值為p=160∑i=160xi=460=115,即這批產品的廢品率為115.習題5設總體X具有分布律X123piθ22θ<1-θ><1-θ>2其中θ<0<θ<1>為未知參數(shù).已知取得了樣本值x1=1,x2=2,x3=1,試求θ的矩估計值和最大似然估計值.解答：E<X>=1×θ2+2×2θ<1-θ>+3×<1-θ>2=3-2θ,xˉ=1/3×<1+2+1>=4/3.因為E<X>=Xˉ,所以θ=<3-xˉ>/2=5/6為矩估計值,L<θ>=∏i=13P{Xi=xi}=P{X1=1}P{X2=2}P{X3=1}=θ4?2θ?<1-θ>=2θ5<1-θ>,lnL<θ>=ln2+5lnθ+ln<1-θ>,對θ求導,并令導數(shù)為零dlnLdθ=5θ-11-θ=0,得θL=56.習題6<1>設X1,X2,?,Xn來自總體X的一個樣本,且X～π<λ>,求P{X=0}的最大似然估計.<2>某鐵路局證實一個扳道員五年內所引起的嚴重事故的次數(shù)服從泊松分布,求一個扳道員在五年內未引起嚴重事故的概率p的最大似然估計,使用下面122個觀察值統(tǒng)計情況.下表中,r表示一扳道員某五年中引起嚴重事故的次數(shù),s表示觀察到的扳道員人數(shù).r012345sr444221942解答：<1>已知,λ的最大似然估計為λL=Xˉ.因此?P{X=0}=e-λL=e-Xˉ.<2>設X為一個扳道員在五年內引起的嚴重事故的次數(shù),X服從參數(shù)為λ的泊松分布,樣本容量n=122.算得樣本均值為xˉ=1122×∑r=05r?r=1122×<0×44+1×42+2×21+3×9+4×4+5×2>≈1.123,因此P{X=0}=e-xˉ=e-1.123≈0.3253.習題6.3置信區(qū)間習題1對參數(shù)的一種區(qū)間估計及一組觀察值<x1,x2,?,xn>來說,下列結論中正確的是<>.<A>置信度越大,對參數(shù)取值范圍估計越準確;<B>置信度越大,置信區(qū)間越長;<C>置信度越大,置信區(qū)間越短;<D>置信度大小與置信區(qū)間有長度無關.解答：應選<B>.置信度越大,置信區(qū)間包含真值的概率就越大,置信區(qū)間的長度就越大,對未知參數(shù)的估計精度越低.反之,對參數(shù)的估計精度越高,置信區(qū)間的長度越小,它包含真值的概率就越低,置信度就越小.習題2設<θ1,θ2>是參數(shù)θ的置信度為1-α的區(qū)間估計,則以下結論正確的是<>.<A>參數(shù)θ落在區(qū)間<θ1,θ2>之內的概率為1-α;<B>參數(shù)θ落在區(qū)間<θ1,θ2>之外的概率為α;<C>區(qū)間<θ1,θ2>包含參數(shù)θ的概率為1-α;<D>對不同的樣本觀察值,區(qū)間<θ1,θ2>的長度相同.解答：應先<C>.由于θ1,θ2都是統(tǒng)計量,即<θ1,θ2>是隨機區(qū)間,而θ是一個客觀存在的未知常數(shù),故<A>,<B>不正確.習題3設總體的期望μ和方差σ2均存在,如何求μ的置信度為1-α的置信區(qū)間？解答：先從總體中抽取一容量為n的樣本X1,X2,?,Xn.根據(jù)中心極限定理,知U=Xˉ-μσ/n→N<0,1><n→∞>.<1>當σ2已知時,則近似得到μ的置信度為1-α的置信區(qū)間為<Xˉ-uα/2σn,Xˉ+uα/2σn>.<2>當σ2未知時,用σ2的無偏估計S2代替σ2,這里仍有Xˉ-μS/n→N<0,1><n→∞>,于是得到μ的1-α的置信區(qū)間為<Xˉ-uα/2Sn,Xˉ+uα/2Sn>,一般要求n≥30才能使用上述公式,稱為大樣本區(qū)間估計.習題4某總體的標準差σ=3cm,從中抽取40個個體,其樣本平均數(shù)xˉ=642cm,試給出總體期望值μ的95%的置信上、下限<即置信區(qū)間的上、下限>.解答：因為n=40屬于大樣本情形,所以Xˉ近似服從N<μ,σ2n>的正態(tài)分布,于是μ的95%的置信區(qū)間近似為<Xˉ±σnuα/2>,這里xˉ=642,σ=3,n=40≈6.32,uα/2=1.96,從而<xˉ±σnuα/2>=<642±340×1.96>≈<642±0.93>,故μ的95%的置信上限為642.93,下限為641.07.習題5某商店為了了解居民對某種商品的需要,調查了100家住戶,得出每戶每月平均需求量為10kg,方差為9,如果這個商店供應10000戶,試就居民對該種商品的平均需求量進行區(qū)間估計<α=0.01>,并依此考慮最少要準備多少這種商品才能以0.99的概率滿足需求？解答：因為n=100屬于大樣本問題,所以Xˉ近似服從N<μ,σ2/n>,于是μ的99%的置信區(qū)間近似為<Xˉ±Snuα/2>,而xˉ=10,s=3,n=100,uα/2=2.58,所以<xˉ±snuα/2>=<10±3100×2.58>=<10±0.774>=<9.226,10.774>.由此可知最少要準備10.774×10000=107740<kg>這種商品,才能以0.99的概率滿足需求.習題6觀測了100棵"豫農一號"玉米穗位,經(jīng)整理后得下表<組限不包括上限>:分組編號12345組限70～8080～9090～100100～110110～120組中值758595105115頻數(shù)39131626分組編號6789組限120～130130～140140～150150～160組中值125135145155頻數(shù)20742試以95%的置信度,求出該品種玉米平均穗位的置信區(qū)間.解答：因為n=100屬于大樣本情形,所以μ的置信度為95%的置信區(qū)間上、下限近似為Xˉ±snuα/2,這里n=100,uα/2=1.96,還需計算出xˉ和s.取a=115,c=10,令zi=<xi-a>/c=<xi-115>/10,用簡單算公式,<1>xˉ=a+czˉ;<2>sx2=c2sz2.編號123456789組中值xizi=xi-11510組頻率mimizizi2mizi2-4-3-2-101234zˉ=1100∑i=19mizi=1100×<-27>=-0.27,xˉ=10×<-27>+115=112.3,sz2=199∑i=19mizi2=199×313≈3.161616,sx2=102×3.161616=316.1616,sx≈17.78.于是<xˉ±snuα>≈<112.3±17.7810×1.96>≈<112.3±3.485>=<108.815,115.785>.習題7某城鎮(zhèn)抽樣調查的500名應就業(yè)的人中,有13名待業(yè)者,試求該城鎮(zhèn)的待業(yè)率p的置信度為0.95置信區(qū)間.解答：這是<0-1>分布參數(shù)的區(qū)間估計問題.待業(yè)率p的0.95置信區(qū)間為<p1,p2>=<-b-b2-4ac2a,-b+b2-4ac2a>.其中a=n+uα/22,b=-2nXˉ-<uα/2>2,c=nXˉ2,n=500,xˉ=13500,uα/2=1.96.則<p1,p2>=<0.015,0.044>.習題8設X1,X2,?,Xn為來自正態(tài)總體N<μ,σ2>的一個樣本,求μ的置信度為1-α的單側置信限.解答：這是一個正態(tài)總體在方差未知的條件下,對μ的區(qū)間估計問題,應選取統(tǒng)計量：T=Xˉ-μS/n～t<n-1>.因為只需作單邊估計,注意到t分布的對稱性,故令P{T<tα<n-1>}=1-α和P{T>tα<n-1>}=1-α.由給定的置信度1-α,查自由度為n-1的t分布表可得單側臨界值tα<n-1>.將不等式T<tα<n-1>和T>tα<n-1>,即Xˉ-μS/n<tα<n-1>和Xˉ-μS/n>tα<n-1>分別變形,求出μ即得μ的1-α的置信下限為Xˉ-tα<n-1>Sn.μ的1-α的置信上限為Xˉ+tα<n-1>Sn,μ的1-α的雙側置信限<Xˉ-tα/2<n-1>Sn,Xˉ+tα/2<n-1>Sn>.習題6.4正態(tài)總體的置信區(qū)間習題1已知燈泡壽命的標準差σ=50小時,抽出25個燈泡檢驗,得平均壽命xˉ