直線平面垂直的判定及其性質(zhì)

第5節(jié)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)考試要求1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線面垂直的有關性質(zhì)與判定定理；2.能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關系的簡單命題.知

識

梳

理1.直線與平面垂直 (1)直線和平面垂直的定義

如果一條直線l與平面α內(nèi)的

直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直.任意(2)判定定理與性質(zhì)定理兩條相交直線l⊥al⊥ba?α平行a⊥αb⊥αb?α2.平面與平面垂直 (1)平面與平面垂直的定義

兩個平面相交，如果它們所成的二面角是

，就說這兩個平面互相垂直.直二面角(2)判定定理與性質(zhì)定理垂線l⊥αl?β交線α⊥βα∩β＝al⊥al?β[常用結(jié)論與易錯提醒]1.垂直關系的轉(zhuǎn)化2.直線與平面垂直的五個結(jié)論 (1)若一條直線垂直于一個平面，則這條直線垂直于這個平面內(nèi)的任意直線. (2)若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面. (3)垂直于同一條直線的兩個平面平行. (4)過一點有且只有一條直線與已知平面垂直. (5)過一點有且只有一個平面與已知直線垂直.診

斷

自

測1.判斷下列說法的正誤. (1)直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則l⊥α.(

) (2)垂直于同一個平面的兩平面平行.(

) (3)若兩平面垂直，則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個平面.(

) (4)若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的無數(shù)條直線，則α⊥β.(

)解析(1)直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則有l(wèi)⊥α或l與α斜交或l?α或l∥α，故(1)錯誤.(2)垂直于同一個平面的兩個平面平行或相交，故(2)錯誤.(3)若兩個平面垂直，則其中一個平面內(nèi)的直線可能垂直于另一平面，也可能與另一平面平行，也可能與另一平面相交，也可能在另一平面內(nèi)，故(3)錯誤.(4)若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的所有直線，則α⊥β，故(4)錯誤.答案(1)×

(2)×

(3)×

(4)×2.(2020·溫州適應性測試)設m，n為直線，α，β為平面，則m⊥α的一個充分條件可以是(

) A.α⊥β，α∩β＝n，m⊥n B.α∥β，m⊥β C.α⊥β，m∥β D.n?α，m⊥n

解析對于A，直線m與平面α可能平行、相交或直線m在平面α內(nèi)，A錯誤；對于B，由直線垂直于兩平行平面中的一個，得該直線垂直于另一個平面，B正確，對于C，直線m與平面α可能平行、相交或直線m在平面α內(nèi)，C錯誤；對于D，直線m與平面α可能平行、相交或直線m在平面α內(nèi)，D錯誤.綜上所述，故選B.

答案

B3.(2016·浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直線l，若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則(

) A.m∥l B.m∥n

C.n⊥l D.m⊥n

解析因為α∩β＝l，所以l?β，又n⊥β，所以n⊥l，故選C.

答案

C4.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CD的中點，則(

) A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BD C.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC解析如圖，

由題設知A1B1⊥平面BCC1B1且BC1?平面BCC1B1，從而A1B1⊥BC1，又B1C⊥BC1，且A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E?平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1.答案C5.(2020·北京順義區(qū)二模)已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則(

) A.若m⊥α，α⊥β，則m∥β B.若m∥α，n⊥α，則m⊥n C.若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β D.若m∥α，n∥α，則m∥n解析在如圖

所示的正方體中依次判斷各個選項；A選項，面ABCD⊥面ADD1A1，AA1⊥面ABCD，此時AA1?面ADD1A1，可知A錯誤；B選項，m∥α，則α內(nèi)必存在直線，使得m∥l；又n⊥α，則n⊥l，可知n⊥m，可知B正確；C選項，取AA1和DD1中點E和F，可知A1D1∥面ABCD，EF∥面ABCD，A1D1，EF?面ADD1A1，此時面ADD1A1⊥面ABCD，可知C錯誤；D選項，AA1∥面BCC1B1，AD∥面BCC1B1，此時AA1∩AD＝A，可知D錯誤.答案B6.(必修2P67練習2改編)在三棱錐P－ABC中，點P在平面ABC中的射影為點O， (1)若PA＝PB＝PC，則點O是△ABC的________心. (2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則點O是△ABC的________心.所以OA＝OB＝OC，即O為△ABC的外心.圖1

解析(1)如圖1，連接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，(2)如圖2，∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，圖2∴PC⊥平面PAB，AB?平面PAB，∴PC⊥AB，又AB⊥PO，PO∩PC＝P，∴AB⊥平面PGC，又CG?平面PGC，∴AB⊥CG，即CG為△ABC邊AB的高.同理可證BD，AH分別為△ABC邊AC，BC上的高，即O為△ABC的垂心.答案(1)外(2)垂考點一線面垂直的判定與性質(zhì)求證：(1)B1M∥平面A1BN；(2)AD⊥平面A1BN.證明(1)連接MN，正三棱柱ABC－A1B1C1中，四邊形AA1C1C是平行四邊形，因為點M，N

分別是棱A1C1，AC的中點，所以MN∥AA1且MN＝AA1，又正三棱柱ABC－A1B1C1中AA1∥BB1且AA1＝BB1，所以MN∥BB1且MN＝BB1，所以四邊形MNBB1是平行四邊形，所以B1M∥BN，又B1M?平面A1BN，BN?平面A1BN，所以B1M∥平面A1BN.(2)正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BN?平面ABC，所以BN⊥AA1.在正△ABC中，N是AC的中點，所以BN⊥AC，又AA1，AC?平面AA1C1C，AA1∩AC＝A，所以BN⊥平面AA1C1C，又AD?平面AA1C1C，所以AD⊥BN.又BN∩A1N＝N，BN，A1N?平面A1BN，所以AD⊥平面A1BN.規(guī)律方法

(1)證明直線和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質(zhì)(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l?β?l⊥α).(2)證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想.求證：PA⊥CD.證明因為AB為圓O的直徑，所以AC⊥CB.由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos30°＝3，所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AB.因為PD⊥平面ABC，CD?平面ABC，所以PD⊥CD，由PD∩AB＝D得，CD⊥平面PAB，又PA?平面PAB，所以PA⊥CD.考點二面面垂直的判定與性質(zhì)【例2】

(2018·江蘇卷)在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.求證：(1)AB∥平面A1B1C；(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.證明

(1)在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AB∥A1B1.因為AB?平面A1B1C，A1B1?平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C.(2)在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，四邊形ABB1A1為平行四邊形.又因為AA1＝AB，所以四邊形ABB1A1為菱形，因此AB1⊥A1B.又因為AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC.又因為A1B∩BC＝B，A1B?平面A1BC，BC?平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC.因為AB1?平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.規(guī)律方法(1)證明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理.(2)已知兩平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理進行轉(zhuǎn)化，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.【訓練2】

如圖，在三棱錐A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求證：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.證明(1)在平面ABD內(nèi)，AB⊥AD，EF⊥AD，則AB∥EF.∵AB?平面ABC，EF?平面ABC，∴EF∥平面ABC.(2)∵BC⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，BC?平面BCD，∴BC⊥平面ABD.∵AD?平面ABD，∴BC⊥AD.又AB⊥AD，BC，AB?平面ABC，BC∩AB＝B，∴AD⊥平面ABC，又因為AC?平面ABC，∴AD⊥AC.考點三平行與垂直的綜合問題角度1多面體中平行與垂直關系的證明【例3－1】

(2018·北京卷)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點.多維探究(1)求證：PE⊥BC；(2)求證：平面PAB⊥平面PCD；(3)求證：EF∥平面PCD.證明(1)因為PA＝PD，E為AD的中點，所以PE⊥AD.因為底面ABCD為矩形，所以BC∥AD.所以PE⊥BC.(2)因為底面ABCD為矩形，所以AB⊥AD.又因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB?平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.又PD?平面PAD，所以AB⊥PD.又因為PA⊥PD，且PA∩AB＝A，所以PD⊥平面PAB.又PD?平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.(3)如圖，取PC中點G，連接FG，DG.因為F，G分別為PB，PC的中點，所以DE∥FG，DE＝FG.所以四邊形DEFG為平行四邊形.所以EF∥DG.又因為EF?平面PCD，DG?平面PCD，所以EF∥平面PCD.規(guī)律方法(1)三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化.(2)垂直與平行的結(jié)合問題，求解時應注意平行、垂直的性質(zhì)及判定的綜合應用.角度2平行垂直中探索性問題【例3－2】

如圖所示，平面ABCD⊥平面BCE，四邊形ABCD為矩形，BC＝CE，點F為CE的中點.(1)證明：AE∥平面BDF.(2)點M為CD上任意一點，在線段AE上是否存在點P，使得PM⊥BE？若存在，確定點P的位置，并加以證明；若不存在，請說明理由.(1)證明

連接AC交BD于O，連接OF，如圖①.∵四邊形ABCD是矩形，∴O為AC的中點，又F為EC的中點，∴OF為△ACE的中位線，∴OF∥AE，又OF?平面BDF，AE?平面BDF，∴AE∥平面BDF.(2)解當P為AE中點時，有PM⊥BE，證明如下：取BE中點H，連接DP，PH，CH，∵P為AE的中點，H為BE的中點，∴PH∥AB，又AB∥CD，∴PH∥CD，∴P，H，C，D四點共面.∵平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE＝BC，CD?平面ABCD，CD⊥BC.∴CD⊥平面BCE，又BE?平面BCE，∴CD⊥BE，∵BC＝CE，H為BE的中點，∴CH⊥BE，又CD∩CH＝C，∴BE⊥平面DPHC，又PM?平面DPHC，∴BE⊥PM，即PM⊥BE.規(guī)律方法(1)求條件探索性問題的主要途徑：①先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明；②先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性.(2)涉及點的位置探索性問題一般是先根據(jù)條件猜測點的位置再給出證明，探索點存在問題，點多為中點或三等分點中某一個，也可以根據(jù)相似知識建點.【訓練3】(1)(角度1)(2019·江蘇卷)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點，AB＝BC.

求證：①A1B1∥平面DEC1； ②BE⊥C1E.①證明：平面AMD⊥平面BMC；②在線段AM上是否存在點P