2021-2022學(xué)年山西省呂梁市中陽縣張子山鄉(xiāng)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

2021-2022學(xué)年山西省呂梁市中陽縣張子山鄉(xiāng)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.E，F(xiàn)是等腰直角△ABC斜邊AB上的三等分點，則

A．

B．

C．

D．參考答案：D2.在△OAB中，O為坐標(biāo)原點，，則當(dāng)△OAB的面積達(dá)最大值時，θ=（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】數(shù)量積表示兩個向量的夾角；向量在幾何中的應(yīng)用．【專題】壓軸題．【分析】在邊長為1的正方形中，減去要求的三角形以外的三角形的面積，把要求的結(jié)果表示為有三角函數(shù)的代數(shù)式，后面題目變?yōu)榍笕呛瘮?shù)的最值問題，逆用二倍角公式得到結(jié)果．【解答】解：在直角坐標(biāo)系里△OAB的面積=1﹣==∵θ∈（0，]，∴2θ∈（0，π]∴當(dāng)2θ=π時取得最大，即θ=故選D．【點評】本題考查簡單的圖形面積和三角函數(shù)的最值問題，用三角函數(shù)表示的式子，因此代入后，還要進(jìn)行簡單的三角函數(shù)變換，二倍角公式逆用．3.程序框圖表示求式子23×53×113×233×473×953的值，則判斷框內(nèi)可以填的條件為（）A．i≤90？ B．i≤100？ C．i≤200？ D．i≤300？參考答案：B考點： 循環(huán)結(jié)構(gòu)．

專題： 圖表型．分析： 先根據(jù)已知循環(huán)條件和循環(huán)體判定循環(huán)的次數(shù)，然后根據(jù)運行的后輸出的結(jié)果，從而得出所求．解答： 解：根據(jù)題意可知該循環(huán)體運行情況如下：第1次：s=1×23，i=1×2+1=5第2次：s=23×53，i=5×2+1=11第3次：s=23×53×113，i=11×2+1=23第4次：s=23×53×113×233，i=23×2+1=47第5次：s=23×53×113×233×473，i=47×2+1=95第6次：s=23×53×113×233×473×953，i=95×2+1=191因為輸出結(jié)果是23×53×113×233×473×953的值，結(jié)束循環(huán)，判斷框應(yīng)該是i≤100？．故選B．點評： 本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)有兩種形式：當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，以及周期性的運用，屬于基礎(chǔ)題．新課改地區(qū)高考?？碱}型．也可以利用循環(huán)的規(guī)律求解．4.已知向量=（1，x），=（2x+3，﹣x）（x∈R），若∥，則x的值為（）A．﹣2 B．﹣2或0 C．1或﹣3 D．0或2參考答案：B【考點】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示．【分析】根據(jù)題意和平面向量共線的坐標(biāo)表示列出方程，化簡后求出x的值．【解答】解：∵向量=（1，x），=（2x+3，﹣x）（x∈R），且∥，∴﹣x﹣x（2x+3）=0，即2x（x+2）=0，解得x=﹣2或x=0，故選B．5.某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是等腰三角形，則該幾何體的體積為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D6.已知某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示，則該幾何體的體積為（A）9

（B）10

（C）11

（D）參考答案：C略7.等比數(shù)列{an}中，a3=16，a4=8，則a1=（

）

(A)64

(B)32

(C)4

(D)2參考答案：A8.某學(xué)校組織學(xué)生參加英語測試，成績的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組一次為[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人數(shù)是15人，則該班的學(xué)生人數(shù)是（）A．45 B．50 C．55 D．60參考答案：B【考點】頻率分布直方圖．【分析】由已知中的頻率分布直方圖，我們可以求出成績低于60分的頻率，結(jié)合已知中的低于60分的人數(shù)是15人，結(jié)合頻數(shù)=頻率×總體容量，即可得到總體容量．【解答】解：∵成績低于60分有第一、二組數(shù)據(jù)，在頻率分布直方圖中，對應(yīng)矩形的高分別為0.005，0.01，每組數(shù)據(jù)的組距為20，則成績低于60分的頻率P=（0.005+0.010）×20=0.3，又∵低于60分的人數(shù)是15人，則該班的學(xué)生人數(shù)是=50．故選：B．9.設(shè)復(fù)數(shù)z=1+i（i是虛數(shù)單位），則=（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i參考答案：A【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【專題】數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則即可得出．【解答】解：==1﹣i，故選：A．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則，屬于基礎(chǔ)題．10.設(shè)O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線－＝１（a＞0，b＞0）的焦點，若在雙曲線上存在點P，滿足∠F1-PF2=60°，=a，則該雙曲線的漸近線方程為A.x±y=0

B.x±y=0

C.x±y=0

D.x±y=0參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，，，。根據(jù)以上等式，可猜想出的一般結(jié)論是

；參考答案：，。12.對于問題：“已知兩個正數(shù)滿足，求的最小值”，給出如下一種解法：，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取最小值．參考上述解法，已知是的三個內(nèi)角，則的最小值為

．參考答案：13.由正整數(shù)組成的一組數(shù)據(jù)，其平均數(shù)和中位數(shù)都是，且標(biāo)準(zhǔn)差等于，則這組數(shù)據(jù)為__________。（從小到大排列）參考答案：這組數(shù)據(jù)為_________不妨設(shè)得：①如果有一個數(shù)為或；則其余數(shù)為，不合題意②只能?。坏茫哼@組數(shù)據(jù)為14.設(shè)函數(shù)，且.①若，則函數(shù)的值域為______；②若在上是增函數(shù)，則a的取值范圍是_____.參考答案：【考點】分段函數(shù)，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及運算。解析：答案：15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2+y2﹣8x+15=0，若直線y=kx﹣2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則k的最大值是

．參考答案：考點：圓與圓的位置關(guān)系及其判定；直線與圓的位置關(guān)系．專題：直線與圓．分析：由于圓C的方程為（x﹣4）2+y2=1，由題意可知，只需（x﹣4）2+y2=1與直線y=kx﹣2有公共點即可．解答： 解：∵圓C的方程為x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圓C是以（4，0）為圓心，1為半徑的圓；又直線y=kx﹣2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，∴只需圓C′：（x﹣4）2+y2=1與直線y=kx﹣2有公共點即可．設(shè)圓心C（4，0）到直線y=kx﹣2的距離為d，則d=≤2，即3k2﹣4k≤0，∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案為：．點評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，將條件轉(zhuǎn)化為“（x﹣4）2+y2=4與直線y=kx﹣2有公共點”是關(guān)鍵，考查學(xué)生靈活解決問題的能力，屬于中檔題．16.投擲兩顆骰子，得到其向上的點數(shù)分別為和，則復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）為實數(shù)的概率為

(結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示)參考答案：17.已知f(x)定義域為(a，b)，如果都有,則稱f(x)為“周函數(shù)”。下列函數(shù)中，“周函數(shù)”有

（填序號）①，

②，③，④參考答案：

②③三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2c﹣a=2bcosA．（1）求角B的大??；（2）若b=2，求a+c的最大值．參考答案：【考點】HT：三角形中的幾何計算．【分析】（1）根據(jù)正弦定理與兩角和的正弦公式，化簡等式2bcosA=2c﹣a，可得（2cosB﹣1）sinA=0，結(jié)合sinA＞0得到cosB，從而解出B；（2）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB的式子，解出12=a2+c2﹣ac．再利用基本不等式得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵2c﹣a=2bcosA，∴根據(jù)正弦定理，得2sinC﹣sinA=2sinBcosA，∵A+B=π﹣C，可得sinC=sin（A+B）=sinBcosA+cosBsinA，∴代入上式，得2sinBcosA=2sinBcosA+2cosBsinA﹣sinA，化簡得（2cosB﹣1）sinA=0∵A是三角形的內(nèi)角可得sinA＞0，∴2cosB﹣1=0，解得cosB=，∵B∈（0，π），∴B=；（2）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得12=a2+c2﹣ac．∴（a+c）2﹣3ac=12，∴12≥（a+c）2﹣ac，（當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時）∴a+c≤4，∴a+c的最大值為4．19.（本小題滿分14分）已知平行四邊形，，，，為的中點，把三角形沿折起至位置，使得，是線段的中點．（1）求證：；（2）求證：面面；（3）求二面角的正切值．參考答案：（1）見解析；(2)見解析；（3）【知識點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行的判定；平面與平面垂直的判定．G4G5G7解析：(1)證明：取的中點，連接,為中點，且,為平行四邊形邊的中點，且，且四邊形是平行四邊形,平面，平面平面………4分（3）

取的中點，連接，，，為的中點為等邊三角形，即折疊后也為等邊三角形，且在中，，，根據(jù)余弦定理，可得在中，，，，，即又，所以又面面……………10分（3）過作于，連接,又,,是二面角的平面角在中，，，故所以二面角的正切值為……14分【思路點撥】（1）取DA1的中點G，連接FG、GE，通過證明BF∥EG，利用直線與平面平行的判定定理證明BF∥平面A1DE．（2）取DE的中點H，連接A1H、CH，通過證明A1H⊥面DEBC，然后通過平面與平面垂直的判定定理證明面A1DE⊥面DEBC．（3）利用（2）的結(jié)果，直接求解幾何體的體積即可．20.已知圓的圓心為，半徑為，圓與橢圓：（）有一個公共點(3，1)，分別是橢圓的左、右焦點。（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點P的坐標(biāo)為(4，4)，試探究斜率為k的直線與圓能否相切，若能，求出橢圓和直線的方程；若不能，請說明理由。參考答案：（1）由已知可設(shè)圓C的方程為。將點A的坐標(biāo)代入圓C的方程，得，即，解得?！?，∴，∴圓C的方程為。（2）直線能與圓C相切。依題意，設(shè)直線的方程為，即。

若直線與圓C相切，則，

∴，解得。

當(dāng)時，直線與x軸的交點橫坐標(biāo)為，不合題意，舍去；當(dāng)時，直線與x軸的交點橫坐標(biāo)為，∴。∴由橢圓的定義得，∴，即，

∴，直線能與圓C相切，直線的方程為，橢圓E的方程為。21.如圖，已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓的一個焦點為（，0），（1，）是橢圓上的一個點．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)橢圓的上、下頂點分別為A，B，P（x0，y0）（x0≠0）是橢圓上異于A，B的任意一點，PQ⊥y軸，Q為垂足，M為線段PQ中點，直線AM交直線l：y=﹣1于點C，N為線段BC的中點，如果△MON的面積為，求y0的值．參考答案：【考點】K4：橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】（1）確定，利用是橢圓上的一個點，代入求出a，即可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求出M，N的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積判斷OM⊥MN，利用△MON的面積為，建立方程，即可求y0的值．【解答】解：（1）設(shè)橢圓方程為，由題意，得．因為a2﹣c2=b2，所以b2=a2﹣3．又是橢圓上的一個點，所以，解得a2=4或（舍去），從而橢圓的標(biāo)