考點數(shù)列求和及綜合應(yīng)用

4.（2011·浙江高考文科·Ｔ17）若數(shù)列n(n4)(2)n中的最大項是第k項，則k akak【思路點撥】可由不等式組a 解得 k

a

2k(k4)3

2k(k1)(k5)3 k 【精講精析】設(shè)最大項為第k項，則由不等式組a 得

k k

k(k4)2(k1)(k3)2k(k4)(k1)(k5)

33

k

101,故k4k(k4) (k1)(k ·5.（2011高考理科·Ｔ18）在數(shù)1和100之間插入n個實數(shù)，使得這n+2個數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列·將這n+2TnanlgTnn 設(shè)bntan

前n項和，及兩角差的正切等基本知識.（Ⅰ）設(shè)這n+2cn，則c11cn21001qn1100，q100n1，又Tc

1qq2 qn1

所以an

Tn

lg100

n

n（Ⅱ）由題意和（Ⅰ）tan1tan(k1)k

tan(k1)tank,1tan(k1)tank tan(k1)tanktan(k1)tank Sn bk tan(k1)tan (tan(k1)tank

tan(n3)tan3n.6.（2011·江蘇高考·Ｔ20）M{an}的首項a11nSnkM，n>kSnkSnk2(SnSk（1）

a22a5M=｛3，4， （2）SnkSnk2(SnSk【精講精析】(1)由題設(shè)知，當(dāng)n2Sn1Sn12(SnS1即(Sn1SnSnSn1)2S1an1an2a12，又a22，n2ana22(n2)2n2a5.(2)kM3,4nkSnk

2(SnSkSn1k

2(Sn1Sk)兩式相減得an1kan1k2an1，即an1kan1an1an1k，所以當(dāng)n8an6an3anan3an6an6an2an2an6n82anan3an3an6an2an2an6an6

()n82anan2an2an2ananan2，于是，n9an3an1an1an3成等差數(shù)列，an3an3an1an1，故由(式知2anan1an1an1ananan1，當(dāng)n9時，danan1，當(dāng)2m8m68，從而由(式知2am6amam12，故2am7am1am13從而2(am7am6am1amam13am12am1am2dddan1andn2SnkSnk2Sn2Sk（k3,4可知(SnkSnSnSnk)2Sk故9d

且16d2S.解得a7da3da1d 因此，數(shù)列an為等差數(shù)列，由a11知d2，所以數(shù)列an的通項 為an2n1. 高考理科·Ｔ17）等比數(shù)列a的各項均為正數(shù)，且

1,a29aan

2（Ⅱ）

log3 log3 ...log3 n

【思路點撥】第（Ⅰ）問可由2a3a1a29aaa和公比qa 2 1b .第（Ⅱ）問中，需先利用對數(shù)的性質(zhì)化簡bn，再用裂項相消的方法求數(shù)列bn

的前n（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a}q，由a29aa得a29a2q21 2 a0q1.由2a3a1得2a3aq1，所以a1 1故數(shù)列{an}的通 為an=(3)（Ⅱ）bnlog3a1log3a2...log3(12...n(n2故1

2(1 1 n(n

n1.1所以數(shù)列 }的前n項和為1

n1 高考文科·Ｔ17）已知等比數(shù)列{an}中，a13

，公比q 3Sn為

}的前n

S1an 設(shè)bnlog3a1log3a2log3an，求數(shù)列{bn}的通 和求 求出利用對數(shù)的性質(zhì)化簡bn，即得{bn}的通

an

1an211n 111

13

1 1- （1）an3

()

，Sn

1- 3

1an2（2）bnlog3a1log3a2log3=-(1+2+3+...+n)=

n(n+ 數(shù)列的通 為b

n(n+ n 文科·T20）b>0，數(shù)列ana1=b,n

n

證明：對于一切正整數(shù)n，2an （1）n11n1n11n11 b

1

b

1求得{n1}的通 ，進而求出{an}的通 1（1）n11n1（n2），當(dāng)b1n11n11 b

1

b

1即數(shù)列{n1}是以11 為首項，以1為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項 1

1 得：n1 (1)n1 ，解得a

(1b)nbn 1

b(1b)

(1

1當(dāng)b1nn11n1an1

(b. (1

(b0且b1

2nbn(bbn

n

bn)b bnb bn(bn1bn1

bbbn(22 2nbn2an

2nbn(bbn

1

nb=1bn+1+1=2=2ann綜上所述2abn1n方法二：由（1）及題設(shè)知:當(dāng)b1bn1+1=2=2an1 1k1 1

1當(dāng)b0且b1

，而n (1 n n1n1b)

()n1()n2()1( k1 b

1

11 ( （）2

b

b2an2b

，又bn11

2

，2anbn11n2anbn11a10.（2011 高考理科·Ｔ20）設(shè)b0數(shù)列a滿足a=baa

(n2).n n,an2n11

2n【思路點撥（1）bn2n11n12n11)

2

b

化為等比數(shù)列，求得n1的通 ，進而求出{an}的通 2b （1）anan1(2n2)annban1anan1bn2n11 當(dāng)b2

n12n11)（n2）

n1，則

2

2

2 c111 為首項，q2為公比的等比數(shù)列.由等比數(shù)列通項 2 b(2 (2)n1 n1 b(2b)

bn(2b)

bn(2(2從而an 2n 當(dāng)b2nn11，即{n1n

2

a

(bn綜上所述

(2

(b0且b2nn（?。?}是以n

12

n1n111na2n n（ⅱ）當(dāng)b2a1ba2b2

b2

，a3b22b4

，b3an

bn

n1nkak

bk(k1)b (k1)bkbk(b (k1)bk1(bak1 k ka kbk(b2)2k(bk2kk

bk12knk1nN*an

bn a

(bn綜上所述

(2

(b0且b2n

（ⅰ）b2n（ⅱ）當(dāng)b2b2nb2n

a2 1，故b2 2n1bnb2nb2n12b2b2n

2n1bnb2n,bn12n1bn12b2n

2n1bnnbn12n1bnbn12n1bn12n1

b22n122nn2n1bnn2n1bn(b [(b2nb2n12 b22n122n)bn2n](ban

2n1(bn2n)

2n1(bn2n(b2nb2n12 b22n122n)(b2)bn2n(b2)2n1(bn2n)(b2n122n1)bn12nbn2n1(bn2n(b2n1bn12n)(bn2n122n12n1(bn2n

bn1．故當(dāng)b2 （ⅰ（ⅱ）

方法二：由（1）及題設(shè)知:當(dāng)b22n112anb=2nnkk

n1 2n

2

1n2nkbk

n

1當(dāng)b0且b2

k

k n n(2n

nbk

nbk1 1n

(2)n1(2)n2

(2

2(2)1 (2)1

n()(n1)(n2)10()2nk

1

12

b

b ()2

()

，即an2()

， 1

2() b 2

ban2n11b32第二行649832第二行6498 若數(shù)列bba1)nlna，求數(shù)列bn 【思路點撥（Ⅰ）由題意易知a12,a26,a318.由等比數(shù)列的通 寫出數(shù)列的通 （Ⅰ）

2,

6,

18qa2a33n通 為a23n1n

（Ⅱ）ba1nlna2×3n1(1)nln(2×3n1)2×3n1(1)n[ln2(n1)ln n2k(kN*Snb12(13 32k1){1(23) [(2k2)(2k1)]}ln 1 kln33 1 b2kn2k1(kN*Snb1b2k2(13 32k2){(12) [(2k3)(2k2)]}ln3ln132k

n

1

(k1)ln3ln

ln3ln23n1nln

Sn

3n1n2

326498326498 若數(shù)列b滿足：b=a(1)nlna，求數(shù)列b的前2n項和

a12,a26,a318.由等比數(shù)列的通 （Ⅰ）a12a26a318,因為an3,所以數(shù)列ann通項a23n1n（Ⅱ）b=a(1)nln

=23n1(1)n[ln2(n1)ln =23n1(1)nln2(1)n(n1)ln3 (230231232 232n1)[(1)1(1)2 (1)2n]ln2[(1)10(1)21(1)32 (1)2n(2n1)]ln2(132n) 1

(111 11)ln2[01 3

=9n1+0ln2nln39n1nln313.（2011·遼寧高考理科·Ｔ17）已知等差數(shù)列{ana2=0，a6+a8 求數(shù)列ann2n1 （Ⅱ）

a1d

a1

的通項

an2

2a112d

d（Ⅱ）設(shè)數(shù)列

的前nSS

a2

S2n1

Sna1a2an.所以，當(dāng)n＞1Sn

a2a1anan1-

2=1(11 1)2n=1(1

1)2n=

S=

2

綜上，數(shù)列an的前nS=n2n1

高考理科·T20）若數(shù)列Ana1a2an(n2ak1AnESAna1a2ana1a50，且S(A5)>0E數(shù)列A5

a112，n=2000，證明：EAnann（n≥20EAnSAn=0？如果存在，寫出EAn；如果不存在，說明理由.（Ⅱ）（Ⅲ）必要性：因為E數(shù)列An是遞增數(shù)列，所以ak1ak1(k1,2, ,1999).所以An是首項為12，公差為1的等差數(shù)列.所以a200012(20001)12011.充分性：由于a2000a19991，a1999a19981，…，a2a11，a2000a11999a2000a11999a112a20002011a2000a11999故ak1ak10(k1,2, 令kk1k(k,,, ,n)，則k1.因為a2a1c1,a3a1c1c2，…，ana1c1c2 cn11[(1c1)(n1)(11[(1c1)(n1)(1c2)(n2) (1(1n(n1)[(1c)(n1)(1c(1

因為ck1，所以1ck為偶數(shù)(k1, ,n1)所以(1c1)(n1)(1c2)(n2) (1cn1)為偶數(shù)n(n所以要使S(An)0，必須 為偶數(shù)4n(n1n4mn4m1(mN*)當(dāng)n4m(mN*)時，E數(shù)列A的項滿足

0,

1(k1 ma10,S(An)0

當(dāng)n=4m+1(mN*)時，E數(shù)列A的項滿足

0,

1(k1 ma10,S(An)0

n=4m+2n=4m+3(mN*時，n(n-14EAa0SA0 高考文科·T20）Ana1a2,an(n2ak1AnESAna1a2an

a1aa50S(A5)>0E數(shù)列A5a112，n=2000，證明：EAnana14EAnSAn0n（Ⅱ）（Ⅲ）0n必要性：因為E數(shù)列An是遞增數(shù)列，所以ak1ak1(k1,2, ,1999).所以An是首項為12，公差為1的等差數(shù)列.所以a200012(20001)12011.充分性：由于a2000a19991，a1999a19981，…，a2a11，a2000a11999a2000a11999a112a20002011a2000a11999故ak1ak10(k1, 對首項為4的E數(shù)列n由于211,321 所以12 k0(k,, ,).4EAnSAn0n9.a14EAn：4，3，2，1，0，-1，-2，-3，-4SAn0，n9.16.（2011·湖南高考文科T20）某企業(yè)在第1年初一臺價值為120萬元的設(shè)備M，M的價值在使用n年初Mana1a2An

（I）當(dāng)n6時，數(shù)列{an}120，公差為