數(shù)字電路與邏輯設計課件

數(shù)字電路與邏輯設計（脈沖與數(shù)字電路）主講教師：李曉輝第1章緒論數(shù)字電子技術已經(jīng)廣泛應用于通信、電視、計算機、自動控制、電子測量儀表等各個領域。全世界正在經(jīng)歷一場數(shù)字化信息革命：即用0和1數(shù)字編碼來表述和傳輸信息?！皵?shù)字電路邏輯設計”是數(shù)字技術的基礎，是電子信息類各專業(yè)的主要專業(yè)基礎課程之一。1.1

數(shù)字信號模擬量：在時間和數(shù)值上都具有連續(xù)變化特點的物理量如：時間、溫度、壓力、速度模擬信號－－表示模擬量的信號如：正弦變化的交流信號數(shù)字量：在時間上和數(shù)值上均是離散的物理量如：數(shù)字信號－－表示數(shù)字量的信號數(shù)字電路：工作在數(shù)字信號下的電路在數(shù)字電路中，數(shù)字信號常用數(shù)字0和1來表示，稱為邏輯0和邏輯1，也稱為二值邏輯。電位型數(shù)字信號（不歸0型數(shù)字信號）脈沖型數(shù)字信號（歸0型數(shù)字信號）1.2

數(shù)制及其轉換數(shù)制：計數(shù)進位制的簡稱常用的是：十進制十進制數(shù)“0－9”十個數(shù)碼各個數(shù)碼處在不同數(shù)位時，所代表的數(shù)值不同例如：數(shù)碼555“逢十進一”、“借一當十”基數(shù):10位權值：10的冪對于任意一個十進制數(shù)的數(shù)值，按位權展開式:(n位整數(shù)，m位小數(shù))i=

a

·10ii=-m(N

)10·100

++

a

·10-m-mn-1

n-2=

an-1

·10

+

an-2

·10

+

+

a0n-1=

an-1an-2

a0

a-1

a-m推廣到任意進制的計數(shù)制對于一個基數(shù)為R（R≥2）的R進制計數(shù)制，共有0、1、…、（R-1）個不同的數(shù)碼，則一個R進制的數(shù)按位權展開式：i·

Ri=

ai=-m·

R

-m(N

)

Rn-1

n-2

0=

an-1

·

R

+

an-2

·

R

++

a0

·

R

++

a-mn-1=

an-1an-2

a0

a-1

a-m常用計數(shù)制日常生活中：10、12、60進制數(shù)字電路和計算機中：2、8、16進制2.

二進制數(shù)0和1兩個數(shù)碼“逢二進一”、“借一當二”基數(shù)：2位權值：2的冪按位權展開:n-1i=-m例：（1101.01）22

i(N

)

=

a

·

2i3.

八進制和十六進制八進制八個數(shù)碼（0－7）“逢八進一”、“借一當八”基數(shù)：8位權值：8的冪按位權展開式：in-1(N

)

=a

·88

ii=-m十六進制十六個數(shù)碼(A、B、C、D、E、F表示10－15)“逢十六進一”、“借一當十六”基數(shù)：16位權值：16的冪按位權展開式：in-1(N

)16

=

ai

·16i=-m4.

不同進制數(shù)的轉換將R進制數(shù)轉換成十進制數(shù)方法：將R進制數(shù)按位權展開，再按十進制運算規(guī)則運算。例1－1

（11010.011）2例1－2

（137.504）8例1－3

（12AF.B4）16（2）將十進制數(shù)轉換成R進制數(shù)將整數(shù)和小數(shù)部分分別轉換，然后合并。十進制整數(shù)轉換成R進制數(shù)：采用逐次除以基數(shù)R取余數(shù)的方法步驟：①將十進制整數(shù)除以R，余數(shù)作為R進制數(shù)的最低位②將所得的商除以R，余數(shù)作為次低位③重復②，直至商為0，最后的余數(shù)為最高位十進制純小數(shù)轉換成R進制數(shù)：采用將小數(shù)部分逐次乘以R取乘積的整數(shù)部分作為R進制的各有關數(shù)位乘積的小數(shù)部分繼續(xù)乘以R直至最后乘積為0或達到一定的精度為止。整數(shù)部分和小數(shù)部分轉換結果的合并例1－6

（0.375）10→（

）2例1－7

（0.39）10→（

）2，要求精度達到0.1％例1－8

（0.39）10→（ ）8

，要求精度達到0.1％（3）基數(shù)R為2k各進制之間的相互轉換3位二進制數(shù)→1位八進制數(shù)例4位二進制數(shù)→1位十六進制數(shù)例利用八進制數(shù)和十六進制數(shù)與二進制數(shù)之間的關系→八進制數(shù)與十六進制數(shù)之間的關系例1－91.3

二－十進制代碼（BCD代碼：Binary

Coded

Decimal）代碼：利用數(shù)碼來作為某一特定信息的代號二進制代碼：用與二進制數(shù)碼對應的0、1作為代碼的符號二－十進制代碼：采用二進制碼（0、1）表示一個十進制數(shù)（0－9）的代碼1位十進制數(shù)需要4位二進制碼表示有權BCD碼每個二進制數(shù)碼都有確定的位權值例如：8421碼（自然權碼）、2421碼、5121碼等可根據(jù)位權展開求得所代表的十進制數(shù)例：無權BCD碼沒有確定的位權值，不能按位權展開來求它們所代表的十進制數(shù)例：余3碼用BCD代碼表示十進制數(shù)例：1.4

算術運算與邏輯運算算術運算：當兩個二進制數(shù)碼表示數(shù)量大小時，它們可以進行數(shù)值運算，稱這種運算為算術運算。運算法則：與十進制數(shù)的運算法則基本相同，唯一區(qū)別在于相鄰兩位之間的關系是“逢二進一”及“借一當二”。例如：邏輯狀態(tài)：1位二進制數(shù)碼0和1可以表示兩種不同的狀態(tài)在數(shù)字電路中，兩種不同的狀態(tài)稱為邏輯狀態(tài)。例如：邏輯運算：邏輯狀態(tài)之間按照某種邏輯關系的運算1.5

數(shù)字電路數(shù)字電路：對數(shù)字信號進行算術運算和邏輯運算的電路1.7本課程的任務與性質主要介紹基本數(shù)字集成電路的工作原理和主要電氣特性、邏輯代數(shù)基礎、組合邏輯和時序邏輯電路的方法。各章的要求第2章邏輯函數(shù)及其化簡第3章集成邏輯門第4章組合邏輯電路第5章集成觸發(fā)器第6章時序邏輯電路第7章半導體存儲器第8章可編程邏輯器件第9章脈沖單元電路第10章模數(shù)轉換器和數(shù)模轉換器第11章數(shù)字系統(tǒng)設計基礎第2章邏輯函數(shù)及其化簡布爾代數(shù)：1849年，英國數(shù)學家喬治·布爾首先提出了描述客觀事物邏輯關系的數(shù)學方法.開關代數(shù)：1938年，克勞德·香農將布爾代數(shù)應用到繼電器開關電路的設計。邏輯代數(shù)：隨著數(shù)字技術的發(fā)展，布爾代數(shù)成為數(shù)字邏輯電路的分析與設計的基礎。本章主要內容簡單介紹邏輯代數(shù)的基本公式、重要定理、常用公式。介紹邏輯函數(shù)及其表示方法。重點講述：應用邏輯代數(shù)簡化邏輯函數(shù)的方法－－代數(shù)法和卡諾圖法。2.1

邏輯代數(shù)基本邏輯在二值邏輯中，最基本的邏輯：與邏輯、或邏輯、非邏輯。例：與邏輯關系可以得出這樣一種因果關系：只有當決定某一事件（如燈亮）的條件（如開關合上）全部具備時，這一事件（如燈亮）才會發(fā)生。這種因果關系稱為：與邏輯關系或邏輯關系可得因果關系：只要在決定某一事件（如燈亮）的各種條件（如開關合上）中，有一個或幾個條件具備時，這一事件（如燈亮）就會發(fā)生。非邏輯關系可得因果關系：事件（如燈亮）發(fā)生的條件（如開關合上）具備時，事件（如燈亮）不會發(fā)生；反之，事件發(fā)生的條件不具備時，事件發(fā)生。上述三種基本邏輯可用邏輯代數(shù)來描述在邏輯代數(shù)中，用字母A、B、C、P…來表示邏輯變量，如：開關、燈這些邏輯變量在二值邏輯中只有0和1兩種取值，以代表邏輯變量的兩種不同的邏輯狀態(tài)。（表示開關的斷/開，燈的滅/亮）邏輯真值表/真值表用邏輯變量和取值列出表示邏輯關系的圖表用數(shù)學表達式描述：與邏輯稱為：與運算/邏在邏輯代數(shù)中，將與邏輯輯乘或邏輯在邏輯代數(shù)中，將或邏輯稱為：或運算/邏輯加非邏輯無法顯示該圖片。P

=

A

?BP

=

A

+

BP

=

A邏輯符號邏輯門電路：能實現(xiàn)基本邏輯關系的基本單元電路（與門、或門、非門）2.1.2

基本邏輯運算最基本的邏輯運算有三種：邏輯加、邏輯乘、邏輯非

1.邏輯加（或運算）P=A+B意義：A或者B只要有一個為1，則函數(shù)值P就為1表示或邏輯關系，電路上用或門實現(xiàn)或運算運算規(guī)則：0＋0＝00＋1＝11＋0＝11＋1＝1一般形式：A+0=AA+1=1A+A=A邏輯加的運算和二進制加法規(guī)則是不同的2.邏輯乘（與運算）P=A·B意義：只有A和B都為1時，P才為1表示與邏輯關系，電路上用與門實現(xiàn)與運算一般形式：

A·1=AA·0=0A·A=A運算規(guī)則：0·0＝00·1=01·0=01·1=13.邏輯非（非運算）P

=

A意義：函數(shù)值為輸入變量的反表示非邏輯關系，電路上用非門實現(xiàn)與運算運算規(guī)則：0

=

11

=

0一般形式：A

=

AA

+

A

=

1A

?

A

=

04.復合邏輯運算（1）與非邏輯表達式：先“與”運算，再“非”運算真值表：由真值表可見：只要輸入變量中有一個為0，輸出就為1P

=

A

B邏輯符號（2）或非邏輯表達式：先“或”，后“非”真值表：由真值表可見：只有輸入變量全為0，輸出才為1P

=

A

+

B（3）與或非邏輯表達式：順序：A、B“與”，C、D“與”，再“或”，“非”真值表：P

=

A B

+

C

D（4）同或邏輯和異或邏輯同或：A和B的值相同時，P才為1表達式：真值表：P

=

A

⊙

B

=

AB

+

AB運算規(guī)則：0⊙0=10⊙1=01⊙0=01⊙1=1一般形式：A⊙0=

AA⊙1=AA⊙

A

=0A⊙A=1異或：A和B取值相異時，P才為1表達式：真值表：P

=

A

ˉ

B

=

AB

+

AB運算規(guī)則：0

ˉ

0

=

00

ˉ

1

=

11

ˉ

0

=

11

ˉ

1

=

0一般形式：A

ˉ

0

=

AA

ˉ

1

=

AA

ˉ

A

=

1

A

ˉ

A

=

0由上分析可見：同或與異或邏輯正好相反，因此：A⊙B=

A

ˉ

BA

ˉ

B

=

A

?

B同或邏輯稱為：異或非對于兩變量來說，若原變量相同，則取非后的反變量也相同，反之亦然。A⊙B=

A

⊙

BA

ˉ

B

=

A

ˉ

B若A和B相同，則A

必與B相異（A與B相異），反之亦然。A⊙B=

A

ˉ

B

=

A

ˉ

BA

ˉ

B

=

A

⊙B=A⊙

B2.1.3真值表與邏輯函數(shù)開關位置和燈狀態(tài)的關系狀態(tài)表用邏輯代數(shù)來描述：設邏輯變量P表示燈的亮/滅取P=1表示燈亮P=0表示燈滅開關A接到a為1，c為0開關B接到b為1，d為0得邏輯函數(shù)P的真值表真值表的列法：左邊部分：所有輸入信號的全部組合如果有n個輸入變量，則共有2n個組合右邊部分：每種輸入組合下的相應輸出真值表的作用：由真值表可以很方便地寫出輸出變量的函數(shù)表達式兩種表達式：與－或表達式/“積之和”式或－與表達式/“和之積”式寫出與－或表達式的方法：將每個輸出變量P=1的相對應輸入變量組合狀態(tài)以邏輯乘形式表示（用原變量表示變量取值1，用反變量表示變量取值0）再將所有P=1的邏輯乘進行邏輯加例：P

=

AB

+

AB寫出或－與表達式的方法將每個輸出變量P=0的相對應輸入變量組合狀態(tài)以邏輯加形式表示（用原變量表示變量取值0，用反變量表示變量取值1）再將所有P=0的邏輯加進行邏輯乘例：P

=

(

A

+

B)(

A

+

B)例2－1有A、B、C三個輸入信號，當3個輸入信號中有兩個或兩個以上為高電平時，輸

出高電平；其余情況下，均輸出低電平。試列出真值表，并寫出描述該問題的邏

輯函數(shù)表達式。P的“積之和”式：P

=ABC

+ABC

+ABC

+ABCP的“和之積”式P

：=(A

+B

+C)(A

+B

+C

)(A

+B

+C)(A

+B

+C)2.1.4邏輯函數(shù)相等定義：如果函數(shù)F和函數(shù)G的任一組狀態(tài)組合都相同則稱：F和G是等值的/相等的記為：F=G即：如果函數(shù)F=G則它們的真值表相同反過來，如果F和G的真值表相同，則

F=G因此，要證明兩個邏輯函數(shù)相等，只需列出真值表，看是否完全一樣。例2－2設F

(A,B,C)=A(B

+C),G(A,B,C)=AB

+AC試證明：F=G所以：F=G即證明了：A(B

+C)=AB

+ACF和G所具有的邏輯功能完全相同，但邏輯電路的結構形式不同。F

(

A,

B,

C)

=

A(B

+

C),

G(

A,

B,

C)

=

AB

+

AC邏輯代數(shù)中最基本的公式A

ˉ

A

=

0調換律：同或、異或邏輯的特點還表現(xiàn)在變量的調換律同或調換律為：若A⊙B=C則必有:A⊙C=B,

B⊙C=A異或調換律為:若則必有A

ˉ

B

=

CA

ˉ

C

=

B,

B

ˉ

C

=

A由變量調換律，不難證明：可用真值表證明2.1.5三個規(guī)則1代入規(guī)則任何一個含有變量A的等式，如果將所有出現(xiàn)變量A的地方都代之以一個邏輯函數(shù)F，則等式仍然成立因為邏輯函數(shù)和邏輯變量一樣，只有兩種可能的取值（0和1）所以代入規(guī)則是正確的。作用：可將基本等式中的變量用某一邏輯函數(shù)來替代，從而擴大了等式的應用范圍。例2－3 已知等式A(B+E)=AB+AE，試證明將所有出現(xiàn)E的地方代之以(C+D)，等式仍成立。注意：所有出現(xiàn)被代替變量的地方都代之以同一函數(shù)2反演規(guī)則/互補規(guī)則/德·摩根定理將邏輯函數(shù)F中所有的??

＋0

?

1原變量?反變量可得原變量F的反變量F或稱為：補函數(shù)意義：運用反演規(guī)則可以較方便地求出反函數(shù)例2－4/例2－5注意：運算符號的先后順序3.對偶規(guī)則將邏輯函數(shù)F中所有的??

＋0

?

1可得原變量F的對偶式F

*例如：注意：F的對偶式和F的反函數(shù)是不同的，求對偶式時不需要將原變量和反變量互換。注意：運算符號的先后順序如果函數(shù)F=G，則F*=G*例如：F=A(B+C)

G=AB+AC由式（2－1－35），可知F=G根據(jù)對偶規(guī)則，有F*=A+BC

G*=(A+B)(A+C)由式（2－1－35’），可知:

F*=G*本節(jié)式（2－1－25）～式（2－1－42）與式（2－1－25’）～式（2－1－42’）互為對偶式。因此，這些公式只需記憶一半即可。2.1.6常用公式1.AB

+

AB

=

A證明：稱為：吸收律意義：如果兩個乘積項，除了公有因子（如A）外，不同因子恰好互補(如B和B則這兩個乘積項可合并為一個由公有因子組成的乘積項根據(jù)對偶規(guī)則，有：

(

A

+

B) (

A

+

B

)

=

A2.A

+

AB

=

A證明：意義：如果兩個乘積項，其中一個乘積項的部分因子（如AB中的A）恰好是另一個乘積項（如A）的全部，則該乘積項（AB）是多余的根據(jù)對偶規(guī)則，有：A(A

+B)=A3.A

+

AB

=

A

+

B證明：意義：如果兩個乘積項，其中一個乘積項（如AB）的部分因子（如A）恰好是另一個乘積項的補（如A），則該乘積項（AB）中的這部分因子（A）是多余的。根據(jù)對偶規(guī)則，有：A(A

+B)=AB證明：推論：4.AB

+

AC

+

BC

=

AB

+

ACAB

+

AC

+

BCDE

=

AB

+

AC意義:如果兩個乘積項中的部分因子恰好互補（如AB和AC中的A和A）而這兩個乘積項中的其余因子（如B和C）都是第三乘積項中的因子，則這個第三乘積項是多余的。根據(jù)對偶規(guī)則，有：(

A

+

B)(

A

+

C)(B

+

C)

=

(

A

+

B)(

A

+

C)5.AB

+

AC

=

(

A

+

C)(

A

+

B)證明：根據(jù)對偶規(guī)則，有：(

A

+

B)(

A

+

C)

=

AC

+

AB稱為：交叉互換律意義:如果兩個乘積項中的部分因子互補，則可交叉互換組成兩個和項的乘積2.1.7邏輯函數(shù)的標準形式1.最小項表達式邏輯函數(shù)的表達式不是唯一的如：相同點：都是與－或表達式不同點：下式中每一個乘積項都包含了全部輸入變量，每個輸入變量或以原變量形式或以反變量形式在乘積項中出現(xiàn)，并且僅僅出現(xiàn)一次。這種包含了全部輸入變量的乘積項稱為：最小項為什么稱為：最小項？這是由于包含了全部輸入變量的乘積項，只有一組變量取值才能使該乘積項的值為1，其余任何變量的取值都使該乘積項的值為0。即：包含了全部輸入變量的乘積項等于“1”的機會最小。例如：全部由最小項相加而構成的與－或表達式稱為：最小項表達式標準與－或式標準積之和式對于包含n個變量的函數(shù)，n個變量共有2n個不同取值組合，所以有2n個最小項。例如：為了便于敘述和使用函數(shù)最小項表達式，可以對最小項編號如何對最小項編號？給每個變量賦予一個二進制的位權值2i根據(jù)各個變量的位權值，從變量取值求出對應的十進制號碼。記為：mi例如：因此，函數(shù)的最小項表達式書寫起來將十分方便例如：任何一個函數(shù)都可以變換成最小項表達式通常采用的方法是：將非標準與－或式中的每一個乘積項，利用A

=AB

+AB的關系將所缺的變量逐步補齊，展開成最小項表達式例補充：由真值表求最小項表達式例：如果函數(shù)表達式不是一個簡單的與－或式則首先將其變換成與－或表達式，再展開成最小項表達式。2.最大項表達式又稱為：標準或－與式標準和之積式最大項：包含全部變量的和項，每個變量僅出現(xiàn)一次（原變量或反變量）。例如：為什么稱為：最大項？這是由于包含了全部輸入變量的和項，只有一組變量取值才能使該和項的值為0，其余任何變量的取值都使該和項的值為1。即：包含了全部輸入變量的和項等于“1”的機會最大。例如：n個變量的函數(shù)，共有2n個最大項。只有一組變量取值使其為0，而對于其余(2n-1)組變量取值均使最大項為1如：3變量的最大項為了便于敘述和使用函數(shù)最大項表達式可以對最大項編號，記為：Mi如何對最大項編號？給每個變量賦予一個二進制的位權值2i根據(jù)各個變量的位權值，從變量取值求出對應的十進制號碼。例如：因此，函數(shù)的最大項表達式書寫起來將十分方便。例如：任何一個函數(shù)都可以變換成最大項表達式通常采用的方法是：將非標準或－與式中的每一個和項，將所缺的變量逐步補齊，展開成最大項表達式如果函數(shù)表達式不是一個簡單的或－與式則首先將其變換成或－與表達式，再展開成最大項表達式例如：補充：由真值表求最大項表達式例如：2.2

邏輯函數(shù)的簡化本章主要介紹：如何將一個函數(shù)表達式簡化成最簡與－或式最簡與－或式：首先，乘積項的個數(shù)最少。其次，每個乘積項中包含的變量數(shù)最少。根據(jù)對偶關系求得最簡或－與式簡化方法：公式法；圖解法（卡諾圖法）2.2.1

公式法（代數(shù)法）運用邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式化簡邏輯函數(shù)1.合并項法：2.吸收法：3.消去法：4.配項法：利用公式AB

+AB

=AA

+

AB=

A;

AB

+

AC

+

BC

=

AB

+

ACA

+

AB=

A

+

B將乘積項?(A

+A);AB

+AC

=AB

+AC

+BC對于“或－與”式，利用各公式的對偶式進行化簡例2－13或者：（1）先求“或－與”式的對偶“與－或”式（2）對對偶“與－或”式進行化簡（3）再求化簡后的“與－或”式的對偶式例如：2.2.2

圖解法（卡諾圖法）1.什么是卡諾圖卡諾圖：將真值表轉換成方格圖的形式,變量的取值組合按循環(huán)碼的規(guī)律來排列?？ㄖZ圖法：利用卡諾圖對邏輯函數(shù)進行化簡真值表→卡諾圖的方法：將變量分成兩組，每一組變量取值組合按循環(huán)碼的規(guī)律排列。例如循環(huán)碼：相鄰兩組之間只有一個變量值不同的編碼。（包括首尾兩組）循環(huán)碼的排列規(guī)律卡諾圖的一般形式3變量真值表3變量卡諾圖共有23＝8個小方格每個小方格對應真值表中一組取值組合因此，每個小方格相當于真值表中的一個最小項可見：卡諾圖與真值表只是形式不同而已4變量卡諾圖2.用卡諾圖表示邏輯函數(shù)的方法由于任意一個n變量的邏輯函數(shù)→2n個最小項表達式而n變量卡諾圖→包含了所有2n個最小項所以，n變量卡諾圖可以表示n變量的任意一個邏輯函數(shù)例如：填“1”的小方格稱為1格/填“0”的小方格稱為0格1格的含義：當函數(shù)的變量取值與該小方格代表的最小項相同時，函數(shù)值為1。對于非標準的邏輯函數(shù)表達式：（1）變換成最小項表達式再填圖例如：（2）直接觀察法：在邏輯函數(shù)與－或式中，乘積項中只要有一個變量因子的值為0，該乘積項為0。當乘積項的所有變量因子值全為1，該乘積項才為1。如果乘積項沒有包含全部變量，只要現(xiàn)有變量因子能滿足使該乘積項為1的條件，該乘積項即為1。例如：3.利用卡諾圖合并最小項的規(guī)律AB

+

AB

=

A公式表明：如果一個變量分別以原變量和反變量的形式出現(xiàn)在兩個乘積項中，而這兩個乘積項的其余部分完全相同，則，這兩個乘積項可以合并為一項，它由相同部分的變量組成。由于卡諾圖變量取值組合按循環(huán)碼的規(guī)律排列，使處在相鄰位置的最小項都只有一個變量取值不同，因此，凡是在卡諾圖中處于相鄰位置的最小項均可以合并。合并項由沒有變化的那些變量組成例如：兩個相鄰1格的合并根據(jù)公式：在卡諾圖上：把能合并的兩項圈在一起，合并項由圈內沒有0、1變化的那些變量組成。兩個相鄰1格圈在一起，只有一個變量出現(xiàn)了變化，因此，合并項由（n-1）個變量組成（n=3）。4個相鄰1格的合并4個相鄰1格圈在一起，可以合并為一項。圈內有兩個變量有變化，因此合并項由(n-2)個變量組成(n=3)。注意：首尾相鄰1格，四角的相鄰1格。4變量函數(shù)4個相鄰1格的合并合并項由(n-2)個變量組成(n=4)4變量函數(shù)8個相鄰1格的合并合并項由(4-3)個變量組成由此可見：在卡諾圖中合并最小項，就是將圖中相鄰1格加圈標志，每個圈內必須包含2i個相鄰1格。在n變量的卡諾圖中，2i個相鄰1格圈在一起時，圈內有i個含有0、1的變化，合并后乘積項由(n-i)個沒有0、1變化的變量組成。對于5變量以上的卡諾圖4.利用卡諾