湖南省常德市第九中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

湖南省常德市第九中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的一部數(shù)學(xué)專著，書中有如下問題：今有女子善織，日增等尺，七日織28尺，第二日，第五日，第八日所織之和為15尺，則第九日所織尺數(shù)為（）A．8 B．9 C．10 D．11參考答案：B【考點】等差數(shù)列的通項公式．【分析】由題意可知，每日所織數(shù)量構(gòu)成等差數(shù)列，再由已知求得a5，a4的值，進一步求得公差，代入等差數(shù)列的通項公式求得第九日所織尺數(shù)．【解答】解：由題意可知，每日所織數(shù)量構(gòu)成等差數(shù)列，且a2+a5+a8=15，S7=28，設(shè)公差為d，由a2+a5+a8=15，得3a5=15，∴a5=5，由S7=28，得7a4=28，∴a4=4，則d=a5﹣a4=1，∴a9=a5+4d=5+4×1=9．故選：B．2.左圖是一個算法的流程圖，最后輸出的W=(

)參考答案：B3.已知集合，函數(shù)的定義域為集合B，則A∩B=（）A.[－2,1] B.[－2,1) C.[1,3] D.(1,3]參考答案：B【分析】求出集合，再利用交集運算得解【詳解】由得：，所以集合，又所以.故選：B【點睛】本題主要考查了集合的交集運算，屬于基礎(chǔ)題。4.已知函數(shù)在處取得最大值，則下列結(jié)論中正確的序號為：①；②；③；④；⑤（

）A．①④

B．②④

C.②⑤

D．③⑤參考答案：B5.某幾何體的正視圖和側(cè)視圖如圖①，它的俯視圖的直觀圖的矩形如圖②，其中則該幾何體的體積為

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：考點：1.三視圖；2.斜二測畫法.【方法點睛】本題主要考察了幾何體的體積以及斜二測畫法下的直觀圖，屬于基礎(chǔ)題型，根據(jù)圖形可得該幾何體是四棱錐，并且高等于4，所以重點轉(zhuǎn)化為求底面面積，而在斜二測畫法下，，這樣根據(jù)直觀圖的面積，可以直接求實際圖形的面積.6.函數(shù)的圖像為

參考答案：A略7.函數(shù)的最小值為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C8.橢圓的焦距為

A．4

B．6

C．8

D．10參考答案：C由橢圓的方程可知，所以，即，所以焦距為，選C.9.設(shè)是函數(shù)的零點．若，則的值滿足（

）A．

B．C．

D．的符號不確定參考答案：C10.若直線y=a與函數(shù)y=||的圖象恰有3個不同的交點，則實數(shù)a的取值范圍為（）A．{} B．（0，） C．（，e） D．（，1）∪{}參考答案：B【考點】根的存在性及根的個數(shù)判斷；函數(shù)的圖象．【專題】計算題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】先求得函數(shù)y=||的定義域為（0，+∞），再分段y=||=，從而分別求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而解得．【解答】解：函數(shù)y=||的定義域為（0，+∞），y=||=，當(dāng)x∈（0，e﹣1）時，y′=，∵x∈（0，e﹣1），∴l(xiāng)nx＜﹣1，∴y′=＜0，∴y=||在（0，e﹣1）上是減函數(shù)；當(dāng)x∈（e﹣1，+∞）時，y′=﹣，∴當(dāng)x∈（e﹣1，）時，∴y′＞0，當(dāng)x∈（，+∞）時，∴y′＜0，∴y=||在（e﹣1，）上是增函數(shù)，在（，+∞）上是減函數(shù)；且||=+∞，f（e﹣1）=0，f（）=，||=0，故實數(shù)a的取值范圍為（0，），故選B．【點評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分段函數(shù)的應(yīng)用．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的表面積為_________；參考答案：略12.在中，,則的面積等于_________.參考答案：13.定義2×2矩陣，則函數(shù)的圖象在點(1,－1)處的切線方程是_______________.

參考答案：14.若冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則

.

參考答案：略15.已知

在[-2，2]上有最小值3，那么在[-2，2]上的最大值是

參考答案：4316.參考答案：17.橢圓（為參數(shù)）的焦距為______.參考答案：6【分析】消參求出橢圓的普通方程，即可求出橢圓的焦距．【詳解】將變形為，平方相加消去參數(shù)θ可得：，所以，c3，所以，焦距為2c＝6．故答案為6．【點睛】本題考查橢圓的參數(shù)方程，考查橢圓的性質(zhì)，正確轉(zhuǎn)化為普通方程是關(guān)鍵．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分12分)設(shè)數(shù)列的前項和為，且。數(shù)列滿足⑴求數(shù)列的通項高三；⑵證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求的前n項和Tn；參考答案：⑴當(dāng)n＝1時，a1＝s1＝21－1＝1;當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1

…………3分因為a1＝1適合通項高三an＝2n－1,所以an＝2n－1(nN*)

…………4分⑵因為bn＋1－2bn＝8an,所以bn＋1－2bn＝2n＋2

即，

…………6分,所以是首項為1，公差為2的等等差數(shù)列。

…………7分

所以，所以bn＝(2n－1)×2n

……………8分19.（本小題滿分12分）已知函數(shù)．(I)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ)函數(shù)在區(qū)間[1，2]上是否有零點，若有，求出零點，若沒有，請說明理由；(Ⅲ)若任意的∈(1，2)且≠，證明：(注：參考答案：.（Ⅰ）.

……………2分

，，在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.…………4分（Ⅱ）先求在的最大值.由（Ⅰ）可知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故.………………6分由可知，，，所以，，，

故不存在符合條件的，使得.

………………8分

（Ⅲ）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，只需證明，都成立，也可得證命題成立．………………10分

設(shè)，，在上是減函數(shù)，設(shè)，在上是增函數(shù)，綜上述命題成立.………………12分

另解:當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，，.………10分由導(dǎo)數(shù)的幾何意義有對任意，．…………12分20.在等差數(shù)列{an}中，，在正項等比數(shù)列{bn}中，．（1）求{an}與{bn}的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和Sn．參考答案：（1）；（2）【分析】（1）利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式即可求出；（2）利用錯位相減法和等比數(shù)列的前n項和求和公式即可求出。【詳解】（1）等差數(shù)列的公差設(shè)為，可得，即；在正項等比數(shù)列的公比設(shè)為，，可得，即；（2），，，兩式相減可得，化簡可得．【點睛】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、“錯位相減法”和等比數(shù)列的前n項和求和公式。熟練掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式是解題的關(guān)鍵。21.（本小題滿分12分）

如圖，在邊長為4的菱形中，．點分別在邊上，點與點不重合，，．沿將翻折到的位置，使平面⊥平面．(1)求證：⊥平面；(2)當(dāng)取得最小值時，請解答以下問題：(i)求四棱錐的體積；

(ii)若點滿足=

()，試探究：直線與平面所成角的大小是否一定大于?并說明理由．

參考答案：（Ⅰ）證明：∵菱形的對角線互相垂直，∴，∴，···············································································1分∵

，∴．

∵平面⊥平面，平面平面，且平面，∴平面,

∵

平面，∴.····················3分

∵

，∴平面.·························································4分（Ⅱ）如圖，以為原點，建立空間直角坐標(biāo)系.········································5分（?。┰O(shè)

因為，所以為等邊三角形，故，.又設(shè)，則，.所以，，，故，···································································6分所以，當(dāng)時，.此時，········································7分由（Ⅰ）知，平面所以.···············8分Ks5u（ⅱ）設(shè)點的坐標(biāo)為，由（i）知，，則，，，.所以，，··················································9分∵，∴．

∴，∴．

················10分設(shè)平面的法向量為，則．∵，，∴，取，解得：，所以.·················································11分設(shè)直線與平面所成的角，∴．·····························12分又∵∴．··················································································13分∵，∴．因此直線與平面所成的角大于，即結(jié)論成立．

14分22.（本小題滿分12分）某學(xué)校為倡導(dǎo)全體學(xué)生為特困學(xué)生捐款，舉行“一元錢，一片心，誠信用水”活動，學(xué)生在購水處每領(lǐng)取一瓶礦泉水，便自覺向捐款箱中至少投入一元錢?，F(xiàn)統(tǒng)計了連續(xù)5天的售出和收益情況，如下表：售出水量x（單位：箱）76656收益y（單位：元）165142148125150(Ⅰ)若x與y成線性相關(guān)，則某天售出8箱水時，預(yù)計收益為多少元？(Ⅱ)期中考試以后，學(xué)校決定將誠信用水的收益，以獎學(xué)金的形式獎勵給品學(xué)兼優(yōu)的特困生，規(guī)定：特困生考入年級前200名，獲一等獎學(xué)金500元；考入年級201—500名，獲二等獎學(xué)金300元；考入年級501名以后的特困生將不獲得獎學(xué)金。甲、乙兩名學(xué)生獲一等獎學(xué)金的概率均為，獲二等獎學(xué)金的概率均為，不獲得獎學(xué)金的概率均為.⑴在學(xué)生甲獲得獎學(xué)金條件下，求他獲得一等獎學(xué)金的概率；⑵已知甲、乙兩名學(xué)生獲得哪個等第的獎學(xué)金是相互獨立的，求甲、乙兩名學(xué)生所獲得獎學(xué)金總金額X的分布列及數(shù)學(xué)期望。附：，。

參考答案：解：（I），…1分，…………3分當(dāng)

時，即某天售出8箱水的預(yù)計收益是186元?！?分(Ⅱ)⑴設(shè)事件

A

為“學(xué)生甲獲得獎學(xué)金”，事件