數(shù)字信號(hào)信號(hào)處理版第四章

數(shù)字濾波器的基本概念模擬濾波器設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)IIR濾波器---脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR濾波器---雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR濾波器---原形變換法1第4章

IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)4.1

基本概念2數(shù)字濾波器：輸入、輸出均為數(shù)字信號(hào);通過一定運(yùn)算關(guān)系改變輸入信號(hào)所含頻率成分的相對(duì)比例或者濾除某些頻率成分的器件。（能對(duì)某些頻率進(jìn)行修正的系統(tǒng)）數(shù)字濾波技術(shù)包括設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)兩個(gè)部分。數(shù)字濾波器的優(yōu)點(diǎn)：高精度、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活，不要求阻抗匹配，可實(shí)現(xiàn)特殊濾波功能。1、數(shù)字濾波器的分類：3經(jīng)典濾波器：選頻濾波器。特點(diǎn)：信號(hào)與干擾的頻段不同?，F(xiàn)代濾波器：但信號(hào)與干擾的頻譜重疊時(shí)，選頻濾波器將失去作用?，F(xiàn)代濾波器是利用各類隨機(jī)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性，從干擾中提取有用信號(hào)的。例如：維納濾波器卡爾曼濾波器

自適應(yīng)濾波器等NH

(z)

=

h(n)z

-nn=0FIR濾波器（N階）IIR濾波器（N階）N-k

kM-k

ka

zb

zk

=11-H

(z)

=

k

=0

45按選頻特性分類：低通、高通、帶通、帶阻、全通濾波器選頻濾波器為周H(ejw

)是以2p期的連續(xù)函數(shù)，當(dāng)h(n)為實(shí)函數(shù)時(shí)，以p

為中心共軛對(duì)稱。62、數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)選頻濾波器的頻率響應(yīng)：H

(e

jw

)

=

H

(e

jw

)

e

jb

(

jw

)H(e

jω

)

為幅頻特性：表示信號(hào)通過該濾波器后各頻率成分的衰減情況。b(jw

)為相頻特性：反映各頻率成分通過濾波器后在時(shí)間上的延時(shí)情況。7Ap:通帶最大衰減—通帶波紋：As:阻帶最小衰減—阻帶波紋p1p)

=-20lg(1-δ

)=-20lgH(eA

=20lgjwH(ej0)H(ejwp

)220lgδsjωH(ej0)H(ejωs

)=-20lgH(e

)

=-As

=20lg實(shí)際濾波器設(shè)計(jì)中常給定的指標(biāo)：w

p

,

Ap

,w

s

,

As選頻濾波器的設(shè)計(jì)過程：8確定性能指標(biāo)用一個(gè)因果穩(wěn)定的系統(tǒng)函數(shù)（IIR/FIR）去逼近指標(biāo)用有限精度的運(yùn)算去實(shí)現(xiàn)這個(gè)函數(shù)。實(shí)際技術(shù)實(shí)現(xiàn)：軟件/硬件方法IIR濾波器的設(shè)計(jì)方法直接設(shè)計(jì)數(shù)字IIR濾波器借助模擬濾波器設(shè)計(jì)

IIR濾波器脈沖響應(yīng)不變法雙線性變換法最優(yōu)化設(shè)計(jì)法零極點(diǎn)累試法Notice：IIR濾波器與FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法大不相同，IIR濾波器設(shè)計(jì)結(jié)果是系統(tǒng)函數(shù)H(z)，F(xiàn)IR濾波器設(shè)計(jì)結(jié)果是單位脈沖響應(yīng)h(n)。93、數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器實(shí)際上是要尋求一個(gè)因果穩(wěn)定的線性時(shí)不變系統(tǒng)，使其系統(tǒng)函數(shù)H(z)具有指定的頻率特性。￥=n=0h(n)e

jwnH

(e

jw

)

=

H

(z)z

=e

jw104.2利用模擬濾波器理論的設(shè)計(jì)方法:11優(yōu)點(diǎn)：模擬濾波器研究較早，理論已經(jīng)十分成熟，有許多簡單而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)脑O(shè)計(jì)公式和大量的圖表可以

利用；過程：先設(shè)計(jì)一個(gè)合適的模擬濾波器，然后將它轉(zhuǎn)換成滿足給定指標(biāo)的數(shù)字濾波器，轉(zhuǎn)換方法：適用范圍：該方法適合于設(shè)計(jì)幅頻特性比較規(guī)則的濾波器，例如低通、高通、帶通、帶阻等。脈沖響應(yīng)不變法雙線性變換法S平面的虛軸jΩZ平面的單位圓數(shù)字濾波器和模擬濾波器的頻率響應(yīng)的形狀應(yīng)基本保持不變；2

因果穩(wěn)定H(s)

H(z)，仍然是因果穩(wěn)定的S平面左半平面的極點(diǎn)

Z平面的單位圓內(nèi)模擬濾波器到數(shù)字的轉(zhuǎn)化：12H(s) H(z)時(shí)，實(shí)現(xiàn)S平面

Z平面的映射必須滿足兩個(gè)條件：1必須保證模擬頻率映射為數(shù)字頻率，且保證兩者的頻率特性基本一致回顧:為周13H(ejw

)是以2p期的連續(xù)函數(shù)，當(dāng)h(n)為實(shí)函數(shù)時(shí)，以p

為中心共軛對(duì)稱。按選頻特性分類：低通、高通、帶通、帶阻、全通濾波器w

p

：通帶截止頻率w

s

：阻帶截止頻率wc

：截止頻率Dw

=w

s

-w

p

：過渡帶理想濾波器不可實(shí)現(xiàn)，只能以實(shí)際濾波器逼近。pjω1-d

￡

H(e

)

￡1+d

,

w

￡

w1

1jωH(e

)￡

d2

,w

s

￡

w

￡

p1141+d：通帶容限：止帶容限d1d2IIR濾波器的設(shè)計(jì)是基于模擬濾波器的成熟技術(shù)完成最先設(shè)計(jì)的模擬低通濾波器稱為原型濾波器常用的模擬濾波器有：巴特沃思(Butterworth)濾波器切比雪夫(Chebyshev)濾波器橢圓(Ellipse)濾波器貝塞爾(Bessel)濾波器154.2利用模擬濾波器理論的設(shè)計(jì)方法:16—、模擬濾波器設(shè)計(jì)的基本概念1、模擬濾波器的頻率特性與衰減特性Ha

(

jW)

=

Ha

(s)

|s=jW工程設(shè)計(jì)中給定的指標(biāo)往往是通帶和阻帶截止頻率及衰減：Ωp

,

Ap

,Ωs

,

AspH(jW

)p

pA

=20lg

H(j0)

=-20lgH(jW

)ss

sH(jW

)A

=20lg

H(j0)

=-20lgH(jW

)通帶最大衰減阻帶最大衰減17模擬濾波器常用幅度平方函數(shù)表示：*2=

H

(

jW

)H

(

jW

)H

(

jW

)a

aa由于濾波器的沖擊響應(yīng)為實(shí)函數(shù)ha

(t)H

*

(

jW

)

=

H

(-

jW

)a

aH

(

jW

)

2

=

H

(

jW

)H

(-

jW

)

=

H

(s)H

(-s)a

a

a

a

a s

=

jW|

H

(

jW

)

|2H(s)？2、從幅度平方函數(shù)|

H(jW)|2

來確定系統(tǒng)函數(shù)H

(s)18其零、極點(diǎn)分布是成象jWs實(shí)函數(shù)的L氏變換存在共軛對(duì)稱的性質(zhì)，H

(s)其極點(diǎn)和零點(diǎn)必以共軛對(duì)的形式出現(xiàn)。因而對(duì)于H

(s)H

(-s)限對(duì)稱的。零、極點(diǎn)分布示意圖如下：任何實(shí)際可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)都應(yīng)是穩(wěn)定的，因此系統(tǒng)的極點(diǎn)必須位于左半平面，左半平面的極點(diǎn)必屬于H

(s)零點(diǎn)則沒有限制，只和濾波器的相位特性有關(guān)。比如按最小相位特性則零點(diǎn)應(yīng)在左半平面從給定的模方函數(shù)求出所需要的系統(tǒng)函數(shù)的過程如下：19a、令s=

jW

代入模方函數(shù)得到

H(s)

H(-s)

并求其零、極點(diǎn)b、取H(s)H(-s)所有在左半平面的極點(diǎn)作為H

(s)的極點(diǎn)c、按需要的相位條件(最小相位，混合相位等)取H(s)H(-s)一半的零點(diǎn)構(gòu)成H

(s)的零點(diǎn)d、根據(jù)零、極點(diǎn)位置給出系統(tǒng)函數(shù)H(s)二、尋找一個(gè)恰當(dāng)?shù)慕坪瘮?shù)來逼近理想特性——逼近問題最常用的濾波器逼近函數(shù)：巴特沃思(Butterworth)濾波器切比雪夫(Chebyshev)濾波器橢圓(elliptic)函數(shù)或考爾（Cauer）濾波器實(shí)現(xiàn)線性相位的貝塞爾濾波器20N

=1,2,,11+(W

/

W

)2

Nc|

Ha(

jW

)

|2

=Butterworth濾波器模平方函數(shù)的主要特征：，3dB不變性aW

=0(1)

對(duì)于所有N，

H

(jW

)2=1(2)

對(duì)于所有N，a2W

=W

cH (jW

)2

1=(3)

Ha

(jW

)2

是Ω

的單調(diào)下降函數(shù)。2

隨著階次N的增大而更加接近于理想濾波器。21a(4)

H

(jW

)1、巴特沃思Butterworth低通濾波器----用巴特沃思函數(shù)近似濾波器的頻響函數(shù)Butterworth低通模平方函數(shù)22巴特沃思濾波器特點(diǎn)：幅頻特性在通頻帶內(nèi)最平坦特性幅頻通頻帶內(nèi)最平坦特性，幅度平方函數(shù)的前（2N-1）階導(dǎo)數(shù)都為零；在通帶和阻帶里單調(diào)下降低階時(shí)頻選特性差歸一化巴特沃思

低通濾波器的幅度特性半功率點(diǎn)截止頻率23極點(diǎn)：k

c

c2

2

Nj[

1

+2k-1]ps

=

(-1)1/

2

N

(

jΩ

)

=

Ω

e

,

k

=1,2,2N(-1)

=

e

j

(2k

-1)pButterworth低通的零、極點(diǎn)特性可得全部零點(diǎn)在s

=￥

處在有限平面內(nèi)只有極點(diǎn)，因此是“全極點(diǎn)型”濾波器c11+(s

/

jW

)2

N|

Ha(

jW

)

|2

W

=

s

/

j

=

Ha(s)Ha(-s)

=24當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，實(shí)軸上沒有極點(diǎn)。極點(diǎn)分布特點(diǎn)：H

(s)H

(-s)的2N個(gè)極點(diǎn)以p/N

為間隔均勻分布

在半徑為W

c

的圓上，這個(gè)圓稱為Butterworth圓所有極點(diǎn)以

jΩ

軸為對(duì)稱軸對(duì)稱分布，

jΩ

上沒有極點(diǎn)（這樣濾波器才能是穩(wěn)定的）；當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，有兩個(gè)極點(diǎn)分布在s

=–Ωc上；2 2

Nj[

1

+2k

-1

]psk

=

Ωcek

=

(N

+1)

/

2k

=

(3N

+1)

/

225對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)，它的所有極點(diǎn)均應(yīng)在s的左半平面上2

62

62

22

62

6

2

22 2

N11

]pj[

1

+2k

-1

]pj[

1

+1

]pj[

1

+5

]pj[

1

+1

]pj

[

1

+7

]pj

[

1

+j[

1

+3

]psk

=

Ωces1

=

Ωce,s2

=

Ωce,s3

=

Ωces4

=

Ωce ,s5

=

Ωce ,s6

=

Ωce26濾波器的系統(tǒng)函數(shù)NΩN(s

-

sk

)H

(s)=

c

k

=1可取：2 2

N,

k

=1,2,Nsk

=

Ωcej[

1

+2k-1]p極點(diǎn)?。篐

(s)H

(-s)的極點(diǎn)求出后，取左平面上的所有極點(diǎn)構(gòu)成系統(tǒng)函數(shù)對(duì)于低通濾波器，保證在頻率零點(diǎn)s

=0

處，|

H(0)|=1由濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)參數(shù)Ωp,

Ap,Ωs,

As求解濾波器的階次N和截止頻率Ωc2N

11+(Ωp

/Ωc

)Ap

=

-10lg

H(jΩp

)

=

-10lg22N

ss

1

1+(Ωs

/Ωc

)=-10lgA

=

-10lg

H(

jΩ

)22lg

(

Ω

p

/Ω

s

)s0.1A-

1)]lg

[(10

0

.1

A

p

-

1)/(10N

=向大值取整數(shù)27c28cΩsΩp2

N

100.1As2

N

100.1Ap-1Ω

=-1Ω

=p

P

s

s,

A

,

W

,

A由指定的技術(shù)指標(biāo)

W

，求出最關(guān)鍵的兩個(gè)參數(shù)，濾波器的階數(shù)N和截止頻率W

c

；由N查表格求巴特沃思多項(xiàng)式；用W

c

來反歸一化，將查表得歸一化系統(tǒng)函數(shù)中的s'用s/W

c

代替求得實(shí)際濾波器系統(tǒng)函數(shù)。模擬濾波器的設(shè)計(jì)步驟：因此選N=4例：試設(shè)計(jì)一個(gè)巴特沃什低通濾波器，要求在20rad/s

處的幅頻響應(yīng)衰減不多于2dB

，在30rad/s處幅頻響應(yīng)衰減大于10dB。解：按照題意，技術(shù)指標(biāo)為=

2dB=

10dBΩ

p

=

20rad/s

,

ApΩs

=

30rad /

s,

As=

3

.37129N

=lg

[(10

0

.1

A

p

-

1)(10

0

.1

As

-

1)]2lg

(

Ω

p

/Ω

s

)這就是要設(shè)計(jì)的巴特沃什低通濾波器。因?yàn)镹=4，可得0.2 1/

8W

c

=

20

/(10

-1)

=

21.387巴特沃什低通原型濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為41H

(s)

=(1+

0.765s

+

s2

)(1+1.848s

+

s2

)H4

(s)300.209

·106

s

=s=21.387(457.4

+16.37s

+

s2

)(457.4

+

39.52s

+

s2

)當(dāng)W

c

=21.387

時(shí)，用s

/W

c對(duì)Ha(s)

進(jìn)行反歸一化巴特沃思多項(xiàng)式系數(shù)Na1a2a3a4a5a6a7a8a921.414232.00002.000042.61313.41422.613153.23615.23615.23613.236163.86377.46419.14167.46413.863774.494010.09714.59214.59210.0974.494085.152813.13721.84625.68821.84613.1375.152895.758816.58131.16341.98641.98631.16316.5815.7588106.392520.43142.80264.88274.23364.88242.80220.4316.392531N

-1s

N+

a

s

N

-1

+a

s

2

+

a

s

+12

1巴特沃思多項(xiàng)式因式分解32N巴特沃思多項(xiàng)式1s+12s2+1.4142s+13(s+1)(s2+s+1)4(s2+0.7654s+1)(s2+1.8478s+1)5(s+1)(s2+0.6180s+1)(s2+1.6180+1)6(s2+0.5176s+1)(s2

+1.412s+1)(s2

+1.9319s+1)7(s+1)(s2+0.4450s+1)(s2+1.2470s+1)(s2+1.8019s+1)8(s2+0.3092s+1)(s2+1.1111s+1)(s2+1.6629s+1)(s2+1.9616s+1)9(s+1)(s2+0.3473s+1)(s2+s+1)(s2+1.5321s+1)(s2+1.8794s+1)切比雪夫Chebyshev低通濾波器33

巴特沃思濾波器在通帶內(nèi)誤差不均勻，靠近頻帶邊緣誤差大，要獲得好的過渡帶，階數(shù)較高。

切比雪夫?yàn)V波器是將精確度均勻地分布在整個(gè)通帶或阻帶內(nèi)，這樣就可以用階數(shù)較低的系統(tǒng)滿足要求。Chebyshev低通濾波器第I類是在通帶內(nèi)有起伏波紋，阻帶內(nèi)單調(diào)34第II類是在阻帶內(nèi)有起伏波紋，通帶內(nèi)單調(diào)35第I類切比雪夫低通濾波器的平方幅頻響應(yīng)表示式：12aH

(

jW

)

=1+

e2C

2

(W

/

W

)N

cW

c

：通帶截止頻率（不一定為3dB帶寬）N

：階數(shù)(由阻帶指標(biāo)確定)CN為N階切比雪夫多項(xiàng)式為限定的波紋系數(shù)，越大，波紋起伏越大cos(

N

cos-1

x)

x

￡

1x

>

1CN

(

x)

=

cosh(

N

cosh-1

x)-136cosh(N

cosh

x)

x

>1單調(diào)增加x

￡1等波紋幅度特性cos(N

cos-1

x)CN

(x)

=

N為偶數(shù)時(shí)必過（0，1）或（0，-1）點(diǎn)N為奇數(shù)時(shí)必過原點(diǎn)通帶內(nèi)

在1和 之間等波紋處幅頻平方為振蕩起伏在截止頻率

N為偶數(shù)時(shí)

N為奇數(shù)時(shí)cW11

+

e211

+

e2單調(diào)下降趨向于0，當(dāng)其減小到1/A2處時(shí)的頻率稱為阻帶截止頻率W

s。第I類切比雪夫?yàn)V波器的幅頻特性：2aH

(

jW

)2Ha

(

j0)

=1/

1+

eH

a

(

j0)

=

12a在過渡區(qū)和阻帶內(nèi)

H

(

jW

)

1

1+e2Ha(jW)ΩΩc

Ωs1/A012aH

(

jW

)

=1+

e2C

2

(W

/

W

)N

c37Chebyshev設(shè)計(jì)步驟-1100.1Ape

=Ωc

=

Ωp22)

=10lg(1+e2

)11+e=10lg(1/1H(jWp)pA

=10lgΩp

,

Ap

,

Ωs

,

As

Ωc

,e,

N382)通帶最大衰減指標(biāo)Ap

確定e1)通帶截頻確定Ωc93As

=

-20lg

H(jW

s

)

=

-20lg(1/

A)

=

20lg

AChebyshev設(shè)計(jì)步驟3)阻帶指標(biāo)確定N1s

c0.1

As

cs10

-1)2

-cosh-1

(W

/

W

)-1cosh-1

(W

/

W

)cosh-1

(

1

A

1)

cosh

(

N

=

e

=

e

>1W)

?WWWW-1cW

scscsNA2

-1,)

=

cosh(N

coshC

(1e2A2csNa

s1

￡

1H

(

jW

)

=1+

e2C

2

(W

/

W

)40歸一化系統(tǒng)函數(shù)Nk

=1N-1W

N/ (s

-

sk

)Ha

(s)

=ce2011=H(s'

)

=s'N

+a

s'N-1

++a

s'

+aN-1

1e2N-1e2N-1Nk

=1(s'

-

s'k

)Ωp

,

Ap

,

Ωs

,

As

Ωc

,e,

N

查表獲得歸一化系統(tǒng)函數(shù)Ha

(s')

反歸一化，令s'=s/W

c

,Ha

(s)=H

(s')|s'=s

/Wccs'

=

s

/

W帶入4)

根據(jù)N查表獲得系統(tǒng)函數(shù)：41例：試設(shè)計(jì)一切比雪夫低通濾波器，使其滿足下述指標(biāo)：要求在通帶內(nèi)的波紋起伏Ap=2

dB；通帶截止頻率為40rad/s；阻帶52

rad/s處的衰減As=20

dB。解：根據(jù)題意有：通帶截止頻率：

Ωc

=

Ωp

=

40rad

/

s阻帶截止頻率：W

s

=52rad

/s42pA

=10lg(1+e2)求波紋系數(shù) 以及參數(shù)A和N。100.1Ap-1

=

0.765e

=As

=

20

lg

A

=

20dBA

=10dBcs100.1Acss-1)A2

-1)cosh-1

(W

/

W

)cosh-1

(

1cosh-1

(W

/

W

)cosh-1

(

1N

=

e

=

e

=

4.3N

=

5求濾波器歸一化系數(shù)系統(tǒng)函數(shù)：043=H(s'

)

=s'N

+a

s'N-1

++a

s'

+aN-1

11

1e2N-1

e2N-1Nk

=1(s'

-

s'k

)N=5查表得：=

0.081/(0.081

+

0.459s

+

0.693s

2

+1.499s3

+

0.706s

4

+

s5

)N=5查因式展開式為：H5

(s)

=

0.081/[(s

+

0.21)(s

+

0.06

-

j0.97)(s

+

0.06

+

j0.97)(s

+

0.17

-

j0.06)(s

+

0.17

+

j0.60)]將上式共軛對(duì)寫成二次實(shí)數(shù)因式442

2H

5

(s)

=

0.081/[(s

+

0.21)(s

+

0.135s

+

0.95)(s

+

0.35s

+

0.39)]將上式進(jìn)行反歸一化sfi

s

/40

變量代換，得到實(shí)際參數(shù)設(shè)計(jì)的濾波器傳遞函數(shù)：H

(s)

=

8.29

*10

6

/(

s

+

8.4)(

s

2

+

5.4s

+1520

)(

s

2

+14

s

+

624

)5轉(zhuǎn)換方法有兩種：脈沖響應(yīng)不變法雙線性變換法45a統(tǒng)函H數(shù)(s)由模擬濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的過程：先根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)要求設(shè)計(jì)出一個(gè)相應(yīng)的模擬低通濾波器原型，得到系統(tǒng)函數(shù)Ha

(s)按照一定的轉(zhuǎn)換關(guān)系將設(shè)計(jì)好的模擬濾波器的系轉(zhuǎn)換成為數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H

(z)4.3

設(shè)計(jì)數(shù)字IIR濾波器---脈沖響應(yīng)不變法沖激響應(yīng)不變法：使數(shù)字濾波器的脈沖響應(yīng)序列h(n)等于模擬濾波器的沖激響應(yīng)ha

(t)的采樣值，即h

(

n

)

=

ha

(t

)

t

=

n

T

=

ha

(

n

T

)t

=

nT

]H

(

z

)

=

ZT

[h

(n

)]

=

ZT

[ha

(t

)1

變換原理46因此，描述數(shù)字濾波器特性的系統(tǒng)函數(shù)變成：47-1Re[z]+1Im[z]s3p

/T

jWp/T-p/T0Z單位圓上

Z單位圓內(nèi)S平面虛軸

S左半平面

S右半平面Z單位圓外s

<0fi

r

<1s

>0fi

r

>1s

=0fi

r

=1-3p/T滿足模擬濾波器到數(shù)字濾波器映射的基本條件：采樣過程由S到Z的映射關(guān)系：482

存在的問題——混疊失真數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)h(n)是模擬濾波器ha

(t)的取樣，那么數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)H

(ejw

)就是模擬濾波器頻率響應(yīng)Ha

(jW

)的周期延拓。+￥k=-￥a

sjW

T-

jkW

)H (

jWTH(e )

=或+￥+￥W

==k=-￥k=-￥asaT-

jk

)T

TH

(jT1-

jkW

)

=T1H

(jT1w

2pwwH(ejw

)

=H

(jW)aw

=W

T模擬域延拓周期為W

s

對(duì)應(yīng)數(shù)字域延拓周期為2pTT-

2p

-

ppT2pT|

Ha

(

jW)

|W|

H

(e

jw

)

|-3p

-2p-pp2p3pw

=W

T049沖激響應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象不產(chǎn)生混疊，有：的附近產(chǎn)生頻譜T根據(jù)取樣定理可知，只有當(dāng)模擬濾波器是帶限時(shí)，即當(dāng)|

W

|?π

，Ha

(jW

)=0時(shí)如果模擬信號(hào)的頻帶不是限于–π/T之間，必然出現(xiàn)模擬到數(shù)字的多值映射則數(shù)字頻譜會(huì)在

–π混疊。H

(j

)

w

<p1

wT

TH(e )

=ajw5051模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)可分解為：3

模擬到數(shù)字映射的具體實(shí)現(xiàn)方法對(duì)應(yīng)的沖激響應(yīng)為對(duì)ha

(t)進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為T，得Nk=1s

nTkau(nT)A

eh(n)

=

h (nT)

=k

k

AHa

(s)

=k

=1

s

-

skNNk=1s

tk-1a

au(t)A

eh

(t)

=

L

[H (s)]

=kN= =

s

nT

u

h(n)

ha

(nT

)

Ake

k

(nT

)k

=1N=

k=1Ak1-

esk

Tz-1再對(duì)h(n)做Z變換，即可得到?jīng)_激響應(yīng)不變法獲得的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為￥

￥H(z)

=

h(n)z-n

u(n)

=

h(n)z-nn=-￥

n=0￥

N

N

￥=

Akesk

nT

z-n

=

Ak

(esk

Tz-1)nn=0

k=1

k=1

n=0

k

aNAH

(s)

=k

=1

s

-

sk52H(z)h(n)ha

(t)Ha

(s)脈沖響應(yīng)不變法由模擬到數(shù)字的實(shí)現(xiàn)方法:H(z)53Ha

(s)T1H(e )

=ajwH (

jΩ)

w

<

p

由上式可見,數(shù)字濾波的幅頻響應(yīng)與T成反比,如果采樣率很高,則T很小,則數(shù)字濾波器可能具有太高增益,這是不希望的,因此通常會(huì)做如下簡單修正。h(n)

=

Tha

(nT

))

w

<

pwTH(e )

?

H (

jajwTAk54NH(z)

=

k

=11-

esk

Tz-1由脈沖響應(yīng)不變法數(shù)字頻譜和模擬頻譜的對(duì)應(yīng)關(guān)系為：(3)沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：單階級(jí)點(diǎn)，分母多項(xiàng)式的階數(shù)大于分子多項(xiàng)式階數(shù)沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的過程：由任務(wù)指標(biāo)確定模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)：w

p

,

Ap

,w

s

,

As

Ωp

,

Ap

,

Ωs

,

As

Ωc

,

N,(e)根據(jù)技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)Ha

(s)，并將其寫為：z

=

e

sTNk

=1TAH(z)

=

k

1-

esk

T

z-155Nk

=1s

-

skTAkHa(s)

=4優(yōu)缺點(diǎn)56優(yōu)點(diǎn)：（1）數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)（時(shí)域逼近良好）（2）模擬頻率與數(shù)字頻率呈線性關(guān)系附近存在頻率混疊，因此高通和不為零的濾波器不宜采用沖激響應(yīng)不變法缺點(diǎn)：在w=帶阻濾波器等在w>在W

c57=

1在實(shí)際濾波器設(shè)計(jì)中，模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)的表格都是歸一化低通原型H

(s')，其濾波器截止頻率都?xì)w一化c直接用數(shù)字頻率wc

求H(z)當(dāng)濾波器的實(shí)際截止頻率不等于1時(shí)，須進(jìn)行反歸一化，以s'=s

/W

c代替H

(s')中的s'，即實(shí)際低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(s)應(yīng)為Ha

(s)

=

H

(s')

|s

'=s

/

WWN=

k

cNcas

-

s

WAk

W

c

s

Akk

=1k

=1(s

/

W

c)

-

sk)

=H

(s)

=

H

(Nkk

=1Aks'-sH

(s')

=sk

為歸一化模擬原型系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)TAk

W

c58統(tǒng)函數(shù)H

(z)k

=11-

eskTW

c

z

-1NH

(z)

=

Z[Th(nT

)]

=

由wc

=

W

cT，有Nk

=1H

(z)

=

k

c1-

eskwc

z

-1

A

w

Ha

(s)

=

H

(s')

|s

'=s

/

Wc所以可以不用確定T、W

c

而通過歸一化原型直接求得數(shù)字系59(1)例： 已知模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha

(s)為aH

(s)=

s

+

a

(s

+

a)2

+

b2ab(2)

H

(s)

=(s

+

a)2

+

b2式中，a、b

為常數(shù)，設(shè)Ha

(s)因果穩(wěn)定，試用沖激響應(yīng)不變法求數(shù)字濾波的H

(z)60解（1）的極點(diǎn)為aH

(s)=

s

+

a

(s

+

a)2

+

b2s1

=

-a

+

jbs2

=

-a

-

jb

k

aNAH

(s)

=k

=1

s

-

skk

k

As

T

-1H

(z)

=1-

e

zNk

=1a12A1

A2H

(s)=

s

+

a

=+(s

+

a)2

+

b2

s

-

s s

-

s(s

+

a)2

+

b2(

A

+

A

)s

-

A

s

-

A

s=

1

2

1

2

2

1將Ha

(s)用待定系數(shù)法部分分式展開61=

1/

2

2A

A1

=

1/

2比較分子可得方程組s1

=

-a

+

jbs2

=

-a

-

jbaH

(s)

=1/

2

+

1/

2s

-(-a

+

jb)

s

-(-a

-

jb)k21/

2

1/

2zzAks

T

-1-1k=1H(z)

==+1-e

z1-e(-a+jb)T-1

1-e(-a-jb)TA

s

+

A

s

=

-a

1

2

2

1A1

+

A2

=11-

e-aT

cos(bT

)z-1H

(z)

=由于兩個(gè)極點(diǎn)共軛對(duì)稱，所以將H

(z)的兩項(xiàng)通分化簡，可得21-

2e-aT

cos(bT

)z-1

+e-2aT

z-2A

1/

2

1/

2T

z-1k=H(z)

=

k

=

+1

1-eskT

z-1

1-e(-a+jb)T

z-1

1-e(-a-jb)-e-aT

cos(

bT

)2e-aT

cos(bT)-

e

-2

aT-1z-1z622bs1

=-a+jbs2

=-a-jb（2）

Ha

(s)

=

(s

+的極點(diǎn)為+

b2將Ha

(s)用待定系數(shù)法部分分式展開：1

j

1

jHa(s)=

2

+

2

s

-(-a

+

jb)

s

-(-a

-

jb)1

j

1

jH

(z)

=

2

+

2

1-

e(-a+jb)T

z-1

1-

e(-a-

jb)T

z-11-

e-aT

sin(bT

)z-1H

(z)

=1-

2e-aT

cos(bT

)z-1

+e-2aTZ

-2kak

a)N

Ak

=1H

(s)

=s

-

skN

Aks

T

-1k

=11-

e

zH

(z)

=

63end64回顧:一、模擬濾波器的設(shè)計(jì)1、巴特沃思濾波器|

Ha(

jW

)

|2

W

=

s

/

j1N

=1,2,,1+(W

/

W

)2

Nc|

Ha(

jW

)

|2

=c2

N21a(s)H1+(s

/

jW

)a(-s)

=|

Ha(

jW

)

|W

=

s

/

j

=

Hk65NcΩN(s

-

s

)Ha(s)

=k

=166由N查表格求巴特沃思多項(xiàng)式得到歸一化原形p

P

s

s,

A

,

W

,

A由指定的技術(shù)指標(biāo)

W

，求出最關(guān)鍵的兩個(gè)參數(shù)，濾波器的階數(shù)N和截止頻率W

c

；用W

c來反歸一化，將查表得歸一化系統(tǒng)函數(shù)中的s用s/W

c

代替求得實(shí)際濾波器系統(tǒng)函數(shù)。巴特沃思的設(shè)計(jì)步驟：lg[(100.1Ap

-1)/(100.1As

-1)]N

=2lg(Ωp

/Ωs

)

s

ccΩ2

N

100.1AsΩp2

N

100.1Ap-1-1Ω

=或

Ω

=1H(s'

)

=s'N

+a s'N-1

++a

s'

+aN-1

1

0cHa

(s)

=

H

(s')

|s

'=s

/

W67回顧:2、切比雪夫?yàn)V波器：12aH

(

jW

)

=1+

e2C

2

(W

/

W

)N

cΩp

,

Ap

,

Ωs

,

As

Ωc

,e,

N68由N查表格求巴特沃思多項(xiàng)式得到歸一化原形p

P

s

s,

A

,

W

,

A由指定的技術(shù)指標(biāo)

W

，求出最關(guān)鍵的三個(gè)參數(shù)，濾波器的階數(shù)N、截止頻率W

c

及波紋系數(shù)用W

c來反歸一化，將查表得歸一化系統(tǒng)函數(shù)中的s'用s/W

c

代替求得實(shí)際濾波器系統(tǒng)函數(shù)。切比雪夫的設(shè)計(jì)步驟：H(s'

)

=s'N

+a s'N-1

++a

s'

+aN-1

1

01e2N-1cHa

(s)

=

H

(s')

|s

'=s

/

WΩc

=

Ωp-1100.1Ape

=s

c100.1Ascosh-1

(W

/

W

)cosh-1

(

1

-1)N

=

e

回顧:二、由模擬濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器——脈沖響應(yīng)不變法h(n)

=

ha

(t)

t

=nT

=

ha

(nT

)Nk=1s

T

-11-

e

z

Ak

H(z)

=kaAkH

(s)

=k

=1

s

-

skN數(shù)字頻率與模擬頻率對(duì)應(yīng)關(guān)系為：69w

=

W

T(3)沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的過程：由任務(wù)指標(biāo)確定模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)：w

p

,

Ap

,w

s

,

As

Ωp

,

Ap

,

Ωs

,

As

Ωc

,

N,(e)根據(jù)技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)Ha

(s)，并將其寫為：z

=

e

sTTAkNH(z)

=

s

T

-1k

=1

1-

e

k

zk

=1

s

-

skAkNHa(s)

=

修正放大，防止數(shù)字增益過大70在W

c=

1在實(shí)際濾波器設(shè)計(jì)中，模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)的表格都是歸一化低通原型H

(s')，其濾波器截止頻率都?xì)w一化c直接用數(shù)字頻率wc

求H(z)71當(dāng)濾波器的實(shí)際截止頻率不等于1時(shí)，須進(jìn)行反歸一化，以s'=s

/W

c代替H

(s')中的s'，即實(shí)際低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(s)應(yīng)為Ha

(s)

=

H

(s')

|s

'=s

/

WWN=

k

cNcas

-

s

WAk

W

c

s

Akk

=1k

=1(s

/

W

c)

-

sk)

=H

(s)

=

H

(Nkk

=1Aks'-sH

(s')

=sk

為歸一化模擬原型系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)TAk

W

ck

=11-

eskTW

c

z

-1NH

(z)

=

Z[Th(nT

)]

=

由wc

=

W

cT，有Nk

=1H

(z)

=

Akw

c1-

eskwc

z

-1Ha

(s)

=

H

(s')

|s

'=s

/

Wc72統(tǒng)函數(shù)H

(z)所以可以不用確定T、W

c

而通過歸一化原型直接求得數(shù)字系沖激響應(yīng)不變法的主要缺點(diǎn)：產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象，使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)偏移模擬濾波器的頻率響應(yīng)。不能用來設(shè)計(jì)高通和帶阻濾波器。原因：從S平面到Z平面是多值的映射關(guān)系解決辦法：采用非線性頻率壓縮方法，通過兩次壓縮映射消除混疊現(xiàn)象，這種方法就是雙線性映射法。將多值映射轉(zhuǎn)換為單值映射。734.4

設(shè)計(jì)數(shù)字IIR濾波器---雙線性變換法去。這種映射法就可以保證使s平面和z平面建立單值對(duì)應(yīng)，從而消除混疊現(xiàn)象。1、變換原理1雙線性變換法通過兩次映射實(shí)現(xiàn):第一次映射，先將整個(gè)s平面壓縮到s

平面中的1T

T第二次映射，將(-π

￡

W￡

π

)橫帶映射到z平面上174T

T一條橫帶內(nèi)(-π

￡

W￡

π

)75雙線性變換的映射過程脈沖響應(yīng)不變法的映射過程正切映射z

=

es1T76將上述關(guān)系解析延拓到整個(gè)S平面和S1平面：第一步：將S平面中的虛軸段上：jW

，(-￥

,+￥

)范圍虛軸的(-π

,+π

)T

T11壓縮到s

平面中jW將上式改寫為如下形式：W

=

2

tan(

W

1T

)T

22

e

jW

1T

/

2

-

e

-

jW

1T

/

2jW

=T e

jW

1T

/

2

+

e

-

jW

1T

/

2S

=

jW22

s

TT2

1

-

e

-

s1TT

1

+

e

-

s1T2

e

s1T

/

2

-

e

-

s1T

/

2T e

s1T

/

2

+

e

-

s1T

/

2

=tan(

1

)

=s

=2W

=

C

tan(

W

1T

)為了保證在低頻處滿足線性關(guān)系W=W

1C

=

2

/

T77z

=

es1T2

1-

z-1s

=

(

)T

1+

z-1221

+

T

sz

=1

-

T

s第二步：將S1平面通過如下變換影射到Z平面：22

s

TT2

1-

e-s1TT

1+

e-s1T2

es1T

/

2

-

e-s1T

/

2T es1T

/

2

+

e-s1T

/

2

=tan(

1

)

=s

=w

=

W

1TW

=

2

tan(

W

1T

)

=

2

tan(w

)T

2

T

278映射變換必須滿足兩個(gè)條件:必須保證模擬頻率映射為數(shù)字頻率S平面的虛軸

Z平面的單位圓因果穩(wěn)定H(s) H(z)，仍然是因果穩(wěn)定的S平面左半平面的極點(diǎn)

Z平面的單位圓內(nèi)2、逼近情況1、將z

=e

jw

帶入下式得：)-12

1-

z-1s

=

(T

1+

zs

=)

=

jW2=

j

tan( )

=

j

2

tan(TT

1+

eW

1T2-

jw2

1-

e-

jw

2

wTS平面的虛軸Z平面的單位圓2TT1

+

sz

=

2

1

-

s2、將s

=s

+jw

帶入下式得：-s

-

jw+

s

+

jwz

=

T

2T22

2-s

+w

22

2+s

+w

2

Tz

=

T

s

<

0z

<

1穩(wěn)定模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得的數(shù)字濾波器也是穩(wěn)定的79221

+

T

sz

=1

-

T

s80H

(z)

=

Ha

(s)-1s=

2

1-zT

1+z

-12

1-

z

-1=

Ha

(

T

1+

z

-1

)雙線性變換法模擬到數(shù)字的頻率映射關(guān)系：W

=

2

tan(

W

1T

)

=

2

tg

wT

2

T

2雙線性變換法模擬到數(shù)字的系統(tǒng)函數(shù)映射：813、雙線性變換法的設(shè)計(jì)步驟：根據(jù)性能要求確定數(shù)字濾波器的臨界頻率；w

p、ws用雙線性變換關(guān)系求模擬濾波器的臨界頻率；W

p、W

s按模擬濾波器指標(biāo)及設(shè)計(jì)類型(巴特沃思、切比雪夫等)求得濾波器階數(shù)N，通過階數(shù)查表求得歸一化低通濾波器原形的系統(tǒng)函數(shù)。由雙線性變換關(guān)系式求得數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)。W

=

2

tan(

W

1T

)

=

2

tg

wT

2

T

2c-1-11+z1 1-zT

1+z

-1s==

H

(s')2

1-z

-1

=

H

(s')

s

'=s

/

WH

(z)

=

H

a

(s)cs

'=tg(w

/2)c-1-11 1-z1+zs

'=2

1-z

-1T

1+z

-1s==

H

(s')=

H

(s')

s

'=s

/

WH

(z)

=

H

a

(s)ctg(w

/2)當(dāng)由歸一化的模擬變量s’變到數(shù)字變量Z的過程中，系數(shù)2/T已被消去。這說明T取值的大小是不重要的。利用雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的過程：sW

cHa

(s)

=

H

(s')

|s'=cW =

2

tg

w

cT

2實(shí)際模擬濾波器歸一化原型82脈沖響應(yīng)不變法：如果給定的設(shè)計(jì)指標(biāo)是等效模擬頻率和采樣間隔進(jìn)行設(shè)計(jì)，采樣間隔T必須滿足采樣定理；如果給定的設(shè)計(jì)指標(biāo)是數(shù)字頻率進(jìn)行設(shè)計(jì)，采樣間隔T可以任選。雙線性變換法：不存在頻率混疊現(xiàn)象，采樣間隔T可以任選。8384T

2

T

2W

=

2

tan(W

1T

)

=

2

tg

w4、優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：避免了頻率響應(yīng)混疊現(xiàn)象缺點(diǎn)：非線性映射W-ppw

直接影響數(shù)字濾波器的頻響逼真于模擬濾波器頻響的效果。在w

=0附近接近線性關(guān)系；當(dāng)w

增加時(shí)，W

增加得越來越快；當(dāng)w

趨近于π

時(shí)，W趨近于￥

。正是這種非線性關(guān)系，消除了頻率混疊現(xiàn)象。W

與w

之間的非線性關(guān)系同時(shí)也是雙線性映射法的缺點(diǎn)，85非線性變換的影響：w

原本線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后將變?yōu)榉蔷€性濾波器；

這種非線性關(guān)系要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)必須是分段常數(shù)形的（即必須是典型的低通、高通、帶通濾波器）。W-pW

=

2

tan(

W

1T

)

=

2

tg

wT

2

T

2865、頻率預(yù)畸變：1、在進(jìn)行數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)時(shí),有時(shí)給定的性能指標(biāo)是計(jì)算出模擬頻率進(jìn)行設(shè)計(jì)就可以了。待設(shè)計(jì)的數(shù)字頻率w

、wT

2,則直接按照公式W=2tg

w2、有時(shí)給出的是模擬域轉(zhuǎn)折頻率和采樣頻率f

p、fsp

sW

p、W

s1/T，此時(shí)則需要進(jìn)行頻率預(yù)畸變，先根據(jù)下式得到待設(shè)計(jì)的數(shù)字頻率，再重復(fù)步驟1。w

p

=

2pf

pTws

=

2pfsTW

=

2

tg

wT

2spsp

s2

wT

2

T

2?2pf

、2pfW

、W=2

tg

w

p

、tg87通帶內(nèi)最大衰減阻帶內(nèi)最小衰減Ap

￡

0.5dBAs

?15dB例：利用雙線性變換法設(shè)計(jì)巴特沃斯數(shù)字低通濾波器設(shè)計(jì)參數(shù)：通帶數(shù)字截止頻率

w

p

=

0.25p阻帶數(shù)字截止頻率

w

s

=

0.55p2pW

=

tg(w

p

)

=

tg0.125p

=

0.41421362sW

=

tg(w

s

)

=

tg0.275p

=1.1708496解：1、用雙線性變換關(guān)系求模擬濾波器的臨界頻率W

p、W

s2、計(jì)算巴特沃斯數(shù)字低通濾波器的階數(shù)：=

2.65869972

lg(W

p

/

W

s

)1

lg[(100.1Ap

-1)

/(100.1As

-1)]N

?取N=33、通過查表求得3階巴特沃斯歸一化低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：188(

p

+1)(

p

2

+

p

+1)H

(

p)

=4、由雙線性變換公式求H(z)，化簡后求得0.0662272(1+

z

-1

)3H

(z)

=(1-

0.259328z

-1

)(1-

0.6762858z-1

+

0.3917468z

-2

)c/

2

1+z

-11

1-z

-11+z

-11

1-z

-1P=WH

(z)

=

H

(P)

=

H

(P)cP=tgw0.41489Ωpc2

N

100.1Ap=

0.5881486

100.1*0.5

-1=-1Ω

=設(shè)計(jì)濾波器的幅度響應(yīng)與相位響應(yīng)904.5

設(shè)計(jì)IIR濾波器---原形變換法91

沖激響應(yīng)不變法和雙線性映射法主要實(shí)現(xiàn)了低通濾波器的設(shè)計(jì)，在工程上經(jīng)常要實(shí)現(xiàn)各種截止頻率的低通、高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)。

設(shè)計(jì)選頻濾波器的傳統(tǒng)方法：設(shè)計(jì)一個(gè)歸一化截止頻率的原型低通濾波器，然后利用代數(shù)變換，從原型低通濾波器推導(dǎo)

出所要求的各種技術(shù)指標(biāo)的低通、高通、帶

通和帶阻濾波器------頻率變換法。92H

(z)

=

Ha

(s)

s=

f

(

z

)4.5.1 S平面變換法——模擬域頻率變換934.5.1 S平面變換法——模擬域頻率變換Ha

(s)

=

H

(s')

s'=

f

(s)由歸一化模擬低通原型變換成所需的模擬濾波器：由模擬濾波器到數(shù)字濾波器：低通原形變換后H

(s')H

(z)

=

Ha(s)

s=g(z)94Ha

(s)H

(z)95模擬濾波器映射關(guān)系：變換類型 變換關(guān)系式新的截止頻率頻率，一般指通帶寬度通帶上、下截止頻率低通 低通低通 高通低通 帶通低通 帶組cc

Ω's'

=

f

(s)

=

Ω

s

sΩ'cs'

=

f

(s)

=

Ωcs(Ω

-Ω

)h

ls

2

+

Ωl

Ωhs'

=

f

(s)

=

Ωcl

hs(Ωh-Ωl

)c

s

2

+

Ω

Ωs'

=

f

(s)

=

ΩΩ'c：實(shí)際濾波器的截止c頻率，一般指阻帶寬度Ω'：實(shí)際濾波器的截止h

lΩ

、Ω

：實(shí)際濾波器的Ωh、Ωl

：實(shí)際濾波器的阻帶上、下截止頻率原形變換后Ha

(s)

=

H

(s')

s=

f

(s)Ωc低通原形濾波器截止頻率，常取1。由歸一化低通原型變換成所需的模擬濾波器：變換后96s=g(z)H

(z)

=

Ha(s)由模擬濾波器到數(shù)字濾波器：脈沖響應(yīng)不變法：必須滿足采樣定理才可用，一般只適用于低通和滿足條件的帶通。雙線性變換法：z

=

esTNk

=1Aks

-

skHa(s)

=Nk

=1AH(z)

=

k

1-

esk

Tz-12

1-z

-1T

1+z

-1s=H

(z)

=

Ha(s)適用于任意選頻濾波器，但是是非線性映射關(guān)系。2

1-

z

-1s

=

g(z)

=T

1+

z

-197找出歸一化模擬低通原型與數(shù)字高通，帶通和帶阻濾波器之間的從S域到Z域的變換關(guān)系；直接由歸一化低通原型變換成所需的數(shù)字濾波器；H

(z)

=

H

(s')s

'=f

(z)981、模擬低通 數(shù)字低通由模擬低通到模擬低通的變換關(guān)系:cc

Ω'ss'

=

ΩΩc

模擬低通截止頻率，一般為1。

Ω

'c

實(shí)際模擬濾波截止頻率。雙線性變換法實(shí)際模擬濾波器到數(shù)字濾波器的變換關(guān)系:2

1-

z-1s

=T

1+

z-1低通原形變換后低通s'=Ωc

2

1-z

-1Ω

'c

T

1+z

-1H

(z)

=

H

(s')將(2)帶入(1)可得直接由模擬低通到數(shù)字低通的變換關(guān)系:(1)(2)Ha

(s)

=

H

(s')

s=

f

(s)H

(z)

=

Ha(s)

s=g(z)H

(z)

=

H

(s')

s'=f

(z)2、模擬低通 數(shù)字高通由模擬低通到模擬高通的變換關(guān)系:cΩ'css'

=

Ω2

1-

z-1s

=T

1+

z-1低通原形變換后高通99(1)(2)Ωc

模擬低通截止頻率，一般為1。

Ω

`c實(shí)際高通模擬濾波截止頻率。雙線性變換法模擬高通濾波器到數(shù)字高通的變換關(guān)系:1+

z-11-

z-12

1-

z-1TΩ

Ω'

1+

z-1s'

=

c c

=

C2TΩ

Ω'C=

c

c

將(2)帶入(1)可得:由此可得直接由模擬低通到數(shù)字高通的變換關(guān)系:1+z-11-z-1s'=CH

(z)

=

H

(s')1001012ccwC

=

W

tg模擬低通與數(shù)字高通頻率之間的關(guān)系：ctg2

c

T

2wW

'

=2-1=

C

1+

z1-

z

-11-

z

-1s

=TΩc

Ω`c

1+

z

-12ω2jW

=

c c

=

-

jCctg1-

e-

jωTΩ

Ω'

1+

e-

jω由雙線性變換模擬高通到數(shù)字高通的頻率變換關(guān)系:2C

=

TΩc

Ω'cs

=

jΩz

=

e

jω模擬低通

數(shù)字高通模擬高通2W

=

-Cctg

ω1022W

=

Cctg

ωw0p2pW1032cc=

tg(0.1，

W

=1p)

=

0.3249wcC

=

W

tg例:設(shè)計(jì)一個(gè)三階巴特沃斯高通數(shù)字濾波器，3dB數(shù)字截頻為0.2π弧度，求濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。解(1)查表可知三階巴特沃斯歸一化模擬低通原型的系統(tǒng)函數(shù)為1s'3

+2s'2

+2s'+1H

(s')

=(2)求常數(shù)C(3)數(shù)字高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為3

21-11-z

-11+z

s'=0.32491-z

-11+z

-1s'=Cs'

+2s'