復(fù)變函數(shù)與積分變換-第二章

復(fù)變函數(shù)與積分變換-第二章第一頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日1.復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第二頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》第三頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》第四頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》導(dǎo)數(shù)的分析定義：第五頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》導(dǎo)數(shù)運算法則復(fù)變函數(shù)的求導(dǎo)法則（以下出現(xiàn)的函數(shù)均假設(shè)可導(dǎo)）：（1）其中為復(fù)常數(shù)；（2）其中為正整數(shù)；（3）；（4）（5）；第六頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》（6）；

（7）是兩個互為反函數(shù)的單值函數(shù)，且..第七頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》2.解析的概念第八頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》第九頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》注解1、“可微”有時也可以稱為“單演”，而“解析”有時也稱為“單值解析”、“全純”、“正則”等；注解2、一個函數(shù)在一個點可導(dǎo)，顯然它在這個點連續(xù)；注解2、解析性與可導(dǎo)性的關(guān)系：在一個點的可導(dǎo)性為一個局部概念，而解析性是一個整體概念；注解：第十頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》注解3、函數(shù)在一個點解析，是指在這個點的某個鄰域內(nèi)可導(dǎo)，因此在這個點可導(dǎo)，反之，在一個點的可導(dǎo)不能得到在這個點解析；注解4、閉區(qū)域上的解析函數(shù)是指在包含這個區(qū)域的一個更大的區(qū)域上解析；注解5、解析性區(qū)域；注解：第十一頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》四則運算法則第十二頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則第十三頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》反函數(shù)求導(dǎo)法則第十四頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》利用這些法則，我們可以計算常數(shù)、多項式以及有理函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其結(jié)果和數(shù)學(xué)分析的結(jié)論基本相同。注解：第十五頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》2.2函數(shù)解析的充要條件第十六頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》Cauchy-Riemann條件：第十七頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》第十八頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》定理3.1的證明（必要性）：第十九頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》定理3.1的證明（充分性）：第二十頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》復(fù)變函數(shù)的解析條件第二十一頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》第二十二頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》注解:和數(shù)學(xué)分析中的結(jié)論不同，此定理表明解析函數(shù)(可導(dǎo)函數(shù))的實部和虛部不是完全獨立的，它們是柯西-黎曼方程的一組解；柯西-黎曼條件是復(fù)變函數(shù)解析的必要條件而非充分條件（見反例）；解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有更簡潔的形式：第二十三頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》反例：u(x,y)、v(x,y)如下：第二十四頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》第二十五頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》第二十六頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》例1討論下列函數(shù)的可導(dǎo)性和解析性：第二十七頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》第二十八頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》第二十九頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》第三十頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》第三十一頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》例2第三十二頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》第三十三頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》第三十四頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》第三十五頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2.3初等函數(shù)

3、指數(shù)函數(shù)4、多值函數(shù)導(dǎo)引：幅角函數(shù)第三十六頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日1.指數(shù)函數(shù)(1)指數(shù)函數(shù)的定義第三十七頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》我們首先把指數(shù)函數(shù)的定義擴(kuò)充到整個復(fù)平面。要求復(fù)變數(shù)z=x+iy的函數(shù)f(z)滿足下列條件：第三十八頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》由解析性，我們利用柯西-黎曼條件，有所以，因此，我們也重新得到歐拉公式：第三十九頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》(2)指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)第四十頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》第四十一頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》第四十二頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》第四十三頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》第四十四頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》yxz-平面uw-平面v第四十五頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》2.三角函數(shù)與雙曲函數(shù)第四十六頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》

由于Euler公式，對任何實數(shù)x，我們有：所以有因此，對任何復(fù)數(shù)z，定義余弦函數(shù)和正弦函數(shù)如下：第四十七頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》三角函數(shù)的基本性質(zhì):則對任何復(fù)數(shù)z，Euler公式也成立：第四十八頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》關(guān)于復(fù)三角函數(shù)，有下面的基本性質(zhì)：1、cosz和sinz是單值函數(shù)；2、cosz是偶函數(shù)，sinz是奇函數(shù):第四十九頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》

3、cosz和sinz是以為周期的周期函數(shù):第五十頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》證明：第五十一頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》注解：由于負(fù)數(shù)可以開平方，所以由此不能得到例如z=2i時，有第五十二頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》6、cosz和sinz在整個復(fù)平面解析，并且有：證明：第五十三頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》7、cosz和sinz在復(fù)平面的零點：cosz在復(fù)平面的零點是，sinz在復(fù)平面的零點是8、同理可以定義其他三角函數(shù)：第五十四頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》9、反正切函數(shù)：由函數(shù)所定義的函數(shù)

w稱為z的反正切函數(shù)，記作由于令，得到第五十五頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》從而所以反正切函數(shù)是多值解析函數(shù)，它的支點是無窮遠(yuǎn)點不是它的支點。第五十六頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》3.對數(shù)函數(shù)和實變量一樣，復(fù)變量的對數(shù)函數(shù)也定義為指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)：第五十七頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》注解、由于對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，而指數(shù)函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，所以對數(shù)函數(shù)必然是多值函數(shù)，事實上。第五十八頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》第五十九頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》對數(shù)函數(shù)的主值：相應(yīng)與幅角函數(shù)的主值，我們定義對數(shù)函數(shù)Lnz的主值lnz為：則這時，有第六十頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》三種對數(shù)函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別：第六十一頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》對數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)第六十二頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》第六十三頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》第六十四頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》第六十五頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》第六十六頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》uvw-平面xz-平面y第六十七頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》對數(shù)函數(shù)的單值化：相應(yīng)與幅角函數(shù)的單值化，我們也可以將對數(shù)函數(shù)單值化：考慮復(fù)平面除去負(fù)實軸（包括0）而得的區(qū)域D。顯然，在D內(nèi)，對數(shù)函數(shù)可以分解為無窮多個單值連續(xù)分支。第六十八頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》沿負(fù)實軸的割線的取值情況：上沿下沿第六十九頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》一般區(qū)域：第七十頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》對數(shù)函數(shù)的單值化：由于對數(shù)函數(shù)的每個單值連續(xù)分支都是解析的，所以我們也將它的連續(xù)分支稱為解析分支。我們也稱對數(shù)函數(shù)是一個無窮多值解析函數(shù)。我們稱原點和無窮遠(yuǎn)點是對數(shù)函數(shù)的無窮階支點（對數(shù)支點）；第七十一頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》特點：1、當(dāng)z繞它們連續(xù)變化一周時，Lnz連續(xù)變化到其它值；2、不論如何沿同一方向變化，永遠(yuǎn)不會回到同一個值。第七十二頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》例1第七十三頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》例2第七十四頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》例3第七十五頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》4.冪函數(shù)利用對數(shù)函數(shù)，可以定義冪函數(shù)：設(shè)a是任何復(fù)數(shù)，則定義z的a次冪函數(shù)為第七十六頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》當(dāng)a為正實數(shù)，且z=0時，還規(guī)定由于因此，對同一個的不同數(shù)值的個數(shù)等于不同數(shù)值的因子個數(shù)。第七十七頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》冪函數(shù)的基本性質(zhì)：第七十八頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》第七十九頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》第八十頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》第八十一頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》第八十二頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》設(shè)在區(qū)域G內(nèi)，我們可以把Lnz分成無窮個解析分支。對于Lnz的一個解析分支，相應(yīng)地有一個單值連續(xù)分支。根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，的這個單值連續(xù)分支在G內(nèi)解析，并且其中應(yīng)當(dāng)理解為對它求導(dǎo)數(shù)的那個分支，lnz應(yīng)當(dāng)理解為對數(shù)函數(shù)相應(yīng)的分支。第八十三頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》對應(yīng)于Lnz在G內(nèi)任一解析分支：當(dāng)a是整數(shù)時，在G內(nèi)有n個解析分支；當(dāng)a是無理數(shù)或虛數(shù)時，冪函數(shù)在G內(nèi)是同一解析函數(shù)；當(dāng)時，在G內(nèi)有無窮多個解析分支，是一個無窮值多值函數(shù)。第八十四頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》例如當(dāng)n是大于1的整數(shù)時，稱為根式函數(shù)，它是的反函數(shù)。當(dāng)時，有這是一個n值函數(shù)。第八十五頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》在復(fù)平面上以負(fù)實軸（包括0）為割線而得的區(qū)域D內(nèi)，它有n個不同的解析分支：它們也可以記作這些分支在負(fù)實軸的上沿與下沿所取的值，與相應(yīng)的連續(xù)分支在該處所取的值一致。第八十六頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》冪函數(shù)的映射性質(zhì):第八十七頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》關(guān)于冪函數(shù)當(dāng)a為正實數(shù)時的映射性質(zhì)，有下面的結(jié)論：設(shè)是一個實數(shù)，并且在z平面上取正實數(shù)軸（包括原點）作為割線，得到一個區(qū)域D*。考慮D*內(nèi)的角形，并取在D*內(nèi)的一個解析分支第八十八頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》當(dāng)z描出A內(nèi)的一條射線時讓從0增加到（不包括0及），那么射線l掃過角形A，而相應(yīng)的射線掃過角形（不包括0），w在w平面描出一條射線

第八十九頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》因此把夾角為

的角形雙射成一個夾角為

的角形，同時，這個函數(shù)把A中以原點為心的圓弧映射成中以原點為心的圓弧。

第九十頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》類似地，我們有，當(dāng)n(>1)是正整數(shù)時，的n個分支分別把區(qū)域D*雙射成w平面的n個角形第九十一頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/18《復(fù)變函數(shù)與積分變換》例1、作出一個含i的區(qū)域，使得函數(shù)在這個區(qū)域內(nèi)可以分解成解析分支；求一個分支在點i個的值。解：我們知道可能的支點為0、1、2與無窮，具體分析見下圖第九十二頁，共一百零二頁，編輯于2023年，星期日2023/6/1