常微分方程的一般概念

常微分方程的一般概念第一頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日常微分方程Ordinary(1)

概念、建模DifferentialEquations第二頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日方程

代數(shù)方程—其解為特定常值，如二次方程、三角方程等；函數(shù)方程—其解為“函數(shù)”，如微分方程、積分方程等。第三頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日5.

常微分方程的一般概念

一.兩個(gè)簡單的例子例1求以原點(diǎn)為中心的一切圓所滿足的微分方程。解

圓心在原點(diǎn)的一切圓的直角坐標(biāo)方程(1)第四頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日由于滿足這個(gè)方程的解(函數(shù)(1))有無窮(2)多個(gè)(解族、解集),兩邊同時(shí)對x求導(dǎo)到通解中有一個(gè)任意常數(shù)：又稱為通解,應(yīng)注意第五頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日如求出過(1,0)點(diǎn)的圓,通解的圖像是一族充滿全平滿足所給條件的一個(gè)特解:只要給定條件:面的同心圓——也叫“積分曲線族”；則立即可定出r=1,于是就得到方程(1)第六頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日例2質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn),自某高度下落,設(shè)初速度為,介質(zhì)阻力與速度的平方成正比,建立速度所滿足的微分方程;建立落程所滿足的微分方程;解

第七頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日在給定的初始條件從定解條件一般就可得此微分方程的一個(gè)特解:在不記阻力條件下,因

第八頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日先后積分兩次，得其圖象是一族積分曲線族,也叫方程通解,(注意含兩個(gè)任意常數(shù))。若給了如下定解條件:(也叫初始條件)第九頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日即可方便地確定出于是便得到原方程對應(yīng)初條件的一個(gè)特解:第十頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日二.有關(guān)微分方程的系列概念

微分方程(DifferentialEquations)含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程。其中只含一個(gè)自變量的方程為常微分方程(ordinarydifferentialequations),自變量多余一個(gè)的方程為偏微分方程(partialdifferentialequations)。第十一頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日微分方程的階方程所含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或微分)的最高階數(shù).請見以下各種微分方程：第十二頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日第十三頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日一般形式正規(guī)形式第十四頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日含有

n個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)的解的一般表達(dá)式：微分方程的解

微分方程的通解n

階微分方程(10)的第十五頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日微分方程的特解n階微分方程(10)的不含有任何常數(shù)的一個(gè)確定的

線性微分方程方程的含“未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)”的各項(xiàng)(整體)皆以一次項(xiàng)的形式出現(xiàn);否則為非線性微分方程。第十六頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日

齊次微分方程的不含“未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)”對于正規(guī)方程(11)的項(xiàng)的和為零；否則稱為非齊次

微分方程定解條件微分方程。為確定方程的定條件如:初始條件或邊值條件。一個(gè)特解而設(shè)定或附加的某些特第十七頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日(1)由實(shí)際問題出發(fā),建立未知函數(shù)所滿足的微分方程,并根據(jù)需要附加定解條件；(數(shù)學(xué)建模)

關(guān)于微分方程要研究的問題主要有：(2)研究解的存在性、唯一性；(3)

求微分方程的通解；(4)

求滿足定解條件的微分方程的特解。幾何法分析法代數(shù)法數(shù)值法方法第十八頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日第十九頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日2.微分方程數(shù)學(xué)建模舉例

1.

指數(shù)模型

(

Malthus

模型

)十八世紀(jì)晚期，人類首次關(guān)注人口規(guī)劃問題.指數(shù)模型及Logistic模型在人口、經(jīng)濟(jì)、醫(yī)學(xué)、生態(tài)環(huán)境領(lǐng)域都有很好的應(yīng)用。第二十頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日美國科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，在1790—1860年期間美國人口的相對增長率

k接近一個(gè)常數(shù)：根據(jù)這一點(diǎn)建立的微分方程及定解條件為：第二十一頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日從而得出人口按指數(shù)規(guī)律增加：評價(jià)相對增長率等于常數(shù)這一假設(shè)只在一個(gè)較短的時(shí)間間隔對問題的模擬較好；按指數(shù)模型，人口將無限增長下去,

但這是不可能的。第二十二頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日2.

Logistic

模型(人口增長模型)Malthus模型不符合實(shí)際情況的主要原因在于未考慮“密度制約”或“擁擠效應(yīng)”,以及戰(zhàn)爭、災(zāi)荒、經(jīng)濟(jì)衰退等因素。第二十三頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日經(jīng)過對美國1790—1940年人口狀況的數(shù)據(jù)分析,發(fā)現(xiàn)人口的相對增長率呈線性規(guī)律：(只有1840與1870的預(yù)測與實(shí)際偏離較大)第二十四頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日

Logistic

模型的一般形式或其中環(huán)境的承載量：(這個(gè)方程是由比利時(shí)數(shù)學(xué)家于1830給出的)

Logistic方程的解的定性分析可以用Maple完美作出。第二十五頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日求Logistic方程的解析解分離變量并積分第二十六頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日通解為設(shè)初值條件,則相應(yīng)的特解為由這一特解易見,當(dāng)?shù)诙唔?，共三十六頁，編輯?023年，星期日說明人口(或種群)的數(shù)目隨著時(shí)間的推移,最終將穩(wěn)定在k左右——環(huán)境的承載量。下面這個(gè)例子說明,有時(shí)不完全解方程，也可以定性地研究微分方程解的性態(tài)。第二十八頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日3.宇宙的膨脹模型天文學(xué)家在研究“宇宙膨脹速度到底有多快”時(shí)，建立了一種模型——設(shè)宇宙這個(gè)大球體的半徑，G—宇宙引力常數(shù)—宇宙的質(zhì)量第二十九頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日方程兩邊同乘，得

于是，又可以把上面方程寫為

第三十頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日即：亦即：利用這個(gè)與的關(guān)系式就可確定是如何隨時(shí)間t變化的.第三十一頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日由于仍保持,宇宙但速度將減小,當(dāng)時(shí)膨脹速度減小到;

當(dāng)R增大時(shí),

宇宙在膨脹情況下因此仍在膨脹,第三十二頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日(bigcrunch)第三十三頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日通過解這個(gè)一階方程,得

第三十四頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期日

這個(gè)公式被稱為“扁平宇宙模型”(flatuniversemodel),試問此模型就宇宙膨脹可以給出什么預(yù)言？

微分方程數(shù)學(xué)模型建立之后，可以從理論上研究解的存在唯一性,還可以用