大氣運(yùn)動的穩(wěn)定性

大氣運(yùn)動的穩(wěn)定性第一頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日前一章，我們考慮的是振幅不變、波動的頻率或相速都是實(shí)數(shù)的波動。實(shí)際上更常見的是，大氣中的運(yùn)動或擾動是此消彼長，有的在發(fā)展興旺，有的則趨衰減消亡，永無停息。即波動的振幅常常是不斷變化（發(fā)展或衰減）的

。

實(shí)際大氣中已經(jīng)充分發(fā)展的有限振幅擾動可以看作是疊加在某種基本氣流上的小擾動在一定條件下不穩(wěn)定發(fā)展的結(jié)果。本章將要討論的大氣運(yùn)動的穩(wěn)定性問題。大氣長波（Rossby波）的正壓穩(wěn)定性與斜壓穩(wěn)定性、慣性穩(wěn)定性和對稱穩(wěn)定性等

。第二頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日§8.1運(yùn)動穩(wěn)定性的基本概念

1、運(yùn)動穩(wěn)定性問題要研究的是疊加在給定基本氣流上的小擾動的運(yùn)動趨勢問題。當(dāng)給定的基本氣流受到微小擾動時：（1）擾動將保持其小振幅不變或者趨于衰減消亡。這時，稱基本流對這種擾動是穩(wěn)定的，或者說擾動是穩(wěn)定的。有時稱擾動振幅保持不變的情形為中性或中性穩(wěn)定；（2）擾動將隨時間不斷增長。這時稱擾動是不穩(wěn)定的。2、研究穩(wěn)定性問題的方法

“氣塊法”、“正規(guī)模（NormalMode）法”和“整體方法”等?！罢w方法”包括“能量學(xué)方法”及“李雅譜洛夫方法”。本章將只限于用氣塊法和正規(guī)模法。第三頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日“氣塊法”著眼于考慮一定背景場（介質(zhì)）中的氣塊受擾離開平衡位置后的運(yùn)動趨勢。在某些特定的情況下，例如討論靜力穩(wěn)定度或浮力振動時，采用氣塊法非常簡便明了。在討論大氣波動穩(wěn)定性時，另一種常用方法是所謂的“正規(guī)模方法”或“標(biāo)準(zhǔn)波型法”。即將穩(wěn)定性問題歸結(jié)為微分方程初值問題的解是隨時間增長（不穩(wěn)定）還是趨于定常（穩(wěn)定）的問題。設(shè)微小擾動量q’的單波特解是x方向傳播的波：一般地，頻率和波速可以分別表為：

第四頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日于是,波的振幅A和傳播速度Cr可分別表為:

因此，由于振幅因子的出現(xiàn),波的振幅將有三種可能的變化趨勢:當(dāng)（）時，振幅將隨時間呈指數(shù)增長，稱此為不穩(wěn)定(增長)波。當(dāng)（）時，振幅將隨時間呈指數(shù)衰減,此為穩(wěn)定波的情形。當(dāng)時，振幅將不隨時間變化，屬于中性穩(wěn)定或邊際（marginal）穩(wěn)定的情形。

或稱為不穩(wěn)定波的“增長率”

第五頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日因?yàn)槿绻霈F(xiàn)復(fù)的特征頻率或特征波速，它們通?？偸浅蓪Γù笮∠嗟鹊栂喾矗┏霈F(xiàn)的，所以只要頻率或波速的虛數(shù)部分不為零（,），就總會有一個單波解是隨時間增長的，即波動總會是不穩(wěn)定的。因此，波動的穩(wěn)定性問題就歸結(jié)為波的頻率或波速的虛部是否為零以及在什么條件下不為零的問題。

第六頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日§8.2慣性穩(wěn)定度與對稱穩(wěn)定度

1、慣性穩(wěn)定度

考慮在地轉(zhuǎn)平衡的背景場中,氣塊在水平氣壓梯度力和折向力作用下水平位移的穩(wěn)定性——慣性穩(wěn)定性（度）問題。（1）假定基本氣流為滿足地轉(zhuǎn)平衡、具有水平切變的緯向流：；基本位勢場也只與y(指向北)有關(guān)，即。不計摩擦的影響，則擾動氣塊的水平運(yùn)動方程組可表為：

第七頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日假定氣塊的水平運(yùn)動不改變位勢場的分布，即氣塊的重力位勢與環(huán)境位勢場滿足：則擾動氣塊方程組可改寫為：

水平位移氣塊的慣性穩(wěn)定性

假定氣塊起始（t=0）位于,

其速度為。該氣塊受擾后向北移：第八頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日經(jīng)過時間后，它移動到處，此時，其經(jīng)向位移和緯向速度可分別表為：在處的基本流為：

基本氣流的絕對渦度南北位移的氣塊是受抑制而返回其平衡位置(穩(wěn)定)?還是加速遠(yuǎn)離其平衡位置(不穩(wěn)定)?或是隨遇平衡(中性)?取決于背景場的絕對渦度。第九頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日在北半球,f>0,故慣性穩(wěn)定度的判據(jù)可表為:當(dāng)時，有在北半球,通常有,即大尺度運(yùn)動通常是慣性穩(wěn)定的。但是，在急流軸右側(cè)區(qū)域，有，若氣流水平切變足夠大，以致于負(fù)值相對渦度（）超過了行星渦度時，絕對渦度會出現(xiàn)負(fù)值），即慣性不穩(wěn)定的情形。這時，空氣南北運(yùn)動的發(fā)展將導(dǎo)致水平動量的南北交換（混合），從而使急流右側(cè)的反氣旋式切變減小。所以，急流軸右側(cè)不可能長時間維持很大的反氣旋式切變。急流軸左側(cè)則不同，風(fēng)速水平切變?yōu)闅庑角凶?，即，所以絕對渦度恒為正，即急流軸左側(cè)的區(qū)域總是慣性穩(wěn)定的。

第十頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日2對稱穩(wěn)定度

靜力穩(wěn)定度是氣塊垂直運(yùn)動時的穩(wěn)定性,慣性穩(wěn)定度是氣塊水平運(yùn)動時的穩(wěn)定性。如果大氣既是靜力穩(wěn)定的又是慣性穩(wěn)定的，則它在作垂直運(yùn)動或作水平運(yùn)動時，運(yùn)動都是穩(wěn)定的。但是，當(dāng)氣塊沿傾斜等熵面（位溫為常數(shù)）作傾斜運(yùn)動（既有鉛直運(yùn)動又有水平運(yùn)動）時，其運(yùn)動仍然可能是不穩(wěn)定的，這時的不穩(wěn)定稱為“對稱不穩(wěn)定”。假定：（1）基本狀態(tài)是滿足地轉(zhuǎn)平衡和靜力平衡的無粘絕熱緯向運(yùn)動（與x無關(guān)）?；玖骺杀頌椋海?）運(yùn)動是絕熱的且滿足靜力平衡，即

第十一頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日當(dāng)起始位于

點(diǎn)的氣塊沿等位溫面傾斜上升到點(diǎn)時，基本流可表為：另外，在等熵面上，有

：此即等熵面坡度。

位溫垂橫向（y方向）直剖面第十二頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日因?yàn)?，根?jù)基本態(tài)氣流滿足地轉(zhuǎn)和靜力平衡，由熱成風(fēng)公式（或靜力學(xué)公式）有

故：于是y方向方程：或

在北半球，，上式表明,對稱不穩(wěn)定條件（判據(jù)）可表為：

里查孫數(shù)（Richardson）或第十三頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日顯然，在慣性穩(wěn)定（）和靜力穩(wěn)定（）的條件下，仍然可能滿足對稱不穩(wěn)定判據(jù)，即仍然可以出現(xiàn)對稱不穩(wěn)定現(xiàn)象。而且，小的絕對渦度、強(qiáng)的垂直風(fēng)切變和弱的靜力穩(wěn)定度更有利于出現(xiàn)對稱不穩(wěn)定。有些中尺度系統(tǒng)表現(xiàn)為一種線狀對流系統(tǒng)，如鋒前颮線。其環(huán)流可看成是二維的，其軸線與基本氣流切變矢的方向一致，擾動相對于軸線是對稱的。上述中尺度不穩(wěn)定可能是這類對流系統(tǒng)如颮線或中尺度對流復(fù)合體（MCC）的一種重要激發(fā)機(jī)制。由于這種中尺度環(huán)流的軸對稱性，所以這種不穩(wěn)定稱為“對稱不穩(wěn)定”。（由于在早期的研究中，認(rèn)為這是一種由對稱環(huán)狀渦旋中的徑向擾動所引起的不穩(wěn)定現(xiàn)象，故稱為對稱不穩(wěn)定）

第十四頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日§8.3大氣長波的正壓穩(wěn)定性

1正壓不穩(wěn)定的必要條件-郭曉嵐判據(jù)大氣長波是大尺度運(yùn)動中的主要波動。從波動觀點(diǎn)看，大氣長波的不穩(wěn)定增長是大尺度天氣系統(tǒng)發(fā)生發(fā)展的重要機(jī)制。在無切變的平行基流（）中，大氣長波的頻率（或波速）為實(shí)數(shù)，即波動是穩(wěn)定的。當(dāng)基本氣流存在水平或鉛直切變時，大氣長波則可能出現(xiàn)不穩(wěn)定。

本節(jié)先考慮只有水平切變的基本氣流中的大氣長波的穩(wěn)定性問題，即所謂大氣長波的正壓穩(wěn)定性問題。

假定：（1）基本氣流為只與y有關(guān)緯向流，即（2）擾動為無輻散的純水平運(yùn)動：第十五頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日于是，無摩擦的線性化擾動方程組可表為：由前兩式可得如下擾動渦度方程：

引入擾動流函數(shù):則渦度方程可改寫為

第十六頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日考慮y介于D與-D之間、x方向無界的通道區(qū)域（右圖），邊界條件可表為：當(dāng)設(shè)擾動渦度方程的任一單波解為

代入方程，可得關(guān)于振幅的本征值問題其中：水平通道模式1第十七頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日考慮穩(wěn)定性問題，波速C和振幅函數(shù)都可能是復(fù)數(shù)：其中，C*和*分別為C和的復(fù)共軛，它們也滿足本征值方程：*（1）-（2）得：從積分到并利用邊界條件得

2第十八頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日要有不穩(wěn)定波,須,于是,必須

因恒大于零，則要求在區(qū)間（-D，D）上改變符號，即至少存在一個點(diǎn)，使得

成立，即基本氣流的絕對渦度在區(qū)間（-D，D）上至少存在一個極值點(diǎn)。若在（