2023年中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題真題（含答案）_第1頁
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年中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題6月11日考試時(shí)長(zhǎng)90分鐘本次考試一共8道試題，4道填空題，4道解答題，滿分100分.填空題（20分）二元函數(shù)的值域?yàn)開_______.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，且，則的最小值為________.使得展開式中的系數(shù)最大，則正整數(shù)的值為________.已知四條拋物線相鄰兩條都相切，則它們圍成的封閉圖形面積為______.解答題（每題20分，共80分）已知實(shí)系數(shù)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，證明：的三個(gè)根全部為實(shí)數(shù)。已知正整數(shù)數(shù)列滿足，且是等差數(shù)列，是等比數(shù)列。數(shù)列滿足：，若存在正整數(shù)滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，一個(gè)箱子里有個(gè)黑球和個(gè)白球，從箱子中不放回的每次抽取一個(gè)球，直到取完。記為在整個(gè)取球過程中，黑球個(gè)數(shù)始終小于白球個(gè)數(shù)的概率，求：（1）的概率值；（2）的表達(dá)式。證明：2023年中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題解析一、填空題1.解析：原式可以看作點(diǎn)和的距離平方，數(shù)形結(jié)合得到2.答案為4解析：設(shè)，那么由已知可得，以及，其中，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。3.系數(shù)為，所以，整理得，即，所以當(dāng)時(shí)系數(shù)最大。4．方法一：對(duì)稱性+阿基米德三角形根據(jù)對(duì)稱性知與相切，易得，切點(diǎn)為，阿基米德三角形的面積為，故切線與拋物線圍成的圖形面積為，則其總面積為四．（20分）一個(gè)箱子里有個(gè)黑球和個(gè)白球，從箱子中不放回的每次抽取一個(gè)球，直到取完。記為在整個(gè)取球過程中，黑球個(gè)數(shù)始終小于白球個(gè)數(shù)的概率，求：（1）的概率值；（2）的表達(dá)式。解析：（1）前2個(gè)一定是白球，然后第2只黑

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