彈性力學(xué)第二章平面問(wèn)題的基本理論

彈性力學(xué)第二章平面問(wèn)題的基本理論第一頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日平面應(yīng)力問(wèn)題平面應(yīng)力問(wèn)題：設(shè)有很薄的等厚度板，只在板邊上受有平行于板面且不沿厚度變化的面力或約束，同時(shí)體力也平行于板面且不沿厚度變化。xyzh第二頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日平面應(yīng)變

問(wèn)題平面應(yīng)變問(wèn)題：設(shè)有很長(zhǎng)的柱形體，它的橫截面不沿長(zhǎng)度變化，在柱面上受有平行于橫截面而且不沿長(zhǎng)度變化的面力或約束，同時(shí)體力也平行于橫截面且不沿長(zhǎng)度變化。xyz第三頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日物理方程這里，E為彈性模量，G為剪切模量，μ泊松系數(shù)，且有如下關(guān)系：第四頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日平面應(yīng)力問(wèn)題的物理方程注：平面應(yīng)力狀態(tài)中，垂直于平面方向上的正應(yīng)變不為零。第五頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日平面應(yīng)變問(wèn)題的物理方程注：平面應(yīng)變狀態(tài)中，垂直于平面方向上的正應(yīng)力不為零。第六頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日平衡微分方程(1)oxyc第七頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日平衡微分方程(2)X方向力平衡：c第八頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日再證剪應(yīng)力互等對(duì)c點(diǎn)力矩平衡：c第九頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日幾何方程PABP’A’B’oxy第十頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日剛體位移Poxy第十一頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日平面問(wèn)題小結(jié)平面問(wèn)題的基本方程：三個(gè)物理方程三個(gè)幾何方程兩個(gè)平衡方程平面問(wèn)題中的未知函數(shù)：三個(gè)應(yīng)力分量三個(gè)應(yīng)變分量?jī)蓚€(gè)位移分量第十二頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日平面問(wèn)題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)PABoxyx方向力平衡：y方向力平衡：求得：同理：第十三頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日主應(yīng)力及其方向PABoxy在應(yīng)力主面上，全應(yīng)力等于主應(yīng)力，因此：第十四頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日最大正應(yīng)力與最大剪應(yīng)力第十五頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日莫爾圓推導(dǎo)應(yīng)力狀態(tài)公式2ατσO.Mohr,德國(guó)人，1835-1918。第十六頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日邊界條件位移邊界條件：應(yīng)力邊界條件：混合條件：在位移約束面上：在應(yīng)力約束面上：位移約束與應(yīng)力約束的組合。設(shè)面法線與x軸正向夾角的余玄為l，與y軸正向夾角的余玄為m。第十七頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日邊界條件舉例xyxyqp第十八頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日圣維南原理及其應(yīng)用圣維南（AdhémarJeanClaudeBarrédeSaint-Venant，1797～1886）原理：如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對(duì)于同一點(diǎn)的主矩也相同），那么近處的應(yīng)力分布將有顯著改變，但是遠(yuǎn)處所受的影響可以忽略不計(jì)。FFFFF/2FF/2F/AFF/AF/AF第十九頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日圣維南原理推廣如果物體一小部分邊界上的面力是一個(gè)平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，這個(gè)面力就只會(huì)使近處發(fā)生顯著的應(yīng)力，而遠(yuǎn)處可以不計(jì)。第二十頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日圣維南原理應(yīng)用xyh/2h/2嚴(yán)格邊界條件運(yùn)用圣維南原理的邊界條件ll第二十一頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日用位移法與應(yīng)力法求解平面問(wèn)題位移法：以位移為基本未知函數(shù)，從方程和邊界條件中消去應(yīng)力分量和形變分量，導(dǎo)出只含位移分量的方程和相應(yīng)的邊界條件，并由此解出位移分量，然后再求出形變分量和應(yīng)力分量。應(yīng)力法：以應(yīng)力分量為基本未知函數(shù)，從方程和邊界條件中消去位移分量和形變分量，導(dǎo)出只含應(yīng)力分量的方程和相應(yīng)的邊界條件，并由此解出位移分量，然后再求出形變分量和位移分量。注：課堂上只推導(dǎo)平面應(yīng)力問(wèn)題的求解方法，至于平面應(yīng)變問(wèn)題，只需要在推導(dǎo)結(jié)果上稍作改變，即將結(jié)果中：換為換為第二十二頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日按位移求解平面應(yīng)力問(wèn)題(1)

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用應(yīng)變表達(dá)應(yīng)力（物理方程）第二十三頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日按位移求解平面應(yīng)力問(wèn)題(2)

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用位移表達(dá)應(yīng)變（幾何方程）第二十四頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日按位移求解平面應(yīng)力問(wèn)題(3)

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平衡方程第二十五頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日按位移求解平面應(yīng)力問(wèn)題(4)

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邊界條件第二十六頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日按位移求解平面應(yīng)力問(wèn)題(5)

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小結(jié)按位移求解平面問(wèn)題需要：1.位移分量滿足微分方程：2.邊界條件：第二十七頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日按位移求解平面問(wèn)題(5)

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舉例y=hρgxy第二十八頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日按位移求解平面問(wèn)題(6)

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舉例y=hρgxy第二十九頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問(wèn)題(1)

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用位移表達(dá)應(yīng)變（幾何方程）形變協(xié)調(diào)方程或相容方程連續(xù)體的形變分量不是相互獨(dú)立的，它們之間必須滿足相容方程，才能保證真實(shí)的位移分量存在。第三十頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問(wèn)題(2)

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相容方程的運(yùn)用設(shè)有應(yīng)變分量：顯然其不滿足協(xié)調(diào)方程。第三十一頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問(wèn)題(3)

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用應(yīng)力表達(dá)應(yīng)變（物理方程）用應(yīng)力表達(dá)應(yīng)變并代入形變協(xié)調(diào)方程：得到：第三十二頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問(wèn)題(4)

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平衡方程代入下式消去剪應(yīng)力：得到：第三十三頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問(wèn)題(5)

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小結(jié)按應(yīng)力求解平面問(wèn)題需要：3.應(yīng)力分量滿足邊界條件和或位移單值條件：2.應(yīng)力分量滿足形變協(xié)調(diào)方程：1.應(yīng)力分量滿足平衡微分方程：第三十四頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問(wèn)題(6)

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例題y=hρgxy第三十五頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日常體力情況下的簡(jiǎn)化（1）

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應(yīng)力調(diào)和方程常體力拉普拉斯（Laplace，Pierre-Simon，1749～1827）方程，即調(diào)和方程。當(dāng)體力為常量時(shí)，在單連體的應(yīng)力邊界問(wèn)題中，如果兩個(gè)彈性體的邊界形狀以及受力分布相同，那么它們平面內(nèi)的應(yīng)力分布相同。第三十六頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日常體力情況下的簡(jiǎn)化（2）

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求解平衡方程平衡方程應(yīng)力調(diào)和方程所求的應(yīng)力函數(shù)必須滿足以下方程：其中式的解為式的通解加上式的特解：第三十七頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日常體力情況下的簡(jiǎn)化（3）

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平衡方程的特解特解一：特解二：特解三：第三十八頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日常體力情況下的簡(jiǎn)化（4）

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平衡方程的通解因此，由中第一式：由中第二式：剪應(yīng)力相等：則有：最后得到：艾里GeorgeAiry(1801-1892)應(yīng)力函數(shù)第三十九頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日常體力情況下的簡(jiǎn)化（5）

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平衡方程的解通解特解第四十頁(yè)，共四十二頁(yè)，編輯于2