插值與數(shù)據(jù)擬合

插值與數(shù)據(jù)擬合第一頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日插值與數(shù)據(jù)擬合就是通過(guò)一些已知數(shù)據(jù)去確定某類函數(shù)的參數(shù)或?qū)ふ夷硞€(gè)近似函數(shù)，使所得的函數(shù)與已知數(shù)據(jù)具有較高的精度，并且能夠使用數(shù)學(xué)分析的工具分析數(shù)據(jù)所反映的對(duì)象的性質(zhì)．幾種常用的方法：1、一般插值法2、樣條插值法3、最小二乘曲線4、曲面的擬合數(shù)據(jù)擬合與插值建模第二頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日上大學(xué)二年級(jí)的小華正在做作業(yè)，“爸爸，計(jì)算這道題要用到sin，可是我的計(jì)算器壞了，怎么辦?！碑?dāng)工程師的老張從厚厚的一摞舊書底下抽出一本數(shù)學(xué)用表來(lái)，“給你，這是我念大學(xué)時(shí)用的，那時(shí)候啊，計(jì)算器聽都沒(méi)聽說(shuō)過(guò)。”小華拿著表翻了一會(huì)兒，無(wú)奈的說(shuō)：“表上每才有一個(gè)函數(shù)值，這里只sin和sin““表中沒(méi)有的，都可以用插值方法計(jì)算”“插值！我們的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課就要學(xué)了，不過(guò)，今天我要先自己想個(gè)辦法，用這個(gè)算出sin”這本四位數(shù)學(xué)用表給出sin＝0.576，sin=0.5783。小華認(rèn)為在sin到sin這樣小的范圍內(nèi)，正弦可以近似為線性函數(shù)，于是很容易地得到Sin=0.576+(0.5783-0.5760)×0.6=0.5774第三頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日聰明的小華用的這個(gè)辦法是一種插值方法——分段線性插值。實(shí)際上，插值可以理解為，要根據(jù)一個(gè)用表格表示的函數(shù)，計(jì)算表中沒(méi)有的函數(shù)值，表中有的。表中有的，如（sin，0.5760）(sin,0.5783)稱為節(jié)點(diǎn)；要計(jì)算的，如sin，稱為插值點(diǎn)，結(jié)果（0.5774）即為插值。小華作的線性函數(shù)為插值函數(shù)，插值函數(shù)所表示的直線當(dāng)然要通過(guò)節(jié)點(diǎn)。第四頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日插值最初來(lái)源于天體計(jì)算——由若干觀測(cè)值（即節(jié)點(diǎn)）計(jì)算任意時(shí)刻星球的位置（即插值點(diǎn)和插值）——的需要。現(xiàn)在，雖然人們已很少需要用它從函數(shù)表計(jì)算函數(shù)值了，但是插值仍然在諸如機(jī)械加工等工程技術(shù)和數(shù)據(jù)處理等科學(xué)研究中有著許多直接的應(yīng)用，另一方面，插值又是數(shù)值微分、數(shù)值積分、常微分方程數(shù)值等數(shù)值計(jì)算的基礎(chǔ)。第五頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日幾天后，小華在物理實(shí)驗(yàn)里又碰到一個(gè)看起來(lái)非常類似的問(wèn)題：有一只對(duì)溫度敏感的電阻，已經(jīng)測(cè)得了一組溫度T和電阻R數(shù)據(jù)。

現(xiàn)在想知道時(shí)的電阻多大。溫度t(0C)20.532.751.073.095.7電阻R()7658268739421032第六頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日小華征求老師的意見，老師給了他兩點(diǎn)提示：一是在直角坐標(biāo)系中把5個(gè)點(diǎn)（T，R）畫一下，看看電阻R和溫度T之間大致有什么關(guān)系；二是測(cè)量數(shù)據(jù)總有相當(dāng)大的誤差，這與用函數(shù)表作插值計(jì)算應(yīng)該有不同之處吧（雖然函數(shù)表也存在舍入誤差，但很小，可以認(rèn)為表中數(shù)值是精確的）通過(guò)圖形小華看到，R與T大致呈直線關(guān)系，于是用手畫了一條靠近5個(gè)點(diǎn)的直線，又想起中學(xué)物理學(xué)過(guò)，金屬材料的電阻率與溫度成正比，從而確定R與T的關(guān)系應(yīng)該是R=at+b其中a，b為待定常數(shù)。第七頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日正是由于測(cè)量誤差的存在，由R=at+b表示的直線不可能通過(guò)全部5個(gè)點(diǎn)，所以，與插值曲線要通過(guò)全部節(jié)點(diǎn)不同，小華打算作一條盡量靠近所有的點(diǎn)的直線，求出a，b待定常數(shù)，由此計(jì)算t=的R就十分簡(jiǎn)單了。第八頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日

根據(jù)一組（二組）數(shù)據(jù)，即平面上的若干點(diǎn)，確定一個(gè)一元函數(shù)，即曲線，使這些節(jié)點(diǎn)與曲線總體來(lái)說(shuō)盡量接近，這就是曲線擬合。函數(shù)值與曲線擬合都是要根據(jù)一組數(shù)據(jù)構(gòu)造一個(gè)函數(shù)作為近似，由于近似的要求不同，二者的數(shù)學(xué)方法是完全不同的。第九頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日

數(shù)據(jù)擬合1.擬合的基本原理；2.最小二乘擬合；3.用Matlab作最小二乘擬合；4.如何用擬合解決實(shí)際問(wèn)題。第十頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日

t(h)0.250.511.523468c(g/ml)19.2118.1515.3614.1012.899.327.455.243.01對(duì)某人用快速靜脈注射方式一次性注射某種藥物300mg后，經(jīng)過(guò)時(shí)間t采集血樣，測(cè)得血藥濃度c如下表：求血藥濃度隨時(shí)間的變化規(guī)律c(t).半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系(semilogy)下的圖形Log10c(t)=at+b引例1：血藥濃度的變化規(guī)律第十一頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日曲線擬合問(wèn)題的提法已知一組（二維）數(shù)據(jù)，即平面上n個(gè)點(diǎn)（xi,yi)i=1,…n,尋求一個(gè)函數(shù)（曲線）y=f(x),使f(x)在某種準(zhǔn)則下與所有數(shù)據(jù)點(diǎn)最為接近，即曲線擬合得最好。

+++++++++xyy=f(x)(xi,yi)ii為點(diǎn)（xi,yi)與曲線y=f(x)的距離第十二頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日最小二乘擬合

第一步：先選定一類函數(shù)f(x，a1，a2，…，am)其準(zhǔn)則為（最小二乘準(zhǔn)則）：使n個(gè)點(diǎn)（xi,yi)與曲線y=f(x，a1，a2，…，am)的距離i的平方和最小

。其中

a1,a2,…am

為待定常數(shù)。f可以為一些簡(jiǎn)單的“基函數(shù)”（如冪函數(shù)，三角函數(shù)等等）的線性組合：第二步：確定參數(shù)a1,a2,…am，第十三頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日記問(wèn)題歸結(jié)為，求

a1,a2,…am

使

J(a1,a2,…am)最小。這樣的擬合稱為最小二乘擬合。除了最小二乘準(zhǔn)則（即各點(diǎn)誤差的平方和最?。阏J(rèn)為還可以用怎樣的擬合準(zhǔn)則？比較起來(lái)，最小二乘準(zhǔn)則有什么優(yōu)點(diǎn)？思考第十四頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日最小二乘擬合函數(shù)f(x，a1，…am)的選取++++++++++++++++++++f=a1+a2xf=a1+a2x+a3x2f=a1+a2x+a3x2f=a1exp(a2x)+++++f=a1exp(a2x)1.通過(guò)機(jī)理分析建立數(shù)學(xué)模型來(lái)確定f；2.將數(shù)據(jù)(xi,yi)i=1,…n作圖，通過(guò)直觀判斷確定f：第十五頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日2.作一般的最小二乘曲線擬合，可利用已有程序curvefit,其調(diào)用格式為：

a=curvefit(‘f’,a0,x,y)

1.作多項(xiàng)式f(x)=a1xm+…+amx+am+1函數(shù)擬合,可利用已有程序polyfit,其調(diào)用格式為:a=polyfit(x,y,m)用MATLAB作最小二乘擬合數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合多項(xiàng)式次數(shù)系數(shù)注：f為擬合函數(shù)y=f(a,x)的函數(shù)M—文件，f(a,x)為擬合函數(shù)。數(shù)據(jù)點(diǎn)待定常數(shù)a的初值函數(shù)M文件第十六頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日用MATLAB作多項(xiàng)式最小二乘擬合2.用命令polyfit(x,y,m)得到a1=3.3940,a2=702.49181.選取函數(shù)R=

a1t+a2溫度t(0C)20.532.751.073.095.7電阻R()7658268739421032例.由數(shù)據(jù)擬合R=f(t)第十七頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日用MATLAB作最小二乘曲線擬合例：用函數(shù)f(x)=a1*exp(-a2*x)+a3*exp(-a4*x)擬合下列數(shù)據(jù)點(diǎn)：xdata=[0:.1:2]ydata=[5.89553.56392.51731.97901.89901.39381.13591.00961.03430.84350.68560.61000.53920.39460.39030.54740.34590.13700.22110.17040.2636]用命令curvefit(‘f’,a0,x,y)

第十八頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日擬合的應(yīng)用——參數(shù)辨識(shí)數(shù)學(xué)建模的方法：機(jī)理分析和測(cè)試分析。機(jī)理分析是根據(jù)對(duì)客觀事物特性的認(rèn)識(shí)，找出反映內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律，建立的模型常有明確的物理意義。測(cè)試分析將研究的對(duì)象看作一個(gè)“黑箱”，通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，找出與數(shù)據(jù)擬合得最好的模型。機(jī)理分析——>模型結(jié)構(gòu)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)——>未知參數(shù)第十九頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日范例：薄膜滲透率的測(cè)定一、問(wèn)題：某種醫(yī)用薄膜，具有從高濃度的溶液向低濃度的溶液擴(kuò)散的功能，在試制時(shí)需測(cè)定薄膜被物質(zhì)分子穿透的能力。測(cè)定方法：用面積為S的薄膜將容器分成體積分別為的兩部份，在兩部分中分別注滿該物質(zhì)的兩種不同濃度的溶液。此時(shí)該物質(zhì)分子就會(huì)從高濃度溶液穿過(guò)薄膜向低濃度溶液中擴(kuò)散。平均每單位時(shí)間通過(guò)單位面積薄膜的物質(zhì)分子量與膜兩側(cè)溶液的濃度差成正比，比例系數(shù)K表征了薄膜被該物質(zhì)分子穿透的能力，稱為滲透率。定時(shí)測(cè)量容器中薄膜某一側(cè)的溶液濃度，以此確定K。VAVBS第二十頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日二、問(wèn)題分析考察時(shí)段[t，t+Δt]薄膜兩側(cè)容器中該物質(zhì)質(zhì)量的變化。設(shè)，對(duì)容器的B部分溶液濃度的測(cè)試結(jié)果如下表：（濃度單位）

1）在容器的一側(cè)，物質(zhì)質(zhì)量的增加是由于另一側(cè)的物質(zhì)向該側(cè)滲透的結(jié)果，因此物質(zhì)質(zhì)量的增量應(yīng)等于另一側(cè)的該物質(zhì)向這側(cè)的滲透量。第二十一頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日以容器A側(cè)為例，在時(shí)段[t，t+Δt]物質(zhì)質(zhì)量的增量為：分別表示在時(shí)刻t膜兩側(cè)溶液設(shè)的濃度，濃度單位:由于平均每單位時(shí)間通過(guò)單位面積薄膜的物質(zhì)分子量與膜兩側(cè)溶液的濃度差成正比，比例系數(shù)為K。因此，在時(shí)段[t，t+Δt]，從B側(cè)滲透至A側(cè)的該物質(zhì)的質(zhì)量為：第二十二頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日于是有：兩邊除以Δt，并令Δt→0取極限再稍加整理即得：分別表示在初始時(shí)刻兩側(cè)溶液的濃度其中（1）2)注意到整個(gè)容器的溶液中含有該物質(zhì)的質(zhì)量不變,與初始時(shí)刻該物質(zhì)的含量相同，因此第二十三頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日從而：加上初值條件：代入式（1）得：便可得出CB(t)的變化規(guī)律，從而根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，估計(jì)出參數(shù)K,。第二十四頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日三、數(shù)學(xué)模型假設(shè)：1）薄膜兩側(cè)的溶液始終是均勻的；2）平均每單位時(shí)間通過(guò)單位面積薄膜的物質(zhì)分子量與膜兩側(cè)溶液的濃度差成正比。3）薄膜是雙向同性的即物質(zhì)從膜的任何一側(cè)向另一側(cè)滲透的性能是相同的。基于假設(shè)和前面的分析，B側(cè)的濃度CB(t)應(yīng)滿足如下微分方程和初始條件：第二十五頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日四、求解方法：1.函數(shù)擬合法前面得到的模型是一個(gè)帶初值的一階線性微分方程，解之得：?jiǎn)栴}歸結(jié)為利用CB在時(shí)刻tj的測(cè)量數(shù)據(jù)Cj(j=1,2,...,N)來(lái)辨識(shí)K和。第二十六頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日引入從而用函數(shù)CB(t)來(lái)擬合所給的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，從而估計(jì)出其中的參數(shù)a,b,K。將代入上式有：第二十七頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日用MATLAB軟件進(jìn)行計(jì)算.1）編寫函數(shù)M-文件nongdu.mfunctionf=nongdu(x,tdata)f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata);其中x(1)=a;x(2)=b;x(3)=k;2)在工作空間中執(zhí)行以下命令(test1.m)tdata=linspace(100,1000,10);cdata=[4.544.995.355.655.906.10...6.266.396.506.59];x0=[0.2,0.05,0.05];x=curvefit(‘nongdu’,x0,tdata,cdata)3)輸出結(jié)果:x=0.007-0.0030.1012即k=0.1012,a=0.007,b=-0.003,第二十八頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日進(jìn)一步求得：2.非線性規(guī)劃法利用CB在時(shí)刻tj的測(cè)量數(shù)據(jù)Cj(j=1,2,...,N)來(lái)辨識(shí)K和。問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)即求函數(shù)的最小值點(diǎn)（K，a，b）。第二十九頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日3.導(dǎo)函數(shù)擬合法前面得到的微分方程為：令上式變?yōu)椋哼@可以看作隨CB的變化規(guī)律(j=1,2,...,N)若知道一組數(shù)據(jù)則可用最小二乘擬合的方法來(lái)求出函數(shù)中的未知參數(shù)K和h。第三十頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日即為求參數(shù)K,a使下列誤差函數(shù)達(dá)到最小：該問(wèn)題等價(jià)于用函數(shù)f(K,a,CB)=K(0.01a-0.02CB)來(lái)擬合數(shù)據(jù)(j=1,2,...,N)第三十一頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日用MATLAB軟件進(jìn)行計(jì)算.％求數(shù)據(jù)點(diǎn)(j=1,2,...,N)tdata=linspace(100,1000,10);cdata=1e-05.*[454499535565590...610626639650659];[d,ifail]=e01bef(tdata,cdata);[cj,dcj]=e01bgf(tdata,cdata,d,tdata);1）編寫函數(shù)M-文件baomof.mfunctionf=baomof(x,cdata)f=x(1)*(0.01*x(2)-0.02*cdata)其中x(1)=K;x(2)=h2)編寫命令M文件(baomo21.m)第三十二頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日3)輸出結(jié)果:x=0.10090.014即k=0.1009,h=0.014％作函數(shù)擬合x0=[0.2,0.1];x=curvefit('baomof',x0,cdata,dcj')第三十三頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日4.線性化迭代法前面帶初始條件的一階線性微分方程的解為其中：

如果得到了參數(shù)K的一個(gè)較好的近似值K*，則將CB(t)關(guān)于K在K*處展開，略去K的二次及以上的項(xiàng)得CB(t)的一個(gè)近似式通過(guò)極小化第三十四頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日確定a,b,d,再由K=d/0.02b得到K*的修正值K。K*K*-K,得到K的一個(gè)新的近似值，用同樣的方法再求新的修正值K。這個(gè)過(guò)程可以不斷重復(fù)，直到修正值足夠小為止。1）當(dāng)K的初值取為k=0.3時(shí)，出現(xiàn)奇異情況，迭代不收斂；2）當(dāng)K的初值取為k=0.2時(shí)，經(jīng)四次迭代，已經(jīng)收斂到一個(gè)很好的解。迭代結(jié)果如下表。第三十五頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日五、結(jié)果及誤差分析幾種方法得出的結(jié)果及相應(yīng)的誤差總結(jié)于下表，誤差為計(jì)算數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)之差的平方和。注：導(dǎo)函數(shù)擬合法得出的參數(shù)值精度有限，線性化迭代法要求參數(shù)的初值比較接近精確值。因此可將導(dǎo)函數(shù)擬合法和線性化迭代法結(jié)合起來(lái)使用，把前者得到的參數(shù)K的值作為迭代法中K的初值，這樣可使迭代法收斂或收斂更快。3）取K的初值為k=0.1009,只一次迭代就得到2）中的最后結(jié)果。第三十六頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日第三十七頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日函數(shù)擬合法的擬合效果第三十八頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日求解參數(shù)辨識(shí)模型的方法：函數(shù)擬合；非線性規(guī)劃；導(dǎo)函數(shù)擬合；線性化迭代；其它方法。第三十九頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日用Logistic模擬水稻葉伸長(zhǎng)生長(zhǎng)時(shí)間11.82.63.44.14.85.46.16.87.48.1重量0.30.50.91.42.53.24.37.610.114.418.5時(shí)間8.89.410.110.811.712.413.114.415.115.7

重量23.025.230.433.738.841.743.744.845.545.3

生長(zhǎng)觀測(cè)記錄數(shù)據(jù)第四十頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日模型表達(dá)式：第四十一頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日程序！第四十二頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日關(guān)于polyfit命令命令：p=polyfit(x,y,n)（1）x與y為模擬數(shù)據(jù)（2）n為擬合多項(xiàng)式的次數(shù)（3）當(dāng)n=1時(shí)為用最小二乘法進(jìn)行直線擬合（4）得到的向量p為長(zhǎng)度n+1向量，對(duì)應(yīng)p的分量依次是次數(shù)從高到底各多項(xiàng)式系數(shù)第四十三頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日用Richard模擬

水稻葉伸長(zhǎng)生長(zhǎng)第四十四頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日關(guān)于inline函數(shù)例如：y=inline(‘sin(x)-cos(x)’,’x’)輸入y(0)，可得：-1作圖：x=0:0.1:2*pi;plot(x,y(x))第四十五頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日1、插值問(wèn)題：不知道某一函數(shù)f(x)在待定范圍[a,b]上的具體表達(dá)式，而只能通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量得到該函數(shù)在一系列點(diǎn)a≤x1,x2,...,xn≤b上的值y0,y1,y2,...,yn，需要找一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)P(x)來(lái)近似地代替f(x)，要求滿足：P(xi)=yi(i=1,2,...,n)2、插值函數(shù)：P(x)，3、插值法：求插值函數(shù)P(x)的方法

插值第四十六頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日二、常用插值函數(shù)1、多項(xiàng)式函數(shù)2、樣條函數(shù)第四十七頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日1、多項(xiàng)式插值方法（1）n次代數(shù)插值（2）拉格朗日插值幾點(diǎn)說(shuō)明：（1）拉格朗日插值基函數(shù)僅與節(jié)點(diǎn)有關(guān)，而與被插值函數(shù)f(x)無(wú)關(guān)。（2）拉格朗日插值多項(xiàng)式僅由數(shù)對(duì)(xi,yi)(i＝1,2,…,n)確定，而與數(shù)對(duì)排列次序無(wú)關(guān)。（3）多項(xiàng)式插值除了上述插值法外還有其它插值法，如newton插值法、hermite插值法等。第四十八頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日2、樣條插值方法（1）樣條函數(shù)——m次半截冪函數(shù)（2）k次B樣條或k次基本樣條函數(shù)的定義第四十九頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日（一）廣泛使用的樣條函數(shù)（1）廣泛采用：二次樣條、三次樣條及B樣條。（2）力學(xué)意義：A:二次樣條在力學(xué)上解釋為集中力偶作用下的彈性細(xì)梁撓度曲線。B:彈性細(xì)梁受集中載荷作用形成的撓度曲線，在小撓度的情況下，恰好表示為三次樣條函數(shù)，集中載荷的作用點(diǎn)，恰好就是三次樣條函數(shù)的節(jié)點(diǎn)。第五十頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日（1）二次樣條的定義設(shè)[a,b]的一個(gè)劃分：a=x0<x1,x2,...,xn=b，函數(shù)f(x)各節(jié)點(diǎn)的值分別為：f(xi)=yi(i=1,2,...,n)如果二次樣條函數(shù)：滿足：S(xi)=yi(i=1,2,...,n)第五十一頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日（2）三次樣條函數(shù)的定義設(shè)[a,b]的一個(gè)劃分：a=x0<x1,x2,...,xn=b，函數(shù)f(x)各節(jié)點(diǎn)的值分別為：f(xi)=yi(i=1,2,...,n)如果三次樣條函數(shù)：3滿足：S(xi)=yi(i=1,2,...,n)第五十二頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例：某實(shí)驗(yàn)對(duì)一根長(zhǎng)10米的鋼軌進(jìn)行熱源的溫度傳播測(cè)試。用x表示測(cè)量點(diǎn)0:2.5:10(米)，用h表示測(cè)量時(shí)間0:30:60(秒)，用T表示測(cè)試所得各點(diǎn)的溫度(℃)。試用線性插值求出在一分鐘內(nèi)每隔20秒、鋼軌每隔1米處的溫度TI。

命令如下：

x=0:2.5:10;

h=[0:30:60]';

T=[95,14,0,0,0;88,48,32,12,6;67,64,54,48,41];

xi=[0:10];

hi=[0:20:60]';

TI=interp2(x,h,T,xi,hi)第五十三頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例：設(shè)z=x2+y2，對(duì)z函數(shù)在[0,1]×[0,2]區(qū)域內(nèi)進(jìn)行插值。為了說(shuō)明這個(gè)維數(shù)的插值，再考慮一個(gè)問(wèn)題。設(shè)人們對(duì)平板上的溫度分布估計(jì)感興趣，給定的溫度值取自平板表面均勻分布的格柵。采集了下列的數(shù)據(jù)：

?width=1:5;%indexforwidthofplate(i.e.,thex-dimension)

?depth=1:3;%indexfordepthofplate(i,e,,they-dimension)

?temps=[8281808284;7963616581;8484828586]%temperaturedata temps= 8281808284 7963616581 8484828586第五十四頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日如同在標(biāo)引點(diǎn)上測(cè)量一樣，矩陣temps表示整個(gè)平板的溫度分布。temps的列與下標(biāo)depth或y-維相聯(lián)系，行與下標(biāo)width或x-維相聯(lián)系(見圖6)。為了估計(jì)在中間點(diǎn)的溫度，我們必須對(duì)它們進(jìn)行辨識(shí)。

?wi=1:0.2:5;%estimateacrosswidthofplate

?d=2;%atadepthof2

?zlinear=interp2(width,depth,temps,wi,d);%linearinterpolation

?zcubic=interp2(width,depth,temps,wi,d,'cubic');%cubicinterpolation

?plot(wi,zlinear,'-',wi,zcubic)%plotresults

?xlabel('WidthofPlate'),ylabel('DegreesCelsius')

?title(['TemperatureatDepth='num2str(d)])第五十五頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日?qǐng)D6在深度d=2處的平板溫度第五十六頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日另一種方法，我們可以在兩個(gè)方向插值。先在三維坐標(biāo)畫出原始數(shù)據(jù)，看一下該數(shù)據(jù)的粗糙程度(見圖7)。

?mesh(width,depth,temps)%usemeshplot

?xlabel(‘WidthofPlate’),ylabel(‘DepthofPlate’)

?zlabel(‘DegreesCelsius’),axis(‘ij’),grid

[xi,yi]=meshgrid(width,depth);

zi=interp2(width,depth,temps,xi,yi,‘cubic’);

mesh(xi,yi,zi)

第五十七頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日?qǐng)D7平板溫度第五十八頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日然后在兩個(gè)方向上插值，以平滑數(shù)據(jù)(見圖8)。

?di=1:0.2:3;%choosehigherresolutionfordepth

?wi=1:0.2:5;%choosehigherresolutionforwidth

?zcubic=interp2(width,depth,temps,wi,di,'cubic');%cubic

?mesh(wi,di,zcubic)

?xlabel('WidthofPlate'),ylabel('DepthofPlate')

?zlabel('DegreesCelsius'),axis('ij'),grid第五十九頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日?qǐng)D8二維插值后的平板溫度第六十頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日上面的例子清楚地證明了，二維插值更為復(fù)雜，只是因?yàn)橛懈嗟牧恳３指?。interp2的基本形式是interp2(x,y,z,xi,yi,method)。這里x和y是兩個(gè)獨(dú)立變量，z是一個(gè)應(yīng)變量矩陣。x和y對(duì)z的關(guān)系是

z(i,:)=f(x,y(i))和z(:,j)=f(x(j),y).

也就是，當(dāng)x變化時(shí)，z的第i行與y的第i個(gè)元素y(i)相關(guān)，當(dāng)y變化時(shí)，z的第j列與x的第j個(gè)元素x(j)相關(guān)，。xi是沿x-軸插值的一個(gè)數(shù)值數(shù)組；yi是沿y-軸插值的一個(gè)數(shù)值數(shù)組。第六十一頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日可選的參數(shù)method可以是‘linear’，‘cubic’或‘nearest’。在這種情況下，cubic不意味著3次樣條，而是使用3次多項(xiàng)式的另一種算法。linear方法是線性插值，僅用作連接圖上數(shù)據(jù)點(diǎn)。nearest方法只選擇最接近各估計(jì)點(diǎn)的粗略數(shù)據(jù)點(diǎn)。

插值的優(yōu)點(diǎn)：利用已知點(diǎn)確定未知點(diǎn)粗糙——精確集合大的——簡(jiǎn)化的第六十二頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例：某觀測(cè)站測(cè)得某日6:00時(shí)至18:00時(shí)之間每隔2小時(shí)的室內(nèi)外溫度(℃)，用3次樣條插值分別求得該日室內(nèi)外6:30至17:30時(shí)之間每隔2小時(shí)各點(diǎn)的近似溫度(℃)。

設(shè)時(shí)間變量h為一行向量，溫度變量t為一個(gè)兩列矩陣，其中第一列存放室內(nèi)溫度，第二列儲(chǔ)存室外溫度。命令如下：

h=6:2:18;

t=[18,20,22,25,30,28,24;15,19,24,28,34,32,30]';

XI=6.5:2:17.5

YI=interp1(h,t,XI,‘spline’)

%用3次樣條插值計(jì)算第六十三頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日在討論二維插值之前，強(qiáng)調(diào)interp1所強(qiáng)制的二個(gè)強(qiáng)約束是很重要的。首先，人們不能要求有獨(dú)立變量范圍以外的結(jié)果，例如，interp1(hours,temps,13.5)導(dǎo)致一個(gè)錯(cuò)誤，因?yàn)閔ours在1到12之間變化。其次，獨(dú)立變量必須是單調(diào)的。即獨(dú)立變量在值上必須總是增加的或總是減小的。第六十四頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日在我們的例子里，hours是單調(diào)的。然而，如果我們已經(jīng)定義獨(dú)立變量為一天的實(shí)際時(shí)間，

?time_of_day=[7:121:6]%startat

7AM,endat6PM

time_of_day=

789101112123456

則獨(dú)立變量將不是單調(diào)的，因?yàn)閠ime_of_day增加到12，然后跌到1，再然后增加。如果用time_of_day代替interp1中的hours，將會(huì)返回一個(gè)錯(cuò)誤。同樣的理由，人們不能對(duì)temps插值來(lái)找出產(chǎn)生某溫度的時(shí)間(小時(shí))，因?yàn)閠emps不是單調(diào)的。第六十五頁(yè)，共七十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日案例3估計(jì)水箱的水流量模型長(zhǎng)度單位：E(＝30．24cm)容積單位：G(=3.785L(升))某些鎮(zhèn)的用水管理機(jī)構(gòu)需估計(jì)公眾的用水速度(單位是G/h)和每天總用水量的數(shù)據(jù)．許多地方?jīng)]有測(cè)量流入或流出水箱流量的設(shè)備，而只能測(cè)量水箱中的水位(誤差不超過(guò)5%)．當(dāng)水箱水位低于某最低水位L時(shí)，水泵抽水，灌入水箱，直至