逆矩陣的求法和逆矩陣的應用

/逆矩陣的幾種求法及逆矩陣的應用摘要：在現(xiàn)代數(shù)學中.矩陣是一個非常有效而且應用廣泛的工具.而逆矩陣則是矩陣理論中一個非常重要的概念。關于逆矩陣的求法及逆矩陣的應用的探討具有非常重要的意義。目前.對于逆矩陣的求法及其應用領域的研究已比較成熟。本文將對逆矩陣的定義、性質(zhì)、判定方法及求法進行總結.并初步探討矩陣的逆在編碼、解碼等方面的應用。關鍵詞：矩陣逆矩陣逆矩陣的求法逆矩陣的應用ThemethodsforidentifyinginversematrixandapplicationofinversematrixAbstract:Inmodernmathematics.matrixisaneffectivetoolwithextensiveapplication.andinversematrixisasignificantconceptinmatrixtheory.Thedisdussaboutthewaytoevaluatinginversematrixanditsapplicationisofanimportantmeaningwithmaturedevelopmentatpresent.Thispaperwillsummarizethedefinitionandpropertiesofinversematrixanddisscussthemethodsevaluatinginversematrix.Wewillalsotalkabouttheapplicationofinversematrix,especiallyitsapplicationinencodinganddecoding.Keywords:MatrixInversematrixThewaytoevaluatinginversematrixApplicationofinversematrix一：引言在現(xiàn)代數(shù)學中.矩陣是一個有效而應用廣泛的工具。在矩陣理論中.逆矩陣又一個非常重要的概念。本文將對矩陣可逆性的由來及逆矩陣的定義、性質(zhì)、判定方法進行探討.并進一步了解逆矩陣在現(xiàn)代數(shù)學中的應用.以激發(fā)學生的學習興趣.讓學生進一步了解逆矩陣的應用.從而提高教育教學質(zhì)量。二：矩陣的逆的定義對于n矩陣A.如果存在一個n矩陣B.使得AB=BA=E〔E為單位矩陣.那么說矩陣A可逆.并把矩陣B稱為A的逆矩陣。記A的逆矩陣為A.三：可逆矩陣的性質(zhì)1、如果矩陣A、B均可逆,那么矩陣AB可逆.其逆矩陣為BA.〔推廣：如果矩陣A1.A2,……An均可逆,那么矩陣A1A2…An可逆.其逆陣為An…A2A12、如果A可逆.那么可逆.且=A；3、如果A可逆.那么可逆.且.4、.5、如果A可逆.數(shù).那么可逆.且；6、如果矩陣A的逆存在.那么該逆矩陣唯一。以上結論見文獻[1]四：矩陣可逆的幾種判別方法設矩陣A為n階方陣.那么A可逆的充要條件有：1、存在n階方陣B.使得AB=I；2、對PAQ=.其中P為s矩陣.Q為n×m矩陣.r〔A=n；3、；4、是非退化矩陣.5、A的行向量〔列向量組線性無關；6、A可由一系列初等矩陣的乘積表示；7、A可經(jīng)過一系列初等行變換〔列變換化成單位矩陣I；8、齊次線性方程組AX=0只有零解.以上結論見文獻[1][8]五：逆矩陣的幾種求法〔一定義法定義：矩陣A為n階方陣.如果存在n階方陣B.使得AB=E,那么稱A可逆.稱B為A的逆矩陣.記為.求矩陣的逆矩陣.解：因為≠0,所以存在.設,由定義知A=E,所以=.由矩陣乘法得=.由矩陣相等可解得;;.故〔二伴隨矩陣法定理：n階矩陣A可逆的充分必要條件是A非退化.且.其中.Aij是|A|中元素aij的代數(shù)余子式.矩陣稱為矩陣A的伴隨矩陣.記作A*.即有A-1=EQEQ\F<1,|A|>A*.該定理見文獻[1]注⑴此方法適用于計算階數(shù)較低矩陣〔一般不超過3階的逆.或用于元素的代數(shù)余子式易于計算的矩陣求逆。注意A*=〔Ajin×n的元素位置以及各元素的符號。特別地.對于2階方陣.其伴隨矩陣為.⑵對于分塊矩陣.上述求伴隨矩陣的規(guī)律不適用.例2：已知.求A-1.解:∵=-1≠0∴A可逆.由已知得A-1=EQEQ\F<1,|A|>A*=〔三行<列>初等變化法設n階矩陣A.作n×2n矩陣.對該矩陣作初等行變換.如果把子塊A變?yōu)?那么子塊變?yōu)?即由[A,E]作初等行變換得[E,A-1].所得的即為A的逆矩陣.注⑴對于階數(shù)較高的矩陣〔n≥3.用初等行變換法求逆矩陣.一般比用伴隨矩陣法簡便.用上述方法求逆矩陣.只允許作初等行變換.⑵也可以利用求得A的逆矩陣.⑶若矩陣A可逆.可利用得A-1B和CA-1.這一方法的優(yōu)點是不需求出A的逆矩陣和進行矩陣乘法僅通過初等變換.即求出了A-1B或CA-1.例3：用初等行變換求矩陣的逆矩陣.解：所以〔四用Cramer法則求矩陣的逆若線性方程組的系數(shù)行列式.則此方程組有唯一的一組解.這里是將中的第i列換成得到的行列式.定理1若以=<1,0,0,……,0>,=<0,1,0,?,0>,?,=<0,0,……,1>表示Fn<Fn表示數(shù)域F上的n維行向量空間>上的一組標準基,那么Fn中任一向量=<a1,a2,……,an>都能且只能表示為:=a1+a2+……+an的形式,這里ai∈F<i=1,2,……,n>.定理2若稱矩陣A與矩陣B相乘所得的矩陣為AB.以A的第i行右乘以B.其乘積即為矩陣AB的第i行.求矩陣的逆可用以下方法:令n階可逆矩陣A=<aij>,A的行向量分別為,,……,,其中=<a11,a12,……,a1n>,<i=1,2,……,n>,由定理1得:=Σaij<i=1,2,?,n>.解方程組〔,,?,為未知量,由于系數(shù)行列式D=|A|≠0<因為A可逆>,所以,由Cramer法則可得唯一解:=bj1+bj2+?+bjn<j=1,2,?,n>.其中Dj是用方程組的常數(shù)項α1,α2,?,αn替換行列式D的第j列的元素得到的n階行列式.由定理2可得:BA=I<I為單位矩陣>,從而有A-1=B.其中B=<bij>.以上定理見文獻[1]、[7]、[8]下面舉例說明這種方法.例4：求矩陣的逆矩陣.解：矩陣A的行向量為.由標準基表示為：解以為未知量的方程組得：所以〔五解方程組求逆矩陣由可逆矩陣的上三角<下三角>矩陣的逆仍為上三角<下三角>矩陣,且對于上<下>三角矩陣的逆矩陣.其主對角元分別為上<下>三角矩陣對應的主對角元的倒數(shù),可設出逆矩陣的待求元素;又由A-1A=E兩端對應元素相等,依次可得只含有一個待求元素的方程,因而待求元素極易求得,此法常用元素待求上<下>三角矩陣的逆矩陣.例5：求的逆矩陣.解：設,先求A-1中主對角線下的次對角線上的元素,..設E為4階單位矩陣,比較的兩端對應元素,得：解得.解得.解得.解得.及所求的逆矩陣為〔六求三角矩陣的逆的一種方法定理：若如果n階矩陣可逆.則它的逆矩陣為其中例6：求上三角陣的逆矩陣.解：由定理知〔七用分塊矩陣求逆矩陣設矩陣A為m階可逆矩陣.B為n階可逆矩陣.則：例7：已知.求A-1.解：將A分塊如下：可求得〔八用恒等變形法求矩陣的逆有些計算題看似與求逆矩陣無關,但實際上卻能發(fā)現(xiàn).這些題是計算需要求出逆矩陣的.需將給定矩陣等式作恒等變形.且通?；癁閮删仃嚦朔e等于單位矩陣的形式。例8：已知.試求并證明,其中.解:由.得.故,而A為正交矩陣,.所以〔九拼接新矩陣：在可逆矩陣A的右方補加上一個單位矩陣E,在A的下方補加上一個負單位矩陣-E,再在A的右下方補加上一個零矩陣O,從而得到一個新的方陣.對該方陣施行第三種行的初等變換,使其負單位矩陣-E化為零矩陣,那么原來的零矩陣O所化得的矩陣就是所要求的逆矩陣A-1.例9：求矩陣的逆矩陣A-1.解:因為.所以存在構造矩陣有：將第一行依次乘以-2.-3和1.分別加到第二行、第三行和第五行.得：將第二行依次乘以-1和1.分別加到第三行和第四行.得：再將第三行依次乘以-3、2和-1.分別加到第四行、第五行、第六行.得：故：〔十.用Hamilton-Caley定理求逆矩陣Hamilton-Caley定理:設A是數(shù)域P上的n階矩陣為A的特征多項式.則所以由此.可知例10：已知.求A-1.解：A的特征多項式由Hamilton-Caley定理可知.所以〔十一.和化積法對于有些涉及矩陣和的問題.要先判斷方陣之和A+B的非退化性.并求出它的逆矩陣。則此時A+B可直接轉(zhuǎn)化為〔A+BC=E的形式,從而得出結論.A+B非退化.且=C.或?qū)+B表示為幾個已知的非退化陣之積.并得出它的逆矩陣.例11.證明:如果=0,那么E-A是非退化的.并求.證明：因為.所以是非退化的.且=.六：逆矩陣在編碼解碼方面的應用矩陣密碼學是信息編碼和解碼的技術.其中一種利用了可逆矩陣的方法。首先.在26個英文字母和數(shù)字之間建立對應關系.例如.可以是AB……YZ………………12……2526使用上面的代碼.則該信息的編碼是19,5,14,4,13.15,14,5,25.其中5代表字母E。遺憾的是.這個編碼表示的對應關系較為簡易.人們很輕易就能破譯。如果一個信息編碼比較長.那么人們會找出那個出現(xiàn)頻率最高的數(shù)值.并且猜出它代表哪個字母。比如.以上編碼中.出現(xiàn)次數(shù)最頻繁的編碼值是5.所以人們很自然地會認為.5代表字母E.因由統(tǒng)計規(guī)律我們可以知道.在英文單詞中.字母E出現(xiàn)的頻率最高。利用矩陣的乘法.我們可以對英文信息"SENDMONEY"進行加密.讓其由明文轉(zhuǎn)換成密文.然后再進行傳遞發(fā)送。這樣.信息一經(jīng)處理.就能有效地對非法用戶破譯編碼增加一定的難度.而又為合法用戶找到一條輕松解密的途徑。若存在一個矩陣A.它的元素均為整數(shù).而且它的行列式=1.那么由伴隨矩陣求逆公式可知.的元素也都是整數(shù)。我們可以通過這樣的方法.利用矩陣A來對明文進行加密.從而增加加密之后的密文的破譯難度。現(xiàn)在取A=用三列將明文"SENDMONEY"所對應的9個數(shù)值按以下方法排列.可得矩陣B=矩陣乘積AB=對應上數(shù)矩陣.發(fā)出去的密文編碼為43.105.81.45.118.77.49.128.93.合法用戶可用A-1左乘上述矩陣.即可得到明文從而解密。為了構造"密鑰"矩陣A.我們可以進行有限次的初等行變換.從單位陣I開始對矩陣作變換.為了方便.通常我們只用某行的整數(shù)倍加到另一行。這樣.我們可以得到一個元素均為整數(shù)的矩陣A。并且由于=1.我們可以知道的元素也必然都是整數(shù)。參考文獻[1]王萼芳.石生明.高等代數(shù)〔第三版[M].北京：高等教育出版社.2003.[2]閆曉紅.高等代數(shù)全程導學及習題全解[M].北京：中國時