解題有道-四大數(shù)學(xué)思想

第2講解題有道——四大數(shù)學(xué)思想思想概述

高考數(shù)學(xué)以能力立意，一是考查數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，基本技能；二是考查基本數(shù)學(xué)思想方法，考查數(shù)學(xué)思維的深度、廣度和寬度.數(shù)學(xué)思想方法是指從數(shù)學(xué)的角度來認(rèn)識、處理和解決問題，是數(shù)學(xué)意識、數(shù)學(xué)技能的升華和提高，中學(xué)數(shù)學(xué)思想主要有函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想.類型一函數(shù)與方程思想函數(shù)與方程思想的實質(zhì)就是用聯(lián)系和變化的觀點，描述兩個量之間的依賴關(guān)系，刻畫數(shù)量之間的本質(zhì)特征，在提出數(shù)學(xué)問題時，拋開一些非數(shù)學(xué)特征，抽象出數(shù)量特征，建立明確的函數(shù)關(guān)系，并運用函數(shù)的知識和方法解決問題.有時需要根據(jù)已知量和未知量之間的制約關(guān)系，列出方程(組)，進(jìn)而通過解方程(組)求得未知量.函數(shù)與方程思想是相互聯(lián)系、互為所用的.解析(1)設(shè)f(x)＝ex－x－1，x>0，則f′(x)＝ex－1>0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且f(0)＝0，f(x)>0，∴ex－1>x，即ea－1>a.又y＝ax(0<a<1)在R上是減函數(shù)，得a>ae，從而ea－1>a>ae.答案

(1)B

(2)B探究提高1.第(1)題構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為判定函數(shù)值的大小，利用函數(shù)的單調(diào)性與不等式的性質(zhì)求解.2.函數(shù)方程思想求解方程的根或圖象交點問題(1)應(yīng)用方程思想把函數(shù)圖象交點問題轉(zhuǎn)化為方程根的問題，應(yīng)用函數(shù)思想把方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點問題.(2)含參數(shù)的方程問題一般通過直接構(gòu)造函數(shù)或分離參數(shù)化為函數(shù)解決.若存在x∈[－2，1]，使得f(x2＋x)＋f(x－k)<0成立，則f(x2＋x)<－f(x－k)?f(x2＋x)<f(k－x)?x2＋x<k－x，故問題轉(zhuǎn)化為存在x∈[－2，1]，k>x2＋2x，即k>(x2＋2x)min，當(dāng)x∈[－2，1]時，y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1的最小值為－1.故實數(shù)k的取值范圍是(－1，＋∞).答案

(1)C

(2)A應(yīng)用2函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用【例2】

設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S4＝－2，S5＝0，S6＝3.(1)求數(shù)列{an}的前n項和Sn；(2)求nSn的最小值.解

(1)∵S4＝－2，S5＝0，S6＝3，∴a5＝S5－S4＝2，a6＝S6－S5＝3，又{an}是等差數(shù)列，則公差d＝a6－a5＝1，又f(3)＝－9，f(4)＝－8.∴當(dāng)n＝3時，nSn取到最小值－9.探究提高1.本題完美體現(xiàn)函數(shù)與方程思想的應(yīng)用，第(2)問利用數(shù)列前n項和公式求出nSn，構(gòu)造函數(shù)，運用單調(diào)性求最值.2.數(shù)列的本質(zhì)是定義域為正整數(shù)集或其有限子集的函數(shù)，數(shù)列的通項公式與前n項和公式即為相應(yīng)的解析式，但要注意數(shù)列問題中n的取值為正整數(shù)，涉及的函數(shù)具有離散性特點.【訓(xùn)練2】

設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公比q>0，a1＋a2＝4，a3－a2＝6.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若對任意n∈N*，kan，Sn，－1成等差數(shù)列，求實數(shù)k的值.解

(1)∵a1＋a2＝4，a3－a2＝6，∵q>0，∴q＝3，a1＝1，∴an＝1×3n－1＝3n－1(n∈N*)，故數(shù)列{an}的通項公式為an＝3n－1.由D在AB上知x0＋2kx0＝2，探究提高解析幾何中的最值是高考的熱點，在圓錐曲線的綜合問題中經(jīng)常出現(xiàn)，求解此類問題的一般思路為在深刻認(rèn)識運動變化的過程之中，找準(zhǔn)函數(shù)關(guān)系，將目標(biāo)量表示為一個(或者多個)變量的函數(shù)，然后借助于函數(shù)最值的求法來求解，這是求面積、線段長最值(范圍)問題的基本方法.解

(1)設(shè)動點N(x，y)，A(x0，y0)，因為AB⊥x軸于B，所以B(x0，0)，所以△OPQ面積的最大值為1.類型二數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想.數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用包括以下兩個方面：(1)“以形助數(shù)”，把某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，揭示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；(2)“以數(shù)定形”，把直觀圖形數(shù)量化，使形更加精確.解析(1)在同一坐標(biāo)系中作出三個函數(shù)y＝x2＋1，y＝x＋3，y＝13－x的圖象如圖：由圖可知，在實數(shù)集R上，min{x2＋1，x＋3，13－x}為y＝x＋3上A點下方的射線，拋物線AB之間的部分，線段BC，與直線y＝13－x上點C下方的部分的組合圖.顯然，在區(qū)間[0，＋∞)上，在C點時，y＝min{x2＋1，x＋3，13－x}取得最大值.(2)在同一坐標(biāo)系中作出y＝f(x)和y＝g(x)的圖象如圖所示，由圖象可知當(dāng)x>0時，有4個零點，當(dāng)x≤0時，有2個零點，所以一共有6個零點.答案

(1)C

(2)B探究提高1.第(1)題利用函數(shù)的圖象求最值，避免分段函數(shù)的討論；第(2)題把函數(shù)的零點或方程的根轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點問題，利用幾何直觀求解.2.探究方程解的問題應(yīng)注意兩點：(1)討論方程的解(或函數(shù)的零點)一般可構(gòu)造兩個函數(shù)，使問題轉(zhuǎn)化為討論兩曲線的交點問題.(2)正確作出兩個函數(shù)的圖象是解決此類問題的關(guān)鍵，數(shù)形結(jié)合應(yīng)以快和準(zhǔn)為原則，不要刻意去用數(shù)形結(jié)合.x2＋y2的最小值表示陰影部分(含邊界)中的點到原點O(0，0)的距離的最小值的平方.∴(x2＋y2)min＝|OA|2＝12＋22＝5.答案

(1)B

(2)B探究提高1.平面向量中數(shù)形結(jié)合關(guān)注點：(1)能建系的優(yōu)先根據(jù)目標(biāo)條件建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；(2)重視坐標(biāo)運算、數(shù)量積及有關(guān)幾何意義求解.2.求參數(shù)范圍或解不等式問題經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)的圖象，根據(jù)不等式中量的特點，選擇適當(dāng)?shù)膬蓚€(或多個)函數(shù)，利用兩個函數(shù)圖象的上、下位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系解決問題.(2)因為(a－c)·(b－c)＝0，所以(a－c)⊥(b－c).如圖所示，應(yīng)用3圓錐曲線中的數(shù)形結(jié)合思想【例6】

已知拋物線的方程為x2＝8y，點F是其焦點，點A(－2，4)，在此拋物線上求一點P，使△APF的周長最小，此時點P的坐標(biāo)為________.

解析因為(－2)2<8×4，所以點A(－2，4)在拋物線x2＝8y的內(nèi)部，如圖，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l，過點P作PQ⊥l于點Q，過點A作AB⊥l于點B，連接AQ.則△APF的周長為|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，當(dāng)且僅當(dāng)P，B，A三點共線時，△APF的周長取得最小值，即|AB|＋|AF|.探究提高1.對于幾何圖形中的動態(tài)問題，應(yīng)分析各個變量的變化過程，找出其中的相互關(guān)系求解.2.應(yīng)用幾何意義法解決問題需要熟悉常見的幾何結(jié)構(gòu)的代數(shù)形式，主要有：①比值——可考慮直線的斜率；②二元一次式——可考慮直線的截距；③根式分式——可考慮點到直線的距離；④根式——可考慮兩點間的距離.答案D類型三分類討論思想分類討論思想是當(dāng)問題的對象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時，需對研究的對象按某個標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，然后對每一類分別研究，給出每一類的結(jié)論，最終綜合各類結(jié)果得到整個問題的解答.實質(zhì)上分類討論就是“化整為零，各個擊破，再集零為整”的數(shù)學(xué)思想.解析若a>1，有a2＝4，a－1＝m.探究提高指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性取決于底數(shù)a，因此，當(dāng)?shù)讛?shù)a的大小不確定時，應(yīng)分0<a<1，a>1兩種情況討論.解析(1)當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝2a1－2，解得a1＝2.因為Sn＝2an－2，當(dāng)n≥2時，Sn－1＝2an－1－2，兩式相減得，an＝2an－2an－1，即an＝2an－1，則數(shù)列{an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，則S5－S4＝a5＝25＝32.(2)f(1)＝e0＝1，即f(1)＝1.由f(1)＋f(a)＝2，得f(a)＝1.當(dāng)a≥0時，f(a)＝1＝ea－1，所以a＝1.當(dāng)－1<a<0時，f(a)＝sin(πa2)＝1，

應(yīng)用2由參數(shù)變化引起的分類討論【例8】

設(shè)函數(shù)f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex.(1)若曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線斜率為0，求a；(2)若f(x)在x＝1處取得極小值，求a的取值范圍.解(1)由f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex，得f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex.f′(2)＝(2a－1)e2.(2)由(1)得f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex＝(ax－1)(x－1)ex.當(dāng)x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0.所以f(x)在x＝1處取得極小值.若a≤1，則當(dāng)x∈(0，1)時，ax－1≤x－1<0，所以f′(x)>0.所以1不是f(x)的極小值點.綜上可知，a的取值范圍是(1，＋∞).探究提高

1.若遇到題目中含有參數(shù)的問題，常常結(jié)合參數(shù)的意義及對結(jié)果的影響進(jìn)行分類討論.2.如果參數(shù)有明確的幾何意義，在討論時還應(yīng)適當(dāng)?shù)剡\用數(shù)形結(jié)合思想.注意分類標(biāo)準(zhǔn)要明確統(tǒng)一，做到“不重不漏”.【訓(xùn)練8】

已知函數(shù)f(x)＝mx2－x＋lnx.若在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)存在區(qū)間D，使得該函數(shù)在區(qū)間D上為減函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍為________.即2mx2－x＋1<0在(0，＋∞)上有解.當(dāng)m≤0時顯然成立；

答案

(1)D

(2)A探究提高1.圓錐曲線形狀不確定時，常按橢圓、雙曲線來分類討論，求圓錐曲線的方程時，常按焦點的位置不同來分類討論.2.相關(guān)計算中，涉及圖形問題時，也常按圖形的位置不同、大小差異等來分類討論.解析

(1)不妨設(shè)|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t，其中t>0.若該曲線為橢圓，則有|PF1|＋|PF2|＝6t＝2a，

若該曲線為雙曲線，則有|PF1|－|PF2|＝2t＝2a，類型四轉(zhuǎn)化與化歸思想轉(zhuǎn)化與化歸思想方法適用于在研究、解決數(shù)學(xué)問題時，思維受阻或試圖尋求簡單方法或從一種狀況轉(zhuǎn)化到另一種情形，也就是轉(zhuǎn)化到另一種情境使問題得到解決，這種轉(zhuǎn)化是解決問題的有效策略，同時也是獲取成功的思維方式.答案C探究提高

1.一般問題特殊化，使問題處理變得直接、簡單.特殊問題一般化，可以使我們從宏觀整體的高度把握問題的一般規(guī)律，從而達(dá)到成批處理問題的效果.2.對于某些選擇題、填空題，如果結(jié)論唯一或題目提供的信息暗示答案是一個定值時，可以把題中變化的量用特殊值代替，即可得到答案.解析(1)取特殊數(shù)列{an}，其中an＝n(n∈N*).顯然a1·a8＝8<a4·a5＝20.(2)令a＝4，c＝5，b＝3，則符合題意(取滿足條件的三邊).答案

(1)B

(2)C解析(1)設(shè)y＝f(t)＝(log2x－1)t＋(log2x)2－2log2x＋1，則f(t)是一次函數(shù)，當(dāng)t∈[－2，2]時，f(t)>0恒成立，(2)g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，若g(x)在區(qū)間(t，3)上總為單調(diào)函數(shù)，則①g′(x)≥0在(t，3)上恒成立，或②g′(x)≤0在(t，3)上恒成立.探究提高

1.第(1)題是把關(guān)于x的函數(shù)轉(zhuǎn)化為在[－2，2]內(nèi)關(guān)于t的一次函數(shù)大于0恒成立的問題.在處理多變元的數(shù)學(xué)問題時，我們可以巧妙選取其中的參數(shù)，將其看作是“主元”，而把其它變元看作是參數(shù).2.第(2)題是正與反的轉(zhuǎn)化，由于不為單調(diào)函數(shù)有多種情況，先求出其反面，體現(xiàn)“正難則反”的原則.【訓(xùn)練11】

已知函數(shù)f(x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f′(x)－ax－5，其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).對滿足－1≤a≤1的