新教材數(shù)學(xué)蘇教版課件9322向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

第2課時(shí)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示必備知識(shí)·自主學(xué)習(xí)導(dǎo)思1.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示是什么?2.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示有哪些結(jié)論?1.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示條件向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)坐標(biāo)表示a·b=________文字?jǐn)⑹鰞蓚€(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的_________x1x2+y1y2乘積的和2.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的結(jié)論(1)結(jié)論條件結(jié)論a=(x,y)|a|=__________表示向量a的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2)

=________________

向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)a⊥b?__________x1x2+y1y2=02.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的結(jié)論(1)結(jié)論條件結(jié)論a,b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a與b的夾角cosθ=

=

(2)本質(zhì):平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及其結(jié)論實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算的完全代數(shù)化,并將數(shù)與形緊密結(jié)合起來(lái).(3)應(yīng)用:①求向量的模;②求向量的夾角;③判斷兩個(gè)向量垂直.【思考】已知向量a=

,則與a共線和垂直的單位向量的坐標(biāo)分別是什么?提示:與a共線的單位向量是a0,則a0=±

a=其中正號(hào)、負(fù)號(hào)分別表示與a同向和反向;易知b=

和a=

垂直,所以與a垂直的單位向量b0的坐標(biāo)是【基礎(chǔ)小測(cè)】(1)向量的模等于向量坐標(biāo)的平方和. ()(2)若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a⊥b?x1y2-x2y1=0. ()(3)若兩個(gè)非零向量的夾角θ滿足cosθ<0,則兩向量的夾角θ一定是鈍角. ()提示:(1)×.向量的模等于向量坐標(biāo)的平方和的算術(shù)平方根.(2)×.a⊥b?x1x2+y1y2=0.(3)×.當(dāng)兩個(gè)向量方向相反時(shí),它們的夾角θ=180°滿足cosθ=-1<0.2.若向量a=(-3,m),b=(1,-2),且a⊥b,則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_______.

【解析】因?yàn)閍⊥b,所以a·b=(-3,m)·(1,-2)=-3-2m=0,解得m=-

.答案:-3.(教材二次開(kāi)發(fā):練習(xí)改編)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),a與b的夾角為θ,則cosθ=______.

【解析】cosθ=cos<a,b>==

答案:

關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【題組訓(xùn)練】1.若a=(2,-3),b=(x,2x)且3a·b=4,則x等于 ()B.

D.-32.(2020·西安高一檢測(cè))如圖,在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=

,D,E是線段BC上的點(diǎn),且DE=

BC,則的取值范圍是 ()3.若a=(2,3),b=(-1,-2),c=(2,1),則(a·b)·c=________;a·(b·c)=________.

【解析】1.選C.因?yàn)?a·b=3(2,-3)·(x,2x)=(6,-9)·(x,2x)=6x-18x=-12x=4,所以x=-

.2.選A.如圖所示,以BC所在直線為x軸,以BC的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則A(0,1),B(-1,0),C(1,0),設(shè)D(x,0),則E

據(jù)此有則據(jù)此可知當(dāng)x=-

時(shí),取得最小值

;當(dāng)x=-1或

時(shí)取得最大值

,所以的取值范圍是3.因?yàn)閍·b=2×(-1)+3×(-2)=-8,所以(a·b)·c=-8×(2,1)=(-16,-8).因?yàn)閎·c=(-1)×2+(-2)×1=-4,所以a·(b·c)=(2,3)×(-4)=(-8,-12).答案:(-16,-8)(-8,-12)【解題策略】關(guān)于向量數(shù)量積的運(yùn)算(1)進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算時(shí),要正確使用公式a·b=x1x2+y1y2及向量的坐標(biāo)運(yùn)算,并注意與函數(shù)、方程等知識(shí)的聯(lián)系.(2)向量數(shù)量積的運(yùn)算有兩種思路:一種是基向量法,另一種是坐標(biāo)法,兩者相互補(bǔ)充.如果題目中的圖形是等腰三角形、矩形、正方形等特殊圖形時(shí),一般選擇坐標(biāo)法.【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,則k= ()【解析】選a-b=(4,2)-(-1,k)=(5,2-k),由a·(2a-b)=0,得(2,1)·(5,2-k)=0,所以10+2-k=0,解得k=12.2.已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn),則的最小值是 ()

【解析】選B.以BC所在的直線為x軸,BC的垂直平分線AD為y軸,D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,如圖,可知A(0,

),B(-1,0),C(1,0).設(shè)P(x,y),則所以所以當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為

時(shí),取得最小值為-

.類型二向量模的問(wèn)題(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】已知向量a=(3,5),b=(-2,1).(1)求a-2b的坐標(biāo)及模;(2)若c=a-(a·b)b,求|c|.四步內(nèi)容理解題意條件:a=(3,5),b=(-2,1).(2)若c=a-(a·b)b,結(jié)論:(1)a-2b的坐標(biāo)及模;(2)|c|.思路探求(1)先運(yùn)用線性運(yùn)算求a-2b的坐標(biāo),再用公式求模;(2)先運(yùn)用線性運(yùn)算求c的坐標(biāo),再用公式求模四步內(nèi)容書寫表達(dá)(1)a-2b=(3,5)-2(-2,1)=(7,3),|a-2b|=

(2)a·b=(3,5)·(-2,1)=3×(-2)+5×1=-1,所以c=a-(a·b)b=(3,5)+(-2,1)=(1,6),所以|c|=

①注意向量書寫規(guī)范,向量與坐標(biāo)之間用等號(hào);②注意求模不要忽略根號(hào).題后反思在(a·b)b中,前面的a·b是數(shù)值,(a·b)b相當(dāng)于數(shù)乘運(yùn)算.【解題策略】向量模的問(wèn)題(1)字母表示下的運(yùn)算,利用|a|2=a2將向量模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積的運(yùn)算.(2)坐標(biāo)表示下的運(yùn)算,若a=(x,y),則|a|=

【跟蹤訓(xùn)練】(2020·牡丹江高一檢測(cè))在平行四邊形ABCD中,AC為一條對(duì)角線,=(2,4),=(1,3),則||=________.

【解析】因?yàn)樵谄叫兴倪呅蜛BCD中,AC為一條對(duì)角線,=(2,4),=(1,3),所以 =(1,3)-(2,4)=(-1,-1),所以=(-1,-1)-(2,4)=(-3,-5),則||=

答案:【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知|a|=2

,b=(3,-2),若a∥b,求a+b的坐標(biāo)及|a+b|.【解析】設(shè)a=(x,y),則由|a|=2

,得x2+y2=52.由a∥b,可知2x+3y=0,解方程組得

或所以a=(-6,4)或a=(6,-4),所以a+b=(-3,2)或a+b=(9,-6),所以|a+b|=或|a+b|=類型三向量夾角、垂直問(wèn)題(數(shù)學(xué)運(yùn)算)角度1平面向量的夾角問(wèn)題

【典例】已知a=(1,-1),b=(λ,1),若a與b的夾角θ為鈍角,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.【思路導(dǎo)引】a,b的夾角θ為鈍角等價(jià)于a·b<0且θ≠180°.【解析】因?yàn)閍=(1,-1),b=(λ,1),所以|a|=

,|b|=

a·b=λ-1.因?yàn)閍,b的夾角θ為鈍角,所以即所以λ<1且λ≠-1.所以λ的取值范圍是(-∞,-1)∪(-1,1).【變式探究】將本例條件改為“已知a=(1,2),b=(1,λ),a與b的夾角θ為銳角”,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.【解析】由已知得,a·b=(1,2)·(1,λ)=1+2λ.因?yàn)閍與b的夾角為銳角,所以cosθ>0且cosθ≠1,所以a·b>0且a,b不同向.由a·b>0,得λ>-

,由a與b同向得λ=2.所以實(shí)數(shù)λ的取值范圍為

∪(2,+∞).角度2平面向量的垂直問(wèn)題

【典例】(2020·張家界高一檢測(cè))已知向量a=

,b=

,向量x=ka+b,y=a-3b.(1)求向量x,y的坐標(biāo);(2)若x⊥y,求實(shí)數(shù)k的值.【思路導(dǎo)引】(1)根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得出答案;(2)根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示列方程,解方程得出答案.【解析】(1)因?yàn)閍=

,b=

,所以x=ka+b=k

+

=

y=a-3b=

-3

=

(2)因?yàn)閤⊥y,所以x·y=0,即10

解得k=

.【解題策略】1.利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示求兩向量夾角的步驟(1)求向量的數(shù)量積.利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出這兩個(gè)向量的數(shù)量積.(2)求模.利用|a|=

計(jì)算兩向量的模.(3)求夾角余弦值.由公式cosθ=

求夾角余弦值.(4)求角.由向量夾角的范圍及cosθ求θ的值.2.涉及非零向量a,b垂直問(wèn)題時(shí),一般借助a⊥b?a·b=x1x2+y1y2=0來(lái)解決.【拓展延伸】1.線段垂直的坐標(biāo)關(guān)系設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)是坐標(biāo)平面內(nèi)的三個(gè)點(diǎn),則⊥?(x3-x1)·(x2-x1)+(y3-y1)(y2-y1)=0.2.向量共線的條件由cosθ=

可知,若θ=0°或180°,則cosθ=±1,則有x1x2+y1y2=±

,利用此結(jié)論也可以判斷兩向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)是否共線.【拓展訓(xùn)練】已知A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),則△ABC的形狀是 ()A.直角三角形 B.銳角三角形C.鈍角三角形 D.等邊三角形【解析】選A.由題設(shè)知(0+2)(6+2)+(5-1)(-3-1)=0,所以⊥,所以∠BAC=90°,故△ABC是直角三角形.【題組訓(xùn)練】1.已知向量a=(1,2),b=(-2,3),c=(4,5),若(a+λb)⊥c,則實(shí)數(shù)λ= ()

B.

【解析】選C.因?yàn)閍=(1,2),b=(-2,3),所以a+λb=

又(a+λb)⊥c,所以(a+λb)·c=0,即解得λ=-2.2.(2020·麗水高一檢測(cè))已知向量a=(1,1),b=(-3,4).(1)求

的值;(2)求向量a與a-b夾角的余弦值.【解析】(1)因?yàn)閍-b=(4,-3),所以|a-b|=5;(2)由(1)知a·(a-b)=

=1×4+1×

=1,

=

,|a-b|=5,所以cos<a,a-b>=【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知a=(1,1),b=(0,-2),當(dāng)k為何值時(shí),(1)ka-b與a+2b垂直;(2)ka-b與a+b的夾角為120°.【解析】因?yàn)閍=(1,1),b=(0,-2),ka-b=k(1,1)-(0,-2)=(k,k+2),a+2b=(1,1)+(0,-4)=(1,-3),a+b=(1,1)+(0,-2)=(1,-1).(1)因?yàn)閗a-b與a+2b垂直,所以k-3k-6=0,所以k=-3,即當(dāng)k=-3時(shí),ka-b與a+2b垂直.(2)因?yàn)閨ka-b|=

|a+b|=

(ka-b)·(a+b)=(k,k+2)·(1,-1)=k-k-2=-2,因?yàn)閗a-b與a+b的夾角為120°,所以cos120°=

即

化簡(jiǎn)整理,得k2+2k-2=0,解得k=-1±

.即當(dāng)k=-1±

時(shí),ka-b與a+b的夾角為120°.

備選類型用向量解代數(shù)問(wèn)題(數(shù)學(xué)建模)【典例】求函數(shù)f(x)=

的最大值.【思路導(dǎo)引】觀察此函數(shù)解析式的特征,不難發(fā)現(xiàn)其形式與兩個(gè)坐標(biāo)表示的平面向量的數(shù)量積公式類似,建立向量模型求解.【解析】設(shè)a=(12,5),b=則a·b=

因?yàn)閍=(12,5),b=所以|a|=13,|b|=3,又因?yàn)閨a·b|≤|a||b|,所以|a·b|≤13×3=39,當(dāng)且僅當(dāng)a,b共線時(shí),等號(hào)成立,即 解得x=

當(dāng)x=

時(shí),a·b的最大值為39,即函數(shù)f(x)=

的最大值為39.【解題策略】向量法巧解代數(shù)問(wèn)題向量是代數(shù)和幾何的完美結(jié)合,尤其是解決代數(shù)問(wèn)題時(shí)具有獨(dú)到的優(yōu)勢(shì),解題的關(guān)鍵在于觀察問(wèn)題的結(jié)構(gòu),挖掘代數(shù)結(jié)構(gòu)的向量模型,把原有問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題,再借助向量有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題.【跟蹤訓(xùn)練】已知a,b,m,n∈R,設(shè)(a2+b2)(m2+n2)=(am+bn)2,其中mn≠0,用向量方法求證:【證明】設(shè)c=(a,b),d=(m,n),且它們的夾角為θ(0°≤θ≤180°),則c·d=am+bn,|c|2=a2+b2,|d|2=m2+n2,因?yàn)?a2+b2)(m2+n2)=(am+bn)2,所以|c|2|d|2=(c·d)2,又c·d=|c||d|cosθ,所以cos2θ=

=1,所以cos2θ=1,又0°≤θ≤180°,所以θ=0°或180°,即c∥d,所以an-bm=0,又mn≠0,所以1.設(shè)a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),則(a+2b)·c= ()【解析】選C.因?yàn)閍=(1,-2),b=(-3,4