2023藝術(shù)生新高考數(shù)學(xué)講義 第17講 數(shù)列求和（學(xué)生版+解析版）

第17講數(shù)列求和

【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】

求數(shù)列前”項(xiàng)和的常見方法如下：

（1）公式法：對(duì)于等差、等比數(shù)列，直接利用前"項(xiàng)和公式.

（2）錯(cuò)位相減法：數(shù)列的通項(xiàng)公式為可也,或蟲的形式，其中｛〃“｝為等差數(shù)列，｛包｝為等比數(shù)列.

bn

（3）分組求和法：數(shù)列的通項(xiàng)公式為4+”的形式，其中｛“"｝和｛2｝滿足不同的求和公式.常見于｛4｝

為等差數(shù)列，｛2｝為等比數(shù)列或者｛凡｝與｛〃｝分別是數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)，并滿足不同的規(guī)律.

（4）裂項(xiàng)相消法：將數(shù)列恒等變形為連續(xù)兩項(xiàng)或相隔若干項(xiàng)之差的形式，進(jìn)行消項(xiàng).

（5）倒序相加：應(yīng)用于等差數(shù)列或轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的數(shù)列求和.

【典型例題】

1

例1.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式％=，它的前〃項(xiàng)和S“=9,則〃=（)

A.9B.10C.99D.100

例2.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在公差大于0的等差數(shù)列｛4｝中，2%-%3=1，且4，%T，4+5

成等比數(shù)列，則數(shù)列[（-1）"'。"｝的前21項(xiàng)和為（）

A.12B.21C.11D.31

例3.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛詼｝滿足:atl+\=an-an-\（論2,ai=l,02=2,S”為數(shù)

列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和,則S202]=（）

A.3B.2C.1D.0

、111

例4.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和為？=3,S4=10,貝”三+不+…+不二

例5.（2021?全國(guó)?高三專題練習(xí)）己知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和S,=2"+2_4（〃eN.）,函數(shù)/*）對(duì)一切實(shí)數(shù)x

總有/(x)+/(l-x)=l,數(shù)列｛2｝滿足bn=/(0)+/(-!-)+/(-)+.??+〃生口)+/⑴.分別求數(shù)列｛《｝、也｝的

nnn

通項(xiàng)公式.

例6.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知｛4｝為等差數(shù)列，｛"｝為等比數(shù)列，且滿足

4=1,々=2,4=4(4-回=4(63-62).

（1）求｛q｝和色｝的通項(xiàng)公式；

（2）對(duì)任意的正整數(shù)n,設(shè)%=a?h,t,求數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和5,1.

例7.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S“，q=l,a“+i=2S“+l.

（1）求4,s,；

（2）設(shè)々尸內(nèi)—，數(shù)列圾｝的前"項(xiàng)和為證明：

例8.（2021?福建?永安市第三中學(xué)高中校高三期中）已知數(shù)列｛4｝是前〃項(xiàng)和為5“=2向-2

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）令2=q,+log24，求數(shù)列｛〃｝的前"項(xiàng)和7；.

【技能提升訓(xùn)練】

一、單選題

1.（2021?全國(guó)?高三專題練習(xí)（文））已知函數(shù)/（x）=（x-iy+l,利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列的前"項(xiàng)和

的公式的方法，可求得f（—5）+/（T）+…+/（0）+…+/（6）+/（7）（）.

25

A.25B.26C.13D.—

2

2.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)y=/（x）滿足+x）=l,若數(shù)列｛4｝滿足

4=f（o）+/（：）+/（：］+???+j（F）+/a），則數(shù)列｛〃〃｝的前20項(xiàng)和為（）

A.100B.105C.110D.115

3.(2020?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃x)=x+sinG-3,則

《康卜(嘉W募卜??+《端)的值為

A.4033B.-4033

C.8066D.-8066

4.(2021?全國(guó)?高三專題練習(xí)(文))已知等比數(shù)列｛m｝的前〃項(xiàng)和為S“若&=7,56=63,則數(shù)列｛〃斯｝

的前n項(xiàng)和為()

A.-3+(/7+1)x2"B.3+(〃+1)x2”

C.1+(〃+1)x2"D.1+(〃-1)x2"

5.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))化簡(jiǎn)5.=〃+(〃-1)*2+(〃-2?22+—+2、2"2+2"-1的結(jié)果是()

A.2'向+〃一2B.2向一〃+2

C.2"-n-2D.2n+1-?-2

6.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）根據(jù)預(yù)測(cè)，某地第〃（〃€乂*）個(gè)月共享單車的投放量和損失量分別為耳和

5/t4+151<?<3

"（單位：輛）,其中7。〃+47匣“'”…，則該地第4個(gè)月底的共享單車的保有量為（）

A.421B.451C.439D.935

二、填空題

7.（2022?上海?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛/｝滿足必+321+33%+…+3"a"=〃（〃eN,）,則數(shù)列

]

>的前〃項(xiàng)和S“為

log3a?-log3an+1

8.（2022.江蘇.高三專題練習(xí)）已知數(shù)列a｝的通項(xiàng)公式為=sin?彳，nwN*,其前〃項(xiàng)和為邑，則52儂=

9.（2022?上海?高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)歹!!｛6｝有?Tog（“+i）2006,則一+—+_+」一=.

a\a2“2005

三、解答題

2

10.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S”,0=5,nSn+i-（n+1）Sn=n+n.

（1）求證：數(shù)列｛1｝為等差數(shù)列；

n

（2）令bn=2an,求數(shù)列｛仇｝的前〃項(xiàng)和Tn.

11.（2022?河北?高三專題練習(xí)）己知數(shù)列｛q｝的前"項(xiàng)和為S",且Se=S“+a,,+l,.請(qǐng)?jiān)冖?/p>

4+%=13；②成等比數(shù)列；③兀=65,這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上而題干中，并解答下面

問題.

（1）求數(shù)列｛。,,｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛墨｝的前〃項(xiàng)和卻

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

12.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）有一正項(xiàng)等比數(shù)列｛〃“｝的公比為％前〃項(xiàng)和為S“滿足〃2〃4=64,S3=14.

設(shè)瓦=k）g2a“V）.

（1）求s,s的值，并求出數(shù)列｛?。耐?xiàng)公式；

（2）判斷數(shù)列｛與｝是否為等差數(shù)列，并說明理由；

（3）記I=］一,求數(shù)列｛6｝的前n項(xiàng)和T,,.

13.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝滿足24+5的+8〃3+―+（3〃-1）4,=小詈.

（1）求數(shù)列｛。,,｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)"=2所忸+君；2），求數(shù)列帆｝的前〃項(xiàng)和4.

14.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝的前“項(xiàng)和為且滿足2a,=$,+"（"€毛’）.

（1）求證：數(shù)列他”+1｝是等比數(shù)列；

⑵記+］）］-,求數(shù)列口的前〃項(xiàng)和小

15.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且滿足2%-S“=1（W€N*）.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式：

（2）設(shè)〃=（._麓，_］）,數(shù)列出｝的前”項(xiàng)和為7,，求證：|<7；,<1.

16.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在①5“=24-2；②2%=4+4-4；③S,,邑+2,。成等差數(shù)列這三個(gè)

條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答.問題：數(shù)列｛。“｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，前“項(xiàng)和為

SntCl\=2,且___.

（1）求數(shù)列｛?。耐?xiàng)公式；

T

右'〃m-1+〃“一1（nwN*）,求數(shù)列｛6｝的前夕項(xiàng)和A.

17.（2022.全國(guó).高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和為S.,已知6=2且數(shù)列是以為公差的

等差數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛見｝的通項(xiàng)公式；

2u

（2）設(shè)數(shù)列他,｝的前〃項(xiàng)和為7；,求證：Tn<n+^-.

12

18.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，％=1,S,M+2S,I=3S“（"*2）.

（1）求數(shù)列｛。,,｝的通項(xiàng)公式：

（2）令2=襄~,求數(shù)列也,｝的前〃項(xiàng)和7；.

19.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列｛a“｝的前〃項(xiàng)和為S“，已知邑=4q,且《+2,2%,%成等

差數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列｛，｝滿足d=,求數(shù)列低｝的前〃項(xiàng)和7；.

20.（2022?浙江?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛叫，色｝,滿足勺=2"2,3T=4（keN）blk_x,砥,

%“成等差數(shù)列.

（1）證明：｛偽』是等比數(shù)列；

,、〃+2,、

（2）數(shù)列｛q｝滿足c?=.（〃+［）（aJ，記數(shù)列｛c“｝的前n項(xiàng)和為S”，求5“?

21.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在正項(xiàng)數(shù)列｛可｝中，4=1,…，且況乜=&士」（〃之2）.

%an+\?！?/p>

（1）求｛叫的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列，一--1的前”項(xiàng)和S,.

IA+%J

22.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前八項(xiàng)和為S“，數(shù)列｛〃,｝為正項(xiàng)等比數(shù)列，其滿足

q=4=2,S4=a5+b3,%+4=8.

（1）求數(shù)列｛q｝和色｝的通項(xiàng)公式：

（2）若,求數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和

在①%=」一+",,②c“=a”b”,③—這三個(gè)條件中任一個(gè)補(bǔ)充在第（2）問中；并對(duì)其求

解.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

23.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列｛q｝滿足公差d＞（）,前n項(xiàng)的和為S“，53=2a4,卬，%+2,

24成等比數(shù)列.

（1）求｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）若.二（二1）“（2〃+5）,求數(shù)列出｝的前100項(xiàng)的和7；0G.

—

+l

24.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝滿足4=2,an+l=2an+2".

（1）證明：數(shù)列｛畀為等差數(shù)列；

a111c

（2）設(shè)4=才，證明:京+5+…+爐＜2.

25.（2021?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)｛斯｝是等差數(shù)列，（"GM）；｛〃｝是等比數(shù)列，公比大于0,其前〃項(xiàng)

和為Sn（n用N*）.已知&=1,A=為+2,b5=a3+a5,67=04+206.

(1)求S“與a”；

(2)若.=同,求數(shù)列｛"｝的前”項(xiàng)和7；.

26.(2021?全國(guó)全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛%｝滿足?！?%+2=2。,用，且4=1,as+a7=22.

(1)求數(shù)列｛〃,,｝的通項(xiàng)公式；

(2)記在區(qū)間(3"',3加")(〃?€*)上，｛4｝的項(xiàng)數(shù)為小求數(shù)列也“｝的前〃?項(xiàng)和.

27.(2021?海南二中高三階段練習(xí))遞增等差數(shù)列｛%｝中，4%=T6,%+4=。.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛2"4+4｝前〃項(xiàng)和5“

28.(2021?河南?高三階段練習(xí)(文))已知-3,1,3,5中的3個(gè)數(shù)為等差數(shù)列｛6｝的前3項(xiàng)，且99不

在數(shù)列｛4,｝中，101在數(shù)列｛%｝中.

(1)求數(shù)列｛a,,｝的通項(xiàng)M；

(2)設(shè)包="」匚，求數(shù)列｛瓦｝的前”項(xiàng)和S”.

an+\an+2

29.（2021?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列也,｝是公差大于零的等差數(shù)列，已知q=3,婿=a4+24.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)數(shù)列間滿足海產(chǎn)”線鬻,求…+―

[cosa”;r（〃為偶數(shù)）

30.（2021?全國(guó)?高三專題練習(xí)（文））已知數(shù)列｛q｝中，％=2,a?tl=2a?.

（1）求％;

（2）若＞=〃+外,求數(shù)列優(yōu)｝的前5項(xiàng)的和卜

第17講數(shù)列求和

【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】

求數(shù)列前”項(xiàng)和的常見方法如下：

(1)公式法：對(duì)于等差、等比數(shù)列，直接利用前”項(xiàng)和公式.

(2)錯(cuò)位相減法：數(shù)列的通項(xiàng)公式為可也或%的形式，其中｛《,｝為等差數(shù)列，｛?｝為等比數(shù)列.

b“

(3)分組求和法：數(shù)列的通項(xiàng)公式為4+”的形式，其中｛“"｝和｛2｝滿足不同的求和公式.常見于｛4｝

為等差數(shù)列，｛2｝為等比數(shù)列或者｛凡｝與｛"｝分別是數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)，并滿足不同的規(guī)律.

(4)裂項(xiàng)相消法：將數(shù)列恒等變形為連續(xù)兩項(xiàng)或相隔若干項(xiàng)之差的形式，進(jìn)行消項(xiàng).

(5)倒序相加：應(yīng)用于等差數(shù)列或轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的數(shù)列求和.

【典型例題】

例1.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式%=+，它的前”項(xiàng)和S“=9,則"=()

A.9B.10C.99D.100

【答案】C

【詳解】

數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式=Vrt+l-y/n則

Sn+---+l+l-1=9.解得〃=99.

故選：C.

例2.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))在公差大于。的等差數(shù)列｛q｝中，2%-q=1，且4，?3-1，&+5

成等比數(shù)列，則數(shù)列｛(-1)"'%｝的前21項(xiàng)和為()

A.12B.21C.IID.31

【答案】B

【詳解】

由題意，公差”大于0的等差數(shù)列｛4｝中，2%-《3=1，

可得2q+12d—(q+1)=1,即q=1,

由q,a,-l,4+5成等比數(shù)列，可得(色—葉=《(%+5),

即為(1+24-1)2=1+54+5,解得"=2或d=-j(舍去)，

所以數(shù)列㈤｝的通項(xiàng)公式4=l+2(〃—l)=2wT〃eN+,

所以數(shù)列｛(-1廣'的前21項(xiàng)和為：

S)]=4-火+%一/+?,?+%g-+〃2=(1―3)+(5-7)+???+(37-39)+41

=-2x10+41=21.

故選：B.

例3.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知數(shù)列｛?。凉M足：an+\=an-an.\(n>2,nWW),a\=\,?2=2,S〃為數(shù)

列｛為｝的前n項(xiàng)和，則52021=()

A.3B.2C.1D.0

【答案】C

【詳解】

?.?斯+1dl=l,42=2,a3=1,674=-1,6Z5=-2,676=-1,47=1,。8=2,

故數(shù)列｛外｝是周期為6的周期數(shù)列，且每連續(xù)6項(xiàng)的和為0,

故52021=336乂0+。2017+42018+???+12021=〃1+42+〃3+〃4+〃5=1+2+1+(-1)+(-2)=1.

故選：C.

,、111

例4.(2022?全國(guó)高三專題練習(xí))已知等差數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和為S,,,%=3』=10,則3+?+…+7=

J]d2，

【答案】3

【詳解】

解：設(shè)公差為4,因?yàn)椤?=3,54=10,所以匕‘解得所以4=〃，所以s=出②

\4a,+6J=10\a=12

例5.(2021?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和S"=2"2_45eM),函數(shù)例x)對(duì)一切實(shí)數(shù)x

總有〃x)+/(I-x)=1,數(shù)列也,｝滿足b?=/(0)+f(-)+/(-)+..?+/(-)+/⑴.分別求數(shù)列｛6｝、｛2｝的

nnn

通項(xiàng)公式.

【詳解】

當(dāng)〃=1,4=S[=21*2—4=4

當(dāng)〃22,a,,=S?-5?_,=（2"+2-4）-（2"+,-4）=2"+|

”=1時(shí)滿足上式，故??=2"+,（ne/V-）；

?/（x）+C（I）=l.,.《）+/（?）=]

???々=〃0）+《J+僧+…+《爭(zhēng)+/⑴①

.?.々=〃i）+f（F）+f（淚+…+/（1）+/（0）②

,7+1

.?.①+②，得2b“=〃+l.?也=

例6.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知｛%｝為等差數(shù)列，論,｝為等比數(shù)列，且滿足

4=1,4=2嗎=4（%一%）也=4他一8）.

（1）求｛4｝和｛2｝的通項(xiàng)公式；

（2）對(duì)任意的正整數(shù)〃，設(shè)g=。也，求數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S”.

【詳解】

（1）設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為止等比數(shù)列｛2｝的公比為（?,

由4=1,%=4（6-42），則l+3d=4d,可得"=1,所以4,=1+〃一1=",

因?yàn)閍=2也=4（4―么），所以2/=4（2/-2g）,整理得0-2）2=0,解得q=2,

所以〃,=2X2"T=2"；

(2)c?=n-2",

S?=1X2+2X22+3X23+L+n-2",25?=1X22+2X23+3X24+L+n-2"+l,

兩式相減，得

2(1-2")

-S=1X2+22+23+24+L+2"-n-2"+l----^-n-2"+1=(l-n)-2,,+l-2

"1-2

所以S,,=("l)x2"“+2.

例7.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）數(shù)列｛a“｝的前"項(xiàng)和為S〃，?.=1,a?+l=2S?+l.

（1）求%,s“；

（2）設(shè)"=裳-，數(shù)列也,｝的前〃項(xiàng)和為，.證明：Tn<\.

【詳解】

⑴-：an^=25?+1

=2s_“1+1(〃>2)

①一②得:

%=3”“522)

令〃=1時(shí),

%=2q+1=3=3q滿足上式

???數(shù)列｛%｝是為為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.

a?=ax-q'''=y-'

q(iw)1-3"3"-1

S.

i-q1-32

（2）證明：由①得：。“=3T5'='1

4?3°T2

；也=SB,”一(3"-1)(3e-1)一313"-13,,+|-1

:.Tn=b,+b2+---+bn

2MJ」111

3l2-8+8-26+'+3"-l-3,,+l-l

12

~3~3"+2-3

：.T<-

"n3

又???7;為遞增數(shù)列

4.3°1

"7'=(3-1)(9-1)=4

.?.-<?；<-

4"3

例8.(2021,福建?永安市第三中學(xué)高中校高三期中)己知數(shù)列｛%｝是前〃項(xiàng)和為5,=2"”-2

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)令d=a“+log2a“，求數(shù)列｛"｝的前〃項(xiàng)和7“.

【詳解】

(1)V5?=2n+'-2

當(dāng)〃22時(shí)，an=S?-S?_,=2"-2-(2"-2)=2"

當(dāng)〃=1時(shí)，q=2滿足上式，

所以數(shù)列｛〃〃｝的通項(xiàng)公式為例=2”.

(2)由(1)得,4=2"+log2(2")=2"+〃,

則/=(2+1)+(22+2)+(23+3)+.??+(2"+〃)

=(2+2~+2,+???+2〃)+(1+2+3+…+〃)

2(1—2”)〃(1+幾)

=------------1-----------

1-22

【技能提升訓(xùn)練】

一、單選題

1.(2021?全國(guó)?高三專題練習(xí)(文))已知函數(shù)〃x)=(x-l)3+l,利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列的前"項(xiàng)和

的公式的方法，可求得〃-5)+/(T)+…+/(0)+…+〃6)+〃7)().

A.25B.26C.13D.—

2

【答案】C

【分析】

先根據(jù)已知條件求出/(x)+/(2-x)=2,再利用倒序相加法求和即可.

【詳解】

解：=

:.f(2-x)=[(2-x)-l]?+l=(l-x)3+l,

BP/(X)+/(2-X)=2,

設(shè)，=/(—5)+〃T)+/(—3)+…+〃0)+…+〃6)+〃7),①

則f=/■⑺+/⑹+〃5)+…+/(0)+…+/(T)+〃—5),②

則①+②得：2r=/(-5)+/(7)+/(^)+/(6)+-+/(7)+/(-5)=2xl3=26,

故￡=13.

故選：C.

2.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))己知函數(shù)y=/(x)滿足/。)+/(1-幻=1,若數(shù)列｛%｝滿足

4="。)+/(￡)+/月+…+/(汩+/M則數(shù)列｛4｝的前20項(xiàng)和為()

A.100B.105C.110D.115

【答案】D

【分析】

根據(jù)函數(shù)y=f(x)滿足/(x)+/(l-幻=1,利用倒序相加法求出耳，再求前20項(xiàng)和.

【詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)y=/(x)滿足“x)+/(i-x)=i,

4,=八0)+巾)+/電+……+/(筌|+削①，

??.可=阿+/呼)+/(一卜……+《卜/(0)②，

由①+②可得勿〃=〃+1,an=---,

(2o+n

所以數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為1,公差為■的等差數(shù)列，其前20項(xiàng)和為戈二=][5，

2-,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題上要考查函數(shù)的性質(zhì)及倒序相加法求和，屬于基礎(chǔ)題.

3.(2020?全國(guó)?高三專題練習(xí))己知函數(shù)/(x)=x+sin;rx—3,則

4033

的值為

2017

A.4033B.-4033

C.8066D.-8066

【答案】D

【詳解】

試題分析：/(x)+/(2-x)=x+sin^x-3+2-x+sin(2^--^x)-3=-4,所以原式=(-4>^^=-8066.

考點(diǎn)：函數(shù)求值，倒序求和法.

【思路點(diǎn)晴】本題主要考查函數(shù)求值與倒序相加法.注意到原式中第一個(gè)自變量加上最后一個(gè)自變量的

值為2,依此類推，第二個(gè)自變量加上倒數(shù)第二個(gè)自變量的值也是2,故考慮/(力+/(2-力是不是定值.

通過算，可以得到，(x)+/(2—x)=T,每?jī)蓚€(gè)數(shù)的和是其中〃l)+〃l)=TJ(l)=—2,所以原式等

價(jià)于4033個(gè)-2即-8066.

4.(2021?全國(guó)?高三專題練習(xí)(文))已知等比數(shù)列｛3｝的前“項(xiàng)和為S”若S3=7,&=63,則數(shù)列｛〃跖｝

的前n項(xiàng)和為()

A.-3+(〃+1)x2"B.3+(〃+1)x2”

C.1+(〃+1)x2"D.1+(”-1)x2”

【答案】D

【分析】

利用已知條件列出方程組求解即可得4,4,求出數(shù)列｛?。耐?xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法求和即可.

【詳解】

設(shè)等比數(shù)列(3｝的公比為g,易知#1,

“1-7)

53=4~~1=7

1一q

所以由題設(shè)得，

4(1-力

S一-=63

i-q

兩式相除得1+/=9,解得q=2,

進(jìn)而可得41=1，

nln

所以an=a\q-=2-',

所以〃““=〃X2"T.

設(shè)數(shù)例」｛〃m｝的前〃項(xiàng)和為7；,

1

則Tn=1x20+2x2+3x2^...+/ix2?-',

24=1x21+2x22+3x23+…+”x2",

1-2"

兩式作差得-A=1+2+22+…+2"-L〃X2"=二--〃x2"=-1+(1-〃)x2",

1-2

故T?=l+(n-l)x2".

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式問題以及利用錯(cuò)位相減法求和的問題.屬于較易題.

5.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))化簡(jiǎn)5“=〃+5-1)*2+(〃-2?22+—+2、2"2+2"-1的結(jié)果是()

A.2"+'+n-2B.2"+'-n+2

C.2"-n-2D.2n+'-w-2

【答案】D

【分析】

用錯(cuò)位相減法求和.

【詳解】

S“=〃+(〃-1)X2+(“-2)X22+…+2X2"-2+2"T,(1)

2S“=〃x2+(”-1)x22+("-2)x23+...+2x2"i+2”,(2)

(2)-(1)得：

S?=-n+2+22+---+2"-'+2n=-n+2(l~2)=-/7+2"+l-2=2"t'-n-2.

"1-2

故選：D.

6.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))根據(jù)預(yù)測(cè)，某地第個(gè)月共享單車的投放量和損失量分別為%和

5/+151<?<3

”(單位：輛)，其中s7-Jd=〃+5,則該地第4個(gè)月底的共享單車的保有量為()

-10/?+470,n>4

A.421B.451C.439D.935

【答案】D

【分析】

根據(jù)題意求出前四個(gè)月的共享單車投放量，減去前四個(gè)月的損失量，即為第四個(gè)月底的共享單車的保

有量.

【詳解】

由題意可得該地第4個(gè)月底的共享單車的保有量為

(4+/+%+4)-(4+匕2+4+a)

=(20+95+420+430)-(6+7+8+9)

=965-30

=935

故選：D.

二、填空題

7.(2022?上海?高三專題練習(xí))已知數(shù)列｛/｝滿足％+3%+33。3+…+3&=〃(〃eN*),則數(shù)列

]-------\------的前n項(xiàng)和S?為______.

[log3t7?.log3a?+lJ

【答案】

【分析】

2

由3q+3a2+33a3+…+3"?！?〃(”eN*)與3q+32%+33%+…+a?.｝=n-\兩式相減，得出為=",

進(jìn)而得出,；------\----------1的通項(xiàng)公式，再由裂項(xiàng)相消法求和即可.

[log3??-log3a?+1J

【詳解】

當(dāng)—>2時(shí),由+3~d+3，%+???+3〃a“=eN),得3al+3~4+3%3+…+3"?=n—1,

兩式相減，得q="，又4=g，適合，所以

故答案為：S=----

nn+\

2

8.(2022?江蘇?高三專題練習(xí))已知數(shù)列｛a,,｝的通項(xiàng)公式4=sineN”,其前〃項(xiàng)和為S“，則S2()2()=

【答案】1010

【分析】

計(jì)算前4項(xiàng)，結(jié)合周期得出§202。.

【詳解】

1〃兀T2幾A

1-COS——1k11=—=4

21WT1,周期un71

a=--------一一cos—+-

〃22222

.2萬1.、_兀，.o37r1.2八

4=s\n~—=—,a2=sin—=l,a3=s\n~~=—,a4=sirr萬二0

52O2o=54x5O5-505^+l+1+0p0l0

故答案為：1010

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵在于推理得出數(shù)列｛。,J是周期數(shù)列，再由周期性得出$2020.

9.(2022?上海.高三專題練習(xí))設(shè)數(shù)列｛4｝有4=1。&川)2006,則一+—+…+——=.

aa

\2“2005

【答案】log2M62006!

【分析】

根據(jù)對(duì)數(shù)性質(zhì)化簡(jiǎn)計(jì)算即可.

【詳解】

a?=1。&向,2006—=-----—=log(n+1)

41。&,旬20062006

所以‘+'+…+~~~=l°gzoos2+Iog20063+---+log20062006

a

42。2005

=l°g2006(2x3x…x2006)=log20062006!

故答案為：Iog2oo62006!

【點(diǎn)睛】

本題考查利用對(duì)數(shù)性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，考查基本分析化簡(jiǎn)能力，屬基礎(chǔ)題.

三、解答題

10.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和為S”0=5,，S+1-(n+1)S,產(chǎn)層+〃.

(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；

(2)令bn=2"a?,求數(shù)列｛瓦｝的前n項(xiàng)和T,,.

【答案】(1)證明見解析；(2)T“=(2?+1)2"+|-2.

【分析】

(1)利用等差數(shù)列的定義證明即可.

(2)利用錯(cuò)位相減法即可求解.

【詳解】

(1)證明：由〃S“+i-(〃+1)SA=〃+〃得一四;--=1>又*~=5,

n+\n1

所以數(shù)列是首項(xiàng)為5,公差為1的等差數(shù)列.

(2)由(1)可知&~=5+(止1)=〃+4,所以S尸層+4幾

n

22

當(dāng)〃N2時(shí)，an=Sn-Sn-1=n+4n-(n-1)-4(〃-1)=2/7+3.

又0=5也符合上式，所以〃產(chǎn)2〃+3(〃￡"),

所以瓦=(2〃+3)2”,

所以4=5x2+7x22+9x23+…+⑵+3)2〃，①

2r,,=5x22+7x23+9x24+...+(2〃+1)2〃+(2〃+3)-2,,+1,②

所以②?①得

w+,

Tn=(2,1+3)2-10-(23+24+…+2用)

=(2〃+3)2用-10-2'(1-2"|)

1-2

=(2〃+3)2?+,-10-(2"+2-8)

=(2/7+1)2n+l-2.

11.(2022?河北?高三專題練習(xí))己知數(shù)列｛4“｝的前”項(xiàng)和為5“，且S“M=S“+4+1,.請(qǐng)?jiān)冖?/p>

“+%=13；②卬4，%;成等比數(shù)列；③品＞=65,這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上而題干中，并解答下面

問題.

(1)求數(shù)列｛a,,｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列仔)的前“項(xiàng)和I.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

〃+3

【答案】(1)答案見解析；(2)4=3-夕.

【分析】

根據(jù)S.與an的關(guān)系可得｛a,,｝為等差數(shù)列，

(1)選①，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算即可求解；選②，利用等比中項(xiàng)以及等差數(shù)列的通

項(xiàng)公式即可求解；選③，利用等差數(shù)列的前"項(xiàng)和公式即可求解.

(2)利用錯(cuò)位相減法即可求解.

【詳解】

因?yàn)?m=S“+4+l,所以S向-S“=a“+1,即1=4+1,

所以數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)為％,公差為1的等差數(shù)列，其公差d=l.

(1)選①.

由〃4+%=13,得q+3d+q+6d=13,即2q=13-9d,

所以2q=13-9x1=4,解得q=2.

所以?！?ax+(〃—l)d=2+(n-l)x1=n+\,

即數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為4="+1.

選②.

由4，4，ai，成等比數(shù)列，得(q+2d)2=q((7,+6d),

則+4qd+4d2+6々/，所以q=2,

所以=4+(〃-l)d=2+(/2—l)xl=A2+l.

選③.

10x9

因?yàn)镋0=1+號(hào)一xd=1Oq+45d,

所以104+45x1=65,所以4=2,

所以=a\=2+(〃-l)xl=〃+l.

⑵由題可知圻*,所以(=|+捻+攝+—+竽,

所以;q=最+5+假+…+/+黑",

兩式相減，得=1+*+/+上■+…

J2+2L(U22422+3…+

i-X

1IH+13〃+3

=—+—X2"

221--

2

所以刀,=3-展.

12.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))有一正項(xiàng)等比數(shù)列｛飆｝的公比為g,前〃項(xiàng)和為S”滿足"2四=64,S3=14.

設(shè)bn=10g2斯(”6N*).

(1)求0,S的值，并求出數(shù)列｛?。耐?xiàng)公式；

(2)判斷數(shù)列｛d｝是否為等差數(shù)列，并說明理由；

(3)記，,=/,求數(shù)列｛的｝的前〃項(xiàng)和7k

。典+1

【答案】(1)0=2,42=4,a?=2x2?-'=2?(?eV)；(2)｛瓦｝是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列,理由

見解析；(3)T?=—.

〃+1

【分析】

(1)利用等比中項(xiàng)以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.

(2)利用等差數(shù)列的定義即可證明.

(3)利用裂項(xiàng)求和法即可求解.

【詳解】

(1)由〃2〃4=64,得a；=64.又*.*斯＞0,/.“3=8.

;S3=aI+。2+〃3，/.?i+42+8=14,，〃?+。同二6，

8.

即m(1+q)=6,,?/(1+夕)=6,BP3^2-4^-4=0?

2

解得1=2或行下(舍去).

/.t/i=2,?2=4,〃〃=2x2""=2".

（2）數(shù)列｛為｝為等差數(shù)列,理由如下:

/,

由（1）知斯=23/./?/j=log2?/?=log22=n,

??bn+1=〃+1i??bn+1~bn=1..又b]—1>

???｛瓦｝是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)歹Ij.

1111

（3）由（2）口]■知，bn=n,/.c=——=—7—==----~7

wb也用〃（幾+1）nn+1,

n

〃+1

13.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛/｝滿足24+5%+86+…+（3〃-1）凡=當(dāng)由.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

（2）設(shè)％=2（"忸+麗3〃石,求數(shù)列｛"｝的前〃項(xiàng)和7；.

i14

【答案】⑴7⑵1,=2向-五*-萬

【分析】

（1）由2al+54+&4+…+（3九_(tái)1）?！?九（九+1）,可得當(dāng)〃之2時(shí)，

24+54+8%+-+（3〃-4）1=也二0,兩式相減化簡(jiǎn)可得（〃22）,再驗(yàn)證是否滿足,

23/2—12

（2）由（1）得然后利用分組求和和裂項(xiàng)相消求和法求「

【詳解】

解：（1）數(shù)列｛為｝滿足24+54+8%+…+（3”-1”"=叫少①

''1〃22時(shí)，2q+54++84+…+（3"-4"“_]=——,②

八-/、n（n+\]n（n—]]

①一②，得：（3〃-1"〃=—~-——\~-=n,

故見=舟（〃叫；

當(dāng)〃=1時(shí)，解得q=；,首項(xiàng)符合通項(xiàng),

n

3"-1

3ali

由（1）得：b,=2^+-

（3n+2）

311

=2"+-----------r=2"+

（3〃-1）（3〃+2）3〃-13〃+2

所以7；=(2i+22+…+2")+(g

―《+廠1+…+3/?-l3n+2

2x(21)J

2-123〃+2

3

3〃+22

14.(2022.全國(guó)?高三專題練習(xí))已知數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和為S“,且滿足2a“=S“+〃(〃eN,).

(1)求證：數(shù)列區(qū)+1｝是等比數(shù)列；

⑵記%g式-+1),求數(shù)列匕，｝的前〃項(xiàng)和小

32n3

【答案】(1)證明見解析；(2)---~——T7.

42("+1)(〃+2)

【分析】

(1)先求出q=1,然后當(dāng)"..2時(shí)，4“=S,-S,I化簡(jiǎn)可得4,=2q_1+1,兩邊加1可得4+1=求％+1),

從而可證得數(shù)列｛《,+1｝是等比數(shù)列；

⑵由⑴得%+1=2",則可得勃==(5)1二+廣五->)，然后利用裂項(xiàng)相消求和法

可求得(

【詳解】

(1)證明：由2q,=S“+"(neN*),

可得2q=S|+1=4+1,解得q=l,

”..2時(shí),q,=S“-511T=2a?-n-2a?_t+n-\,

可得q=2%+1,

則為+1=2(%+1),

所以數(shù)列,+1｝是