圖形平移與旋轉(zhuǎn)

第2課時圖形平移與旋轉(zhuǎn)第26講圖形與變換第二篇圖形與幾何1．如圖，將周長為8的△ABC沿BC方向平移1個單位得到△DEF，則四邊形ABFD的周長為()CA．6B．8C．10D．122．如圖，在6×4方格紙中，格點三角形甲經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后得到格點三角形乙，則其旋轉(zhuǎn)中心是()A．格點MB．格點NC．格點PD．格點QB3．(2013·南昌)如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到△ADE，若∠CAE＝65°，∠E＝70°，且AD⊥BC，則∠BAC的度數(shù)為()A．60°B．75°C．85°D．90°C4．如圖，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜邊BC上兩點，且∠DAE＝45°，將△ADC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△AFB，連結(jié)EF，下列結(jié)論：①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE＋DC＝DE；④BE2＋DC2＝DE2，其中正確的是()A．②④B．①④C．②③D．①③B【解析】①△AED≌△AEF(SAS)，④易證∠FBE＝90°，又FB＝DC，F(xiàn)E＝ED，∴BE2＋FB2＝FE2可轉(zhuǎn)化為BE2＋DC2＝DE2.5．(2013·泰安)在如圖所示的單位正方形網(wǎng)格中，△ABC經(jīng)過平移后得到△A1B1C1，已知在AC上一點P(2.4，2)平移后的對應(yīng)點為P1，點P1繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)180°，得到對應(yīng)點P2，則P2點的坐標(biāo)為()A．(1.4，－1)B．(1.5，2)C．(1.6，1)D．(2.4，1)C(學(xué)P102)【問題】如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A、B、C都是格點．(1)將△ABC向左平移6個單位長度得到△A1B1C1；(2)將△ABC繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°得到△A2B2C2，請畫出△A2B2C2.(3)通過(1)、(2)作圖，你認(rèn)為利用旋轉(zhuǎn)變換、平移變換作圖要注意哪些？類型一識別(畫)圖形的平移、旋轉(zhuǎn)變換例1(2013·溫州)如圖，在方格紙中，△ABC的三個頂點和點P都在小方格的頂點上，按要求畫一個三角形，使它的頂點在方格的頂點上．(1)將△ABC平移，使點P落在平移后的三角形內(nèi)部，在圖甲中畫出示意圖；(2)以點C為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC旋轉(zhuǎn)，使點P落在旋轉(zhuǎn)后的三角形內(nèi)部，在圖乙中畫出示意圖．【思路分析】(1)根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，把△ABC向右平移后可使點P為三角形的內(nèi)部的三個格點中的任意一個；(2)把△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°即可使點P在三角形內(nèi)部．【答案】解：(1)平移后的三角形如圖1；(2)如圖2，旋轉(zhuǎn)后的三角形如圖所示．【解后感悟】本題利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，利用平移變換作圖，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵．1．(2014·邵陽)某數(shù)學(xué)興趣小組開展動手操作活動，設(shè)計了如圖所示的三種圖形，現(xiàn)計劃用鐵絲按照圖形制作相應(yīng)的造型，則所用鐵絲的長度關(guān)系是()DA．甲種方案所用鐵絲最長B．乙種方案所用鐵絲最長C．丙種方案所用鐵絲最長D．三種方案所用鐵絲一樣長類型二網(wǎng)格、平面直角坐標(biāo)系中的圖形變換例2(2014·龍東)如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都是1個單位長度，Rt△ABC的三個頂點A(－2，2)，B(0，5)，C(0，2)．(1)將△ABC以點C為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°，得到△A1B1C，請畫出△A1B1C的圖形．(2)平移△ABC，使點A的對應(yīng)點A2坐標(biāo)為(－2，－6)，請畫出平移后對應(yīng)的△A2B2C2的圖形．(3)若將△A1B1C繞某一點旋轉(zhuǎn)可得到△A2B2C2，請直接寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)．【思路分析】(1)利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出對應(yīng)點坐標(biāo)進而得出答案；(2)利用平移規(guī)律得出對應(yīng)點位置，進而得出答案；(3)利用旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)，連結(jié)對應(yīng)點，即可得出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)．【答案】(1)如圖所示：△A1B1C即為所求；(2)如圖所示：△A2B2C2即為所求；(3)旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)(0，－2)．【解后感悟】本題是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及圖形的平移等知識運用，根據(jù)題意得出對應(yīng)點坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.2．(2014·涼山州)如圖，正方形網(wǎng)格中，△ABC為格點三角形(即三角形的頂點都在格點上)．(1)把△ABC沿BA方向平移后，點A移到點A1，在網(wǎng)格中畫出平移后得到的△A1B1C1；(2)把△A1B1C1繞點A1按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，在網(wǎng)格中畫出旋轉(zhuǎn)后的△A1B2C2；(3)如果網(wǎng)格中小正方形的邊長為1，求點B經(jīng)過(1)、(2)變換的路徑總長．【答案】(1)如圖；(2)如圖；(3)BB1＝；弧B1B2的長＝

.點B所走的路徑總長＝

π.類型三平移、旋轉(zhuǎn)變換解決面積等問題例3(2014·濟南)如圖，將邊長為12的正方形ABCD是沿其對角線AC剪開，再把△ABC沿著AD方向平移，得到△A′B′C′，當(dāng)兩個三角形重疊的面積為32時，它移動的距離AA′等于________．【思路分析】根據(jù)平移的性質(zhì)，結(jié)合陰影部分是平行四邊形，△AA′H與△HCB′都是等腰直角三角形，則若設(shè)AA′＝x，則陰影部分的底長為x，高A′D＝12－x，根據(jù)平行四邊形的面積公式即可列出方程求解．【答案】設(shè)AC交A′B′于H，∵∠A＝45°，∠D＝90°∴△A′HA是等腰直角三角形設(shè)AA′＝x，則陰影部分的底長為x，高A′D＝12－x∴x·(12－x)＝32∴x＝4或8，即AA′＝4或8cm.【解后感悟】解決本題的關(guān)鍵是抓住平移后圖形的特點，利用方程方法解題．3．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC.把△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°后得到△AB′C′，若AB＝2，則線段BC在上述旋轉(zhuǎn)過程中所掃過部分(陰影部分)的面積是

.(結(jié)果保留π)【解析】如圖，△ABC是等腰直角三角形，則∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝∠BAC＝45°.∵AB＝2，∴AC＝＝BC.由旋轉(zhuǎn)變換知，AC＝AC′＝，∠BAC＝∠B′AC′＝45°，∴S扇形ABB′＝

，S△ABC＝

＝1＝S△AB′C′，S扇形ACC′＝

，∴S陰影＝S扇形ABB′－S△ABC＋S△AB′C′－S扇形ACC′

＝

－1＋1－＝

.【經(jīng)驗積累題】【試題】(2013·衢州)【提出問題】(1)如圖1，在等邊△ABC中，點M是BC上的任意一點(不含端點B、C)，連結(jié)AM，以AM為邊作等邊△AMN，連結(jié)CN.求證：∠ABC＝∠ACN.【類比探究】(2)如圖2，在等邊△ABC中，點M是BC延長線上的任意一點(不含端點C)，其他條件不變，(1)中結(jié)論∠ABC＝∠ACN還成立嗎？請說明理由．【拓展延伸】(3)如圖3，在等腰△ABC中，BA＝BC，點M是BC上的任意一點(不含端點B、C)，連結(jié)AM，以AM為邊作等腰△AMN，使頂角∠AMN＝∠ABC.連結(jié)CN.試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析與解】(1)利用SAS可證明△BAM≌△CAN，繼而得出結(jié)論．證明：∵△ABC、△AMN是等邊三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN，∵在△BAM和△CAN中，∴△BAM≌△CAN(SAS)，∴∠ABC＝∠ACN.AB＝AC，∠BAM＝∠CAN，AM＝AN，(2)也可以通過證明△BAM≌△CAN，得出結(jié)論，和(1)的思路完全一樣．解：結(jié)論∠ABC＝∠ACN仍成立．理由如下：∵△ABC、△AMN是等邊三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN，∵在△BAM和△CAN中，∴△BAM≌△CAN(SAS)，∴∠ABC＝∠ACN.AB＝AC，∠BAM＝∠CAN，AM＝AN，(3)首先得出∠BAC＝∠MAN，從而判定△ABC∽△AMN，得到，根據(jù)∠BAM＝∠BAC－∠MAC，∠CAN＝∠MAN－∠MAC，得到∠BAM＝∠CAN，從而判定△BAM∽△CAN，得出結(jié)論．解：∠ABC＝∠ACN.理由如下：∵BA＝BC，MA＝MN，頂角∠ABC＝∠AMN，∴底角∠BAC＝∠MAN，∴△ABC∽△AMN，∴，又∵∠BAM＝∠BAC－∠MAC，∠CAN＝∠MAN－∠MAC，∴∠BAM＝∠CAN，∴△BAM∽△CAN，∴∠ABC＝∠ACN.【方法與對策】這是一題從特殊到一般設(shè)置的題型，通過基礎(chǔ)圖形等邊三角形到等腰三角形，步步深入設(shè)置問題，其實解決問題的策略也是從簡單到復(fù)雜，即全等三角形到相似三角形解決問題，通過前面方法來解決后面問題，在學(xué)習(xí)上是經(jīng)驗積累．這是中考熱門題型．考慮不全，出現(xiàn)漏解．【問題】如圖，正方形ABCD與正三角形AEF的頂點A重合，將△AEF繞其頂點A旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)BE＝DF時，∠BAE的大小是________．【分析】學(xué)生錯誤答案15°.錯誤原因是正三角形AEF可以在正方形的內(nèi)部也可以在正方形的外部，所以要分兩種情況分別求解．【正解】15°或165°①當(dāng)正三角形AEF在正方形ABCD的內(nèi)部時，如圖①，∵正方形ABCD與正三角形AEF的頂點A重合，BE＝DF，∴AB＝AD，AE＝AF，∴△ABE≌△ADF(SSS)，∴∠BAE＝∠FAD.∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＋∠FAD＝30°，∴∠BAE＝∠FAD＝15°.②當(dāng)正三角形AEF在正方形ABCD的外部時，如圖②，∵正方形ABCD與正三角形AEF的頂點A重合，BE＝DF，AB＝AD，AE＝AF，∴△ABE≌△ADF(SSS)，∴∠BAE＝∠FAD，∵∠EAF＝60°，∴2∠BAE－∠EAF＋90°＝360°，∴∠BAE＝165°.故答案為15°或165°.

(學(xué)P104頁)1．如圖是“北大西洋公約組織”標(biāo)志的主體部分(平面圖)，它是由四邊形OABC繞點O進行3次旋轉(zhuǎn)變換后形成的，測得AB＝BC，OA＝OC，∠ABC＝40°，則∠OAB的度數(shù)是()A．115°B．116°C．117°D．137.5°第1