地下水動力學(xué)第二章

地下水動力學(xué)第二章第一頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日第二章地下水流基本微分方程及定解條件教學(xué)目標：準確理解滲流連續(xù)性概念掌握達西定律和質(zhì)量守恒原理的應(yīng)用掌握建立地下水基本微分方程的思想方法幾種典型的地下水流方程的推導(dǎo)

●潛水剖面二維流、平面二維流

●承壓水二維流●三維流邊界條件概化，初始條件確定方法與原則能夠用數(shù)學(xué)模型描述實際問題第二頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日第二章地下水流基本微分方程及定解條件主要內(nèi)容：建立連續(xù)性方程分析含水層與巖石、流體壓縮性關(guān)系建立不同含水層地下水流微分方程討論邊界條件及初始條件用數(shù)學(xué)模型描述實際問題

第三頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日2.1滲流的連續(xù)性方程2.1.1引言

>>因為流體是連續(xù)介質(zhì)，所以流體在運動過程中是連續(xù)充滿著它所據(jù)的空間。流體運動時的這種連續(xù)性，若用數(shù)學(xué)方程式來表示，那就是連續(xù)性方程。連續(xù)性方程是質(zhì)量守恒定律應(yīng)用于流體運動的具體表現(xiàn)形式。

>>在滲流場中，各點的滲流速度的大小、方向都可能不相同。為了反映流體運動中的質(zhì)量守恒，就需要建立以微分方程表達的連續(xù)性方程。

第四頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日2.1.2建立方程的假定條件

>>水是可壓縮的；>>忽略多孔介質(zhì)固體顆粒的壓縮性；>>多孔介質(zhì)骨架在垂直方向上是可壓縮的，但水平方向不可變形；>>為了方便，取直角坐標系的x、y，z軸分別平行于各向異性巖層滲透系數(shù)的主方向。

第五頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日2.1.3滲流連續(xù)性方程水均衡的基本思想：對某一研究對象，流入－流出＝V研究對象可以是大區(qū)域的，也可以是微分單元體大區(qū)域的水均衡計算經(jīng)常用于區(qū)域的水資源評價本課程基于微分單元體做水均衡，推導(dǎo)滲流連續(xù)性方程。連續(xù)性方程就是質(zhì)量守恒方程，也稱為水均衡方程為反映含水層地下水運動的普遍規(guī)律，我們選定在各向異性多孔介質(zhì)中建立地下三維不穩(wěn)定流動連續(xù)性方程。第六頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日X方向流入X方向流出X方向流入流出差圖2-1-1多孔介質(zhì)單元水均衡要素圖假設(shè)：水是可壓縮的，多孔介質(zhì)骨架在垂直方向可壓縮，但在水平方向不可變形。均衡的含義：在t時段內(nèi)從x,y,z三個方向共6個單元界面上流入流出水的凈總質(zhì)量等于單元體內(nèi)儲存量的變化。滲流連續(xù)性方程推導(dǎo)第七頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日X方向流入流出差y方向流入流出差z方向流入流出差單元體內(nèi)地下水質(zhì)量變化量滲流連續(xù)性方程推導(dǎo)第八頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日X方向流入流出差y方向流入流出差z方向流入流出差單元體內(nèi)地下水質(zhì)量變化量地下水連續(xù)性方程第九頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日2.1.4小結(jié)>>連續(xù)性方程是研究地下水運動的基本方程。

>>各種研究地下水運動的微分方程都是根據(jù)連續(xù)性方程為基礎(chǔ)建立起來的。

>>即使有時不直接采用式2-1-1，但建立有關(guān)關(guān)系式時，也必須應(yīng)用能反映質(zhì)量守恒原理的另一種形式的連續(xù)性方程來代替。第十頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日2.2水和多孔介質(zhì)的壓縮性地下水彈性儲存概念取一典型處于平衡狀態(tài)的飽和地層柱體來研究，這里只考慮垂直一維壓密，忽略側(cè)面上粒間力(包括內(nèi)聚力和摩擦力)的作用。含水層上覆巖土體、地表建筑物和大氣壓力等荷載形成的總壓應(yīng)力由粒間應(yīng)力的垂向分量s和孔隙水應(yīng)力p兩者來平衡.

m為單位水平面積中顆粒間接觸面積的水平投影.由于m<<1，令（K.Terzaghi)第十一頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日Terzaghi有效應(yīng)力公式多孔介質(zhì)總應(yīng)力有效應(yīng)力孔隙水應(yīng)力第十二頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日有效應(yīng)力公式分析p減少地下水體積膨脹，從而釋放出部分地下水；p減少地下水對上覆巖土體浮力降低，為維持平衡，這部分力將轉(zhuǎn)嫁到多孔介質(zhì)固體骨架上，增大有效應(yīng)力，壓縮多孔介質(zhì)，結(jié)果使含水層介質(zhì)厚度變薄和空隙率n變小，同時從孔隙中釋放地下水；p減少多孔介質(zhì)固體顆粒也會膨脹,而有效應(yīng)力增大又會影響固體顆粒的變形。綜合起來，這種現(xiàn)象比較復(fù)雜?？紤]到固體顆粒的壓縮性比多孔介質(zhì)要小得多，因此通常忽略多孔介質(zhì)固體顆粒的壓縮性。水壓p減少，將引起以下作用:第十三頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日地下水彈性儲存物理意義：彈性儲存與重力儲存不同；給水機制不同彈性儲存更宜理解為“變形儲存”；彈性儲存這種性質(zhì)不僅承壓含水層具備，層間弱透水層也有彈性儲存彈性儲存：當?shù)叵滤^（水壓）降低(或升高）時，含水層、弱透水層釋放（或儲存）地下水的性質(zhì)第十四頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日水的壓縮方程假定水近似地符合彈性變形，依虎克定律，有

p

為水壓；

V

為水的體積；β為水的體積彈性壓縮(或膨脹)系數(shù)E為體積彈性模量。V隨p增大而減小，即dV/dp<0

積分第十五頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日水的壓縮方程按麥克勞林級數(shù)展開由于很小，且p變化不大，故第十六頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日水的壓縮方程由于V~V0變化不大，故由于第十七頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日多孔介質(zhì)的壓縮方程假定多孔介質(zhì)近似地符合彈性變形，依虎克定律，有

α為巖土的體積彈性壓縮系數(shù)。如果上部荷載不變，則由于骨架部分體積不變第十八頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日如果取出水平面積為1個單位，高度為m的巖土柱體(其體積Vb=m×１)來分析，而且近似認為該柱體不發(fā)生側(cè)向變形,體積的變形直接反映在該柱體的高度m的變化.對此式積分多孔介質(zhì)的壓縮方程第十九頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日推導(dǎo)過程第二十頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日說明本節(jié)假設(shè)：假定多孔介質(zhì)變形符合彈性規(guī)律，對研究含水層釋水時可用；但對研究地面沉降問題時，應(yīng)用有所差異。水的壓縮方程多孔介質(zhì)的壓縮方程第二十一頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日滲流連續(xù)性方程水和多孔介質(zhì)的壓縮方程總水頭和孔隙水壓力關(guān)系本節(jié)：利用達西定律，并綜合上述各式，將滲流連續(xù)性方程轉(zhuǎn)化為以水頭H為因變量的滲流基本微分方程。2.3滲流基本微分方程第二十二頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日（一）化簡可視為多孔介質(zhì)均衡體中固體部分的厚度，且由于固體顆粒部分視為不可壓縮，因此此比值不隨時間t變化。滲流連續(xù)性方程化簡第二十三頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日（一）化簡滲流連續(xù)性方程化簡第二十四頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日（二）化簡方程左端項當滲流滿足達西定律，且取坐標與各向異性主軸方向一致，有由于在一般情況下，水的密度變化很小，可視近似不變，故滲流連續(xù)性方程化簡第二十五頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日（二）化簡方程左端項同理兩邊代入水均衡方程，有滲流連續(xù)性方程化簡第二十六頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日兩邊同除以物理意義：表示在達西流動條件下，單位體積、單位時間的水均衡關(guān)系。且令得到各向異性含水層地下水三維流的基本微分方程第二十七頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日>>它表示在達西流條件下，單位體積、單位時間的水均衡關(guān)系——單位時間內(nèi)流入和流出單位體積含水層的水量差值等于同一時間內(nèi)單位體積含水層彈性釋放(或彈性儲存)的水量。>>通過應(yīng)用達西定律反映了地下水運動中的能量守恒與轉(zhuǎn)化關(guān)系。由此可見，基本微分方程式用數(shù)學(xué)的形式表達了滲流區(qū)中任何一個“局部”都必須滿足質(zhì)量守恒和能量守恒這兩條基本定律。第二十八頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日單位彈性給水度或單位儲水系數(shù)的物理意義

因此，n表示單位空隙介質(zhì)體積中，當水頭下降一個單位時(H=1)，由于水的膨脹而釋放出來的水量（體積）。由(2-2-5)有當取V為1個單位孔隙介質(zhì)中水的體積時，V=1n第二十九頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日單位彈性給水度或單位儲水系數(shù)的物理意義以邊長為1個單位的立方體來研究（底面積＝1）設(shè)該立方體的初始高度和孔隙率分別為m0和n0

當水頭H發(fā)生變化時，空隙介質(zhì)受壓縮使高度和空隙率分別變小為m和n(忽略側(cè)向變形)，

由于空隙介質(zhì)的壓縮所釋放的水量為

第三十頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日單位彈性給水度或單位儲水系數(shù)的物理意義當水頭下降一個單位時，由于空隙介質(zhì)受壓縮（厚度變薄，空隙率變?。?，從單位體積空隙介質(zhì)中所釋放的水量。表示：當水頭下降一個單位時，從單位體積空隙介質(zhì)中釋放的水量（體積）又由于第三十一頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日均質(zhì)含水層，忽略含水介質(zhì)在壓縮過程所引起介質(zhì)滲透性的變化：

各種形式第三十二頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日對于等厚承壓含水層，且屬于平面二維流

Txx和Tyy為主方向的含水層導(dǎo)水系數(shù)(L2/T)；M為承壓含水層厚度(L)；e為承壓含水層的儲水系數(shù)或彈性給水度。其物理意義是：單位水平面積承壓含水層柱體，當水頭下降一個單位時所釋放的水量(無量綱)。

第三十三頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日極坐標下均質(zhì)、等厚、各向同性承壓含水層軸對稱流(徑向流)穩(wěn)定流條件第三十四頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日當存在源匯項時和W分別為三維流和平面二維流的源匯。分別定義為單位體積含水層和單位水平面積含水層柱體中，單位時間內(nèi)產(chǎn)生（為正值）或消耗（為負值）的水量。第三十五頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日總結(jié)各種形式，當存在源匯項時左端加上原形均質(zhì)二度各向異性軸對稱問題各向同性介質(zhì)穩(wěn)定流條件第三十六頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日第三十七頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日2.4潛水流動的布西涅斯克微分方程滲流的垂直分流速度vz遠遠小于水平分流速度vx和vy,可忽略vz,既假定等水頭面是鉛垂面。一、裘布依假定(DupuitAssumption):第三十八頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日裘布依微分方程對于剖面二維流，其中H僅僅隨x而變，與z無關(guān)，即H=H(x,t)。對于單寬流量qx,有第三十九頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日裘布依微分方程應(yīng)用裘布依假定的應(yīng)用:使剖面二維流問題(x,z)降階為水平一維問題近似處理使三維問題(x,y,z)降階為水平二維(x,z)問題處理使?jié)撍孢吔缣幚淼暮唵位?直接近似地在微分方程中處理裘布依假定的局限性:

當潛水面存在垂向補給、排泄或潛水呈不穩(wěn)定流時，即使?jié)撍嫫露群苄。芊褚鲷貌家兰俣ǘ鴮⒌人^面視為鉛垂面則要視條件具體分析第四十頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日二、布西涅斯克(Boussinesq)微分方程假定:研究的潛水流滿足裘布依假定水和骨架不可壓縮（含義：無彈性儲存）=const,s=0潛水層隔水底板水平潛水面上存在水量的交換WW>0，入滲W<0，蒸發(fā)W定義為潛水面處單位水平面積、單位時間的入滲量第四十一頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日布西涅斯克方程推導(dǎo)研究剖面二維流（x-z)均衡單元體：長度為x，寬度為1個單位的含水層柱體均衡V=流入－流出均衡時段tx方向流入流出差z方向流入上邊界－－潛水面邊界下邊界－－隔水邊界V=0x,z方向流入流出差單元體內(nèi)水體積的增量表現(xiàn)為水位在該時段內(nèi)的上升或下降第四十二頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日水均衡方程:布西涅斯克方程推導(dǎo)第四十三頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日注意:d為重力給水度，是在重力作用下單位水平面積的潛水含水層柱體在其潛水面下降或上升單位水頭時釋放或儲存的水量。上述推導(dǎo)運用了裘布依假定，忽略垂向分流速，因此可近似用x代替s.布西涅斯克方程將刻畫潛水面邊界問題簡單化為用W直接表示。布西涅斯克微分方程第四十四頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日線性化布西涅斯克方程第四十五頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日線性化布西涅斯克方程第四十六頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日線性化布西涅斯克方程第四十七頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日2.5地下水流動定解條件及數(shù)學(xué)模型地下水流動控制微分方程潛水二維不穩(wěn)定流動控制方程承壓水二維不穩(wěn)定流動控制方程定解條件邊界條件初始條件第四十八頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日一、定解條件第一類邊界第二類邊界初始條件邊界條件第四十九頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日一、定解條件潛水面邊界三維條件下第五十頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日解析方法數(shù)值方法物理模擬方法滲流槽試驗水電比擬法電網(wǎng)絡(luò)模擬法二、數(shù)學(xué)模型及其解法第五十一頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日小結(jié)2.6.1學(xué)習(xí)要求(1)理解滲流方程的建立過程；(2)了解水及多孔介質(zhì)的壓縮性；(3)理解承壓水運動的基本微分方程的建立過程及其物理意義；(4)理解潛水運動的基本微分方程的建立過程及其物理意義。2.6.2思考題-第二章課后思考題(1)§2.1(＊)式后述：“當?shù)叵滤疄椴环€(wěn)定流時，△m≠0”。為何？(2)深刻理解重力給水度ud和彈性給水度ue的物理意義；ue和單位彈性給水度us的區(qū)別和應(yīng)用。(3)從理論上說，是否可從平面二維(x，y)承壓流微分方程(式2-3-16)推廣獲得三維流微分方程第五十二頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日(4)“已知平面二維(x，y)承壓流微分方程(式2-3-16)此承壓含水層中剖面流微分方程為

試對此作出評論。(5)何謂裘布依假定？為何引出此假定？當潛水面存在垂向補給、排泄或潛水面呈不穩(wěn)定流時，“潛水面坡度很小”的條件下能否引出裘布依假定？第五十三頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日(6)試著比較平面二維(x，y)承壓流微分方程與降維后的平面二維(x，y)潛水流微分方程左右端各項，深刻認識ue和ud的區(qū)別與相似性。(7)請說明方程2-1-1和2-3-7建立的條件及它們的物理意義。第五十四頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期日習(xí)題6-1圖h1h1h2h22.6.3思考題