2021-2022學(xué)年山西省朔州市鐵路職工子弟中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

2021-2022學(xué)年山西省朔州市鐵路職工子弟中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如右圖所示是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為(

)A．1

B．

C．

D．參考答案：B略2.已知集合A＝{x|}，B＝{x|x≤2}，則A∩B＝()

A．(0,1)

B．(0,2]

C．(1,2)

D．(1,2]參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】交集及其運(yùn)算；其他不等式的解法．A1

【答案解析】D

解析：由A中的不等式變形得：log41＜log4x＜log44，解得：1＜x＜4，即A=（1，4），∵B=（﹣∞，2]，∴A∩B=（1，2]．故選D【思路點(diǎn)撥】求出集合A中其他不等式的解集，確定出A，找出A與B的公共部分即可求出交集．3.已知f（x）=sin2（x+），若a=f（lg5），b=f（lg），則(

)A．a(chǎn)+b=0 B．a(chǎn)﹣b=0 C．a(chǎn)+b=1 D．a(chǎn)﹣b=1參考答案：C【考點(diǎn)】二倍角的余弦；對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；余弦函數(shù)的定義域和值域．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】由題意，可先將函數(shù)f（x）=sin2（x+）化為f（x）=，再解出a=f（lg5），b=f（lg）兩個(gè)的值，對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)，驗(yàn)證即可得到答案【解答】解：f（x）=sin2（x+）==又a=f（lg5），b=f（lg）=f（﹣lg5），∴a+b=+=1，a﹣b=﹣=sin2lg5故C選項(xiàng)正確故選C【點(diǎn)評(píng)】本題考查二倍角的余弦及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是對(duì)函數(shù)的解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，數(shù)學(xué)形式的化簡(jiǎn)對(duì)解題很重要4.函數(shù)的部分圖象如圖所示，若，且

()，則（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式；正弦函數(shù)的對(duì)稱性．C4

【答案解析】A

解析：由圖知，T=2×=π，∴ω=2，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過（﹣），0=sin（﹣+?）∵，所以?=，∴，，所以．故選C．【思路點(diǎn)撥】通過函數(shù)的圖象求出函數(shù)的周期，利用函數(shù)的圖象經(jīng)過的特殊點(diǎn)求出函數(shù)的初相，得到函數(shù)的解析式，利用函數(shù)的圖象與函數(shù)的對(duì)稱性求出f（x1+x2）即可．5.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（

）．．

．0

．1

．2參考答案：A略6.設(shè)集合A={x|x＜2}，B={y|y=2x﹣1，x∈A}，則A∩B=（）A．（﹣∞，3） B．[2，3） C．（﹣∞，2） D．（﹣1，2）參考答案：D【考點(diǎn)】1E：交集及其運(yùn)算．【分析】由指數(shù)函數(shù)的值域和單調(diào)性，化簡(jiǎn)集合B，再由交集的定義，即可得到所求．【解答】解：集合A={x|x＜2}=（﹣∞，2），B={y|y=2x﹣1，x∈A}，由x＜2，可得y=2x﹣1∈（﹣1，3），即B={y|﹣1＜y＜3}=（﹣1，3），則A∩B=（﹣1，2）．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的交集運(yùn)算，同時(shí)考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．7.已知為等比數(shù)列，，，則（

）

參考答案：D8.用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時(shí)，由的假設(shè)證明時(shí)，如果從等式左邊證明右邊，則必須證得右邊為

（）

A．

B．

C．

D．參考答案：D略9.（多選題）已知函數(shù)，若f(x)的最小值為，則實(shí)數(shù)a的值可以是（

）A.1 B.2 C.3 D.4參考答案：BCD【分析】當(dāng)時(shí),利用均值定理可知,當(dāng)時(shí),若為最小值,需使得對(duì)稱軸滿足,且由分段函數(shù),,進(jìn)而求解即可【詳解】當(dāng),,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立；當(dāng)時(shí),為二次函數(shù),要想在處取最小,則對(duì)稱軸要滿足,且,即,解得,故選:BCD【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的最值問題,處理時(shí)應(yīng)對(duì)每段函數(shù)進(jìn)行分類討論,找到每段的最小值10.已知集合，則P∩Q=(

)A. B. C. D.參考答案：C【分析】化簡(jiǎn)集合，即可得結(jié)果.【詳解】,。故選:C【點(diǎn)睛】本題考查集合間的運(yùn)算，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在極坐標(biāo)系中，直線ρsin（θ+）=2被圓ρ=4截得的弦長(zhǎng)為

．參考答案：4考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程．專題：常規(guī)題型；轉(zhuǎn)化思想．分析：先利用三角函數(shù)的和角公式展開直線的極坐標(biāo)方程的左式，再利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，進(jìn)行代換即得直角坐標(biāo)方程，最后利用直角坐標(biāo)中直線與圓的關(guān)系求出截得的弦長(zhǎng)即可．解答： 解：∵ρsin（θ+）=2，∴ρsinθ+ρcosθ=2，化成直角坐標(biāo)方程為：x+y﹣2=0，圓ρ=4化成直角坐標(biāo)方程為x2+y2=16，圓心到直線的距離為：∴截得的弦長(zhǎng)為：2×=．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置，體會(huì)在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)的位置的區(qū)別，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化．12.若，，則的值等于________.參考答案：13.已知函數(shù)f（x）=3x2+2x+1，若成立，則a=___________。參考答案：a=-1或a=-14.下面四個(gè)命題：①命題“?x＞0，x2﹣3x+2＜0”的否定是“?x＞0，x2﹣3x+2≥0”；②要得到函數(shù)y=sin（2x+）的圖象，只要將y=sin2x的圖象向左平移個(gè)單位；③若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=﹣f（x），則f（x）是周期函數(shù)；④已知奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，且f（﹣1）=0，則不等式f（x）＜0的解集為{x|x＜﹣1}．其中正確的是

．（填寫序號(hào)）參考答案：①③15.橢圓+=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F（c，0）關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)Q在橢圓上，則橢圓的離心率是

．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】設(shè)出Q的坐標(biāo)，利用對(duì)稱知識(shí)，集合橢圓方程推出橢圓幾何量之間的關(guān)系，然后求解離心率即可．【解答】解：設(shè)Q（m，n），由題意可得，由①②可得：m=，n=，代入③可得：，解得e2（4e4﹣4e2+1）+4e2=1，可得，4e6+e2﹣1=0．即4e6﹣2e4+2e4﹣e2+2e2﹣1=0，可得（2e2﹣1）（2e4+e2+1）=0解得e=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查對(duì)稱知識(shí)以及計(jì)算能力．16.若函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為

．參考答案：原問題等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增，且：；當(dāng)時(shí)，分類討論：若，則，若，則，據(jù)此繪制函數(shù)圖像如圖所示，結(jié)合函數(shù)圖像觀察可得a的取值范圍為.

17.已知函數(shù)f(x)是一次函數(shù)，且滿足，則f(x)＝____ ___.參考答案：由，得，所以。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分13分）如圖，己知拋物線和：，過拋物線C上一點(diǎn)作兩條直線與相切于A，B兩點(diǎn)，分別交拋物線為E，F(xiàn)兩點(diǎn)，圓心M到拋物線準(zhǔn)線的距離為．(I)求拋物線C的方程；(II)當(dāng)AHB的角平分線垂直x軸時(shí)，求直線EF的斜率；(III)若直線AB在y軸上的截距為t，求t的最小值．參考答案：（Ⅰ）∵點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為，∴，即拋物線的方程為. ……2分（Ⅱ）法一：∵當(dāng)?shù)慕瞧椒志€垂直軸時(shí)，點(diǎn)，∴，設(shè)，，∴，

∴，∴．．……………7分法二：∵當(dāng)?shù)慕瞧椒志€垂直軸時(shí)，點(diǎn)，∴，可得，，∴直線的方程為，聯(lián)立方程組，得，∵

∴，．同理可得，，∴．……7分（Ⅲ）法一：設(shè)，∵，∴，可得，直線的方程為，同理，直線的方程為，∴，，∴直線的方程為，令，可得，∵關(guān)于的函數(shù)在單調(diào)遞增，∴．……13分法二：設(shè)點(diǎn)，，．以為圓心，為半徑的圓方程為， ①⊙方程：． ②①-②得:直線的方程為．當(dāng)時(shí)，直線在軸上的截距，∵關(guān)于的函數(shù)在單調(diào)遞增，∴．……13分19.某校高三某班的一次月考數(shù)學(xué)成績(jī)的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的損壞,但可見部分如圖,據(jù)此解答如下問題：(1)求分?jǐn)?shù)在[70,80)之間的頻數(shù),并計(jì)算頻率分布直方圖中[70,80)間的矩形的高；(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該班學(xué)生在這次考試中的平均分(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；(3)若要從分?jǐn)?shù)在[50,70)之間的試卷中任取兩份分析學(xué)生失分情況,在抽取的試卷中,求至少有一份在[50,60)之間的概率．參考答案：（1），（2）（3）20.設(shè)，兩個(gè)函數(shù)，的圖像關(guān)于直線對(duì)稱.（1）求實(shí)數(shù)滿足的關(guān)系式；（2）當(dāng)取何值時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；（3）當(dāng)時(shí)，在上解不等式．參考答案：解：（1）設(shè)是函數(shù)圖像上任一點(diǎn)，則它關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，，.（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，兩個(gè)函數(shù)的圖像有且只有一個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)就是函數(shù)，的圖像與直線的切點(diǎn).設(shè)切點(diǎn)為，，，，,當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；（3）當(dāng)=1時(shí)，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，．在上是減函數(shù).又＝0，不等式解集是．略21.點(diǎn)為兩直線和的交點(diǎn)．（Ⅰ）求點(diǎn)坐標(biāo)．（Ⅱ）求過點(diǎn)且與直線平行的直線方程．（Ⅲ）求過原點(diǎn)且與直線和圍成的三角形為直角三角形的直線方程．參考答案：見解析（Ⅰ）解方程組，可得，∴點(diǎn)坐標(biāo)為．（Ⅱ）∵直線的斜率為，∴過點(diǎn)的直線為，即．（或直接設(shè)直線為，代入點(diǎn)坐標(biāo)即可）（Ⅲ）∵的斜率，的斜率為，顯然，不是垂直的關(guān)系，∴符合條件的直線可以與，任一直線垂直，∴斜率為或，∴直線方程為或．22.以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知射線l：θ=與曲線C：（t為參數(shù)）相交于A，B兩點(diǎn)．（1）寫出射線l的直角坐標(biāo)方程和曲線C的普通方程；（2）求線段AB的中點(diǎn)的極坐標(biāo)．參考答案：【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程．【專題】坐標(biāo)系和參數(shù)方程．【分析】（1）射線l：θ=的直角坐標(biāo)方程為y=x（x≥0）．把曲線C：