2022-2023學(xué)年山東省淄博市沂源縣悅莊第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

2022-2023學(xué)年山東省淄博市沂源縣悅莊第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若，是第二象限的角，則的值為

（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：B略2.已知表示不同的平面，表示不同的直線，給出以下命題：

①；②；③；

④.在這四個命題中，正確的命題是

A．①②

B．③④

C．①③

D．②④參考答案：B3.已知，則“”是“”的（）A．充分必要條件

B．充分不必要條件

C．必要不充分條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A4.已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c，若f（x）在區(qū)間（﹣1，0）上單調(diào)遞減，則a2+b2的取值范圍(

)A． B． C． D．參考答案：C【考點】函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．【專題】計算題．【分析】由函數(shù)在區(qū)間（﹣1，0）上是單調(diào)遞減，得到導(dǎo)函數(shù)小于等于0恒成立即f′（﹣1）≤0且f′（0）≤0代入得到一個不等式組，可以把而a2+b2可視為平面區(qū)域內(nèi)的點到原點的距離的平方，則由點到直線的距離公式求出即可得到最小值．【解答】解：（1）依題意，f′（x）=3x2+2ax+b≤0，在（﹣1，0）上恒成立．只需要即可，也即，而a2+b2可視為平面區(qū)域內(nèi)的點到原點的距離的平方，由點到直線的距離公式d2==，∴a2+b2的最小值為．則a2+b2的取值范圍．故選C．【點評】考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的能力，理解二元一次不等式組與平面區(qū)域的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想．屬于基礎(chǔ)題．5.已知命題p：a=﹣1是直線x﹣ay+1=0與x+a2y﹣1=0平行的充要條件；命題q：?x0∈（0，+∞），x02＞2．下列命題為真命題的是（）A．（￢p）∧q B．（￢p）∧（￢q） C．p∨（￢q） D．p∧（￢q）參考答案：A【考點】復(fù)合命題的真假．【分析】命題p：對a及其直線的斜率分類討論，利用兩條直線平行的充要條件即可判斷出結(jié)論．命題q：取x0=3∈（0，+∞），滿足x02＞2．即可判斷出真假．再利用復(fù)合命題真假的判定方法即可得出結(jié)論．【解答】解：命題p：a=0時，直線方程分別化為：x+1=0，x﹣1=0，此時兩條直線平行；a≠0時，若兩條直線平行，則：=﹣，≠，解得a=﹣1．綜上可得：兩條直線平行的充要條件是：a=0或﹣1．因此p是假命題．命題q：取x0=3∈（0，+∞），滿足x02＞2．因此q是真命題．因此下列命題為真命題的是（￢p）∧q．故選：A．6.將函數(shù)y＝sin(x＋)的圖象上各點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，再向右平移個單位，所得到的圖象解析式是（）A．

B．C．D．參考答案：A7.在中,為的對邊,若則為(

)A

B

C或

D

或

參考答案：C8.設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域為D，若對于任意的x1，x2∈D，當(dāng)x1+x2=2a時，恒有f（x1）+f（x2）=2b，則稱點（a，b）為函數(shù)y=f（x）圖象的對稱中心．研究函數(shù)f（x）=x3+sinx+1的某一個對稱中心，并利用對稱中心的上述定義，可得到f（﹣2015）+f（﹣2014）+f（﹣2013）+…+f（2014）+f（2015）=（）A．0 B．2014 C．4028 D．4031參考答案：D【考點】函數(shù)的值．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】函數(shù)f（x）=x3+sinx+1圖象的對稱中心的坐標(biāo)為（0，1），即x1+x2=0時，總有f（x1）+f（x2）=2，再利用倒序相加，即可得到結(jié)論【解答】解：∵f（x）=x3+sinx+1，∴f′（x）=3x2﹣cosx，f''（x）=6x+sinx又∵f''（0）=0而f（x）+f（﹣x）=x3+sinx+1+﹣x3﹣sinx+1=2，函數(shù)f（x）=x3+sinx+1圖象的對稱中心的坐標(biāo)為（0，1），即x1+x2=0時，總有f（x1）+f（x2）=2，∴f（﹣2015）+f（﹣2014）+f（﹣2013）+…+f（2014）+f（2015）=2×2015+f（0）=4030+1=4031．故選：D．【點評】本題考查函數(shù)的對稱性，確定函數(shù)的對稱中心，利用倒序相加x1+x2=0時，總有f（x1）+f（x2）=2，是解題的關(guān)鍵．9.要得到函數(shù)y=sin2x的圖象，只需將函數(shù)y=sin（2x﹣）的圖象（）A．向右平移個單位長度 B．向左平移個單位長度C．向右平移個單位長度 D．向左平移個單位長度參考答案：B【考點】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】把函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移個單位即可得到函數(shù)y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣）的圖象，把平移過程逆過來可得結(jié)論．【解答】解：把函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移個單位即可得到函數(shù)y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣）的圖象，故要得到函數(shù)y=sin2x的函數(shù)圖象，可將函數(shù)y=sin（2x﹣）的圖象向左至少平移個單位即可，故選：B．【點評】本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+?）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．10.已知平面、和直線,給出條件:①；②；③；④；⑤.由這五個條件中的兩個同時成立能推導(dǎo)出的是(

)A．①④

B．①⑤

C．②⑤

D．③⑤參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（09南通交流卷）已知集合，，

則=

▲

.參考答案：答案：12.已知定義域為R的函數(shù)，則=________；的解集為___________.參考答案：2；略13.設(shè)集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，則(A∪B)∩C＝()A．{2}

B．{1，2，4}C．{1，2，4，6}

D．{x∈R|－1≤x≤5}參考答案：B解析：(A∪B)∩C＝{1，2，4，6}∩C＝{1，2，4}．14.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則z=

．參考答案：由題意可得：，則：.

15.設(shè)是函數(shù)的兩個極值點，若，則實數(shù)a的取值范圍是________．參考答案：（2,6）16.已知函數(shù)在區(qū)間上恒有則實數(shù)的取值范圍是

.參考答案：17.已知數(shù)列{an}中，a1=1，其前n項和為Sn，且Sn=anan+1，若數(shù)列{}的前n項和Tn=，則n=

．參考答案：99【考點】數(shù)列的求和．【分析】通過Sn=anan+1，利用an+1=Sn+1﹣Sn化簡可知數(shù)列{an}的通項公式，進(jìn)而裂項可知=﹣，并項相加、比較即得結(jié)論．【解答】解：∵Sn=anan+1，∴an+1=Sn+1﹣Sn=an+1an+2﹣anan+1，整理得：an+2﹣an=2，又∵a1=1，a2==2，∴數(shù)列{an}的通項公式an=n，∴===﹣，又∵Tn==1﹣=，∴n=99，故答案為：99．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為，短軸一個端點到右焦點的距離為．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點，坐標(biāo)原點O到直線l的距離為，求△AOB面積的最大值．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意求出a，b的值，從而得到所求橢圓的方程．（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）當(dāng)AB⊥x軸時，．（2）當(dāng)AB與x軸不垂直時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m．由已知，得．把y=kx+m代入橢圓方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，然后由根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意∴b=1，∴所求橢圓方程為．（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）當(dāng)AB⊥x軸時，．（2）當(dāng)AB與x軸不垂直時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m．由已知，得．把y=kx+m代入橢圓方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，∴，．∴|AB|2=（1+k2）（x2﹣x1）2=====．當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．當(dāng)k=0時，，綜上所述|AB|max=2．∴當(dāng)|AB|最大時，△AOB面積取最大值．【點評】本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要注意公式的靈活運用，認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．19.某大型商場去年國慶期間累計生成2萬張購物單，從中隨機(jī)抽出100張，對每單消費金額進(jìn)行統(tǒng)計得到下表：消費金額（單位：元）（0，200]（200，400]（400，600]（600，800]（800，1000]購物單張數(shù)252530？？

由于工作人員失誤，后兩欄數(shù)據(jù)已無法辨識，但當(dāng)時記錄表明，根據(jù)由以上數(shù)據(jù)繪制成的頻率分布直方圖所估計出的每單消費額的中位數(shù)與平均數(shù)恰好相等．用頻率估計概率，完成下列問題：（1）估計去年國慶期間該商場累計生成的購物單中，單筆消費額超過800元的概率；（2）為鼓勵顧客消費，該商場打算在今年國慶期間進(jìn)行促銷活動，凡單筆消費超過600元者，可抽獎一次，中一等獎、二等獎、三等獎的顧客可以分別獲得價值500元、200元、100元的獎品．已知中獎率為100%，且一等獎、二等獎、三等獎的中獎率依次構(gòu)成等比數(shù)列，其中一等獎的中獎率為．若今年國慶期間該商場的購物單數(shù)量比去年同期增長5%，式預(yù)測商場今年國慶期間采辦獎品的開銷．參考答案：(1);(2)580000.試題分析：（1）由消費在區(qū)間的頻率為，可知中位數(shù)估計值為，設(shè)所求概率為，利用每個矩形的中點橫坐標(biāo)與該矩形的縱坐標(biāo)相乘后求和等于求解即可；（2）根據(jù)，解得，可得一等獎、二等獎、三等獎的中獎率分別為，，，從而可得一等獎、二等獎、三等獎中獎單數(shù)可估計為，，，進(jìn)而可得結(jié)果.試題解析：（1）因消費在區(qū)間的頻率為，故中位數(shù)估計值即為.設(shè)所求概率為，而消費在的概率為.故消費在區(qū)間內(nèi)的概率為.因此消費額的平均值可估計為.令其與中位數(shù)相等，解得.（2）設(shè)等比數(shù)列公比為，根據(jù)題意，即，解得.故一等獎、二等獎、三等獎的中獎率分別為，，.今年的購物單總數(shù)約為.其中具有抽獎資格的單數(shù)為，故一等獎、二等獎、三等獎中獎單數(shù)可估計為，，.于是，采購獎品的開銷可估計為（元）.20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為C橢圓上一點，且PF2垂直于x軸，連結(jié)PF1并延長交橢圓于另一點Q，設(shè).（1）若點P的坐標(biāo)為(2,3)，求橢圓C的方程及的值；（2）若，求橢圓C的離心率的取值范圍.參考答案：（1）；（2）【分析】（1）把的坐標(biāo)代入方程得到，結(jié)合解出后可得標(biāo)準(zhǔn)方程.求出直線的方程，聯(lián)立橢圓方程和直線方程后可求的坐標(biāo)，故可得的值.（2）因，故可用表示的坐標(biāo)，利用它在橢圓上可得與的關(guān)系，化簡后可得與離心率的關(guān)系，由的范圍可得的范圍.【詳解】（1）因為垂直于軸，且點的坐標(biāo)為，所以，，解得，，所以橢圓的方程為.所以，直線的方程為，將代入橢圓的方程，解得，所以.（2）因為軸，不妨設(shè)在軸上方，，.設(shè)，因為在橢圓上，所以，解得，即.（方法一）因為，由得，，，解得，，所以.因為點在橢圓上，所以，即，所以，從而.因為，所以.解得，所以橢圓的離心率的取值范圍.【點睛】求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是基本量的確定，方法有待定系數(shù)法、定義法等.圓錐曲線中的離心率的計算或范圍問題，關(guān)鍵是利用題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于的一個等式關(guān)系或不等式關(guān)系，其中不等式關(guān)系的構(gòu)建需要利用題設(shè)中的范圍、坐標(biāo)的范圍、幾何量的范圍或點的位置等．21.

（1）設(shè)是公差為d的等差數(shù)列