工程數(shù)學復變函數(shù)積分

工程數(shù)學復變函數(shù)積分第一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日工程數(shù)學---------復變函數(shù)§1復變函數(shù)積分的概念1.積分的定義定義和在局部弧段上任意取點,極限為A終點為B的一條光滑的有向曲線.設(shè)函數(shù)w=f(z)定義在區(qū)域D內(nèi),都存在且唯一，則稱此極限為函數(shù)記作沿曲線弧C的積分.若對C的任意分割C為在區(qū)域D內(nèi)起點第二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日工程數(shù)學---------復變函數(shù)關(guān)于定義的說明:(4)一般不能把寫成的形式.(1)用表示沿著曲線C的負向的積分.(2)沿著閉曲線C的積分記作(3)如果C是x軸上的區(qū)間而則第三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日工程數(shù)學---------復變函數(shù)2.積分的性質(zhì)第四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日工程數(shù)學---------復變函數(shù)例1.

證明:證明其中C為正向圓周：利用積分估值性質(zhì)，有第五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日工程數(shù)學---------復變函數(shù)2.積分存在的條件及計算法定理:C的參數(shù)方程為則曲線積分存在,且有連續(xù),在有向光滑弧C上有定義且設(shè)函數(shù)第六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日工程數(shù)學---------復變函數(shù)例2.

解:計算的正向圓周，為整數(shù).其中C為以中心，為半徑第七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日工程數(shù)學---------復變函數(shù)例3.解:(1)積分路徑的參數(shù)方程為計算其中C為:(1)從原點到點1+i的直線段;(2)從原點沿x軸到點1,再到點1+i的折線段;y=x第八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日工程數(shù)學---------復變函數(shù)y=x(2)積分路徑由兩段直線段構(gòu)成x軸上直線段的參數(shù)方程為1到1+i直線段的參數(shù)方程為第九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日工程數(shù)學---------復變函數(shù)例4.解:(1)積分路徑的參數(shù)方程為計算其中C為:(1)從原點到點1+i的直線段;(2)從原點沿x軸到點1,再到點1+i的折線段;y=x第十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日工程數(shù)學---------復變函數(shù)y=x(2)積分路徑由兩段直線段構(gòu)成x軸上直線段的參數(shù)方程為1到1+i直線段的參數(shù)方程為第十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日工程數(shù)學---------復變函數(shù)§2柯西定理B內(nèi)處處解析,定理1任何一條封閉曲線C的積分則f(z)在B內(nèi)(黎曼證明，把條件加強：假設(shè)連續(xù).)證明：假設(shè)在單連通域B內(nèi),解析,連續(xù).1.柯西定理如果函數(shù)f(z)在單連通域為零:第十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日工程數(shù)學---------復變函數(shù)因為所以在B內(nèi)連續(xù)，且滿足C-R條件.任取B內(nèi)閉曲線C,則積分由格林公式得所以第十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日工程數(shù)學---------復變函數(shù)函數(shù)f(z)處處解析定理2在單連通域

B內(nèi)，與路徑無關(guān).函數(shù)f(z)定理3

B為C的內(nèi)部，C為一條封閉曲線,在B內(nèi)解析，在上連續(xù)，則第十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日工程數(shù)學---------復變函數(shù)解：由柯西定理,有計算積分例1.因為函數(shù)在內(nèi)解析，第十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日工程數(shù)學---------復變函數(shù)解：由柯西定理,有計算積分因為函數(shù)都在上解析，例2.和第十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日工程數(shù)學---------復變函數(shù)第十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日工程數(shù)學---------復變函數(shù)2.原函數(shù)與不定積分如果函數(shù)f(z)在單連通域定理4與路徑無關(guān).B內(nèi)處處解析,則積分定理5處處解析,如果f(z)在單連通域B內(nèi)則函數(shù)F'(z)=f(z)必為B內(nèi)的一個解析函數(shù),并且第十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日工程數(shù)學---------復變函數(shù)利用導數(shù)的定義來證.證：由于積分與路線無關(guān),第十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日工程數(shù)學---------復變函數(shù)第二十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日工程數(shù)學---------復變函數(shù)由積分的估值性質(zhì),第二十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日工程數(shù)學---------復變函數(shù)[證畢]第二十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日工程數(shù)學---------復變函數(shù)定義1如果在區(qū)域B內(nèi)在區(qū)域B內(nèi)的原函數(shù).F'(z)=f(z),則稱F(z)為f(z)在區(qū)域B上的原函數(shù)全體不定積分,記作定義2在B上的稱為定理6如果f(z)在單連通域B內(nèi)處處解析,的一個原函數(shù),則這里z0,z1為域B內(nèi)的兩點.G(z)為f(z)第二十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日工程數(shù)學---------復變函數(shù)例3.

解:計算積分第二十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日工程數(shù)學---------復變函數(shù)3.復合閉路定理定理7是在C內(nèi)部的簡單閉曲線,且設(shè)C為多連通域D

內(nèi)的互不包含也互不相交,另外以C,C1,C2,...,Cn為邊界的區(qū)域如果f(z)在D內(nèi)解析,則一條簡單閉曲線,C1,C2,...,Cn全含于D.第二十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日工程數(shù)學---------復變函數(shù)證明：這樣區(qū)域D就被分為D1和D2兩考慮只有兩條圍線C0,C1的情況.區(qū)域，作輔助線段L1和L2連接C0,和C1，域,而且f(z)在內(nèi)解析,由柯西積分定理，有,所以顯然D1和D2都是單連通第二十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日工程數(shù)學---------復變函數(shù)所以即或第二十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日工程數(shù)學---------復變函數(shù)例4.

解:計算的正向簡單閉曲線.包含圓周為奇點.在C內(nèi)作互不相交，互不包含的只包含只包含其中C為圓周由復合閉路定理，得第二十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日工程數(shù)學---------復變函數(shù)第二十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日工程數(shù)學---------復變函數(shù)例5.

解:計算其中C為正向圓周：第三十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日工程數(shù)學---------復變函數(shù)解:圓環(huán)域的邊界構(gòu)成一條復合閉路,根據(jù)閉路復合定理,例6.計算積分其中為正向圓周和負向圓周組成.第三十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日工程數(shù)學---------復變函數(shù)§3柯西公式溫故而知新B內(nèi)處處解析,任何一條封閉曲線C的積分則f(z)在B內(nèi)如果函數(shù)f(z)在單連通域為零:柯西定理第三十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日工程數(shù)學---------復變函數(shù)思考？§3柯西公式第三十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日工程數(shù)學---------復變函數(shù)§3柯西公式定理1如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處解析,C為D內(nèi)的任何一條正向簡單閉曲線,它的內(nèi)部完全含于D,z0為C內(nèi)的任一點,則1.柯西公式第三十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日工程數(shù)學---------復變函數(shù)證明：當時，由于f(z)在連續(xù)，所以在C內(nèi)部作圓周那么第三十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日工程數(shù)學---------復變函數(shù)而即所以第三十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日工程數(shù)學---------復變函數(shù)注：1）柯西公式常寫作2）若則平均值公式第三十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日工程數(shù)學---------復變函數(shù)例1.

解:計算其中C為(1)正向圓周：(3)正向圓周：(2)正向圓周：(1)(2)(3)第三十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日工程數(shù)學---------復變函數(shù)求下列積分的值.解：例2.第三十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日工程數(shù)學---------復變函數(shù)(2)注意到函數(shù)在內(nèi)解析，而在內(nèi)，由柯西積分公式得第四十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日工程數(shù)學---------復變函數(shù)故得到

設(shè)

例3.根據(jù)柯西積分公式，得到解：求第四十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日工程數(shù)學---------復變函數(shù)2.解析函數(shù)的高階導數(shù)解析函數(shù)f(z)的導數(shù)仍為解析函數(shù),其中C為在f(z)的解析區(qū)域D內(nèi)圍繞z0的任何一條正向簡單曲線,而且它的內(nèi)部全含于D.定理2它的n階導數(shù)為:注：高階導數(shù)公式常寫成如下形式第四十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日工程數(shù)學---------復變函數(shù)例4.

解:計算的正向閉曲線.其中C為繞第四十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日工程數(shù)學---------復變函數(shù)例5.

解:計算在內(nèi)有奇點：作圓周于是第四十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日工程數(shù)學---------復變函數(shù)所以第四十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日工程數(shù)學---------復變函數(shù)§4解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系定義1在區(qū)域D內(nèi)具有二階連續(xù)偏若二元函數(shù)導數(shù)，且滿足拉普拉斯（Laplace）方程則稱為區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù).若為解析函數(shù)，定理1則其實部u和虛部v都是調(diào)和函數(shù).設(shè)f(z)=u+iv在區(qū)域D內(nèi)解析,則由C.-R.條件證：第四十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日工程數(shù)學---------復變函數(shù)得同理,即u及v都是D內(nèi)的調(diào)和函數(shù).因與D內(nèi)連續(xù)，它們必定相等，故在D內(nèi)有第四十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日工程數(shù)學---------復變函數(shù)定義2定理2設(shè)則v(x,y)必為u(x,y)的共軛調(diào)和函數(shù).u(x,y),v(x,y)是D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，且滿足C.-R.條件：則稱v(x,y)

為u(x,y)的共軛調(diào)和函數(shù).是區(qū)域D的解析函數(shù)，第四十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日工程數(shù)學---------復變函數(shù)例1.解:已知是右半復平面的調(diào)和函數(shù)，求調(diào)和函數(shù)u，使u的共軛調(diào)和函數(shù)是v.由C-R方程，得第四十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日工程數(shù)學---------復變函數(shù)例2.解:已知驗證u是調(diào)和函數(shù)，并求以u為實部的解析函數(shù)f(z),使f(0)=i.因為所以u是調(diào)和函數(shù).又f(0)=i，所以第五十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日工程數(shù)學---------復變函數(shù)

ch3復變函數(shù)積分一、知識要點1.復積分基本計算法曲線C:第五十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日工程數(shù)學---------復變函數(shù)2.

柯西-古薩基本定理函數(shù)f(z)處處解析.在單連通域

B內(nèi)，與路徑無關(guān).1)其中C是B任意一條簡單封閉曲線.2)解析,并且3)4)第五十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日工程數(shù)學---------復變函數(shù)3.復合閉路定理第五十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日工程數(shù)學---------復變函數(shù)4.柯西積分公式第五十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期日工程數(shù)學---------復變函數(shù)5.調(diào)和函數(shù)1).調(diào)和函數(shù)2).共軛調(diào)和函數(shù)若為解析函數(shù)，3).則其虛部v是實部u