北京李二泗中學2021-2022學年高一數(shù)學文期末試卷含解析

北京李二泗中學2021-2022學年高一數(shù)學文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.（5分）下列說法正確的個數(shù)是（）①正切函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增；②函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上滿足f（a）f（b）＜0，則函數(shù)f（x）在（a，b）上有零點；③的圖象關于原點對稱；④若一個函數(shù)是周期函數(shù)，那么它一定有最小正周期． A． 0個 B． 1個 C． 2個 D． 3個參考答案：B考點： 命題的真假判斷與應用．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應用；簡易邏輯．分析： 由正切函數(shù)的圖象可知正確函數(shù)在整個定義域上不單調(diào)，有無數(shù)個單調(diào)增區(qū)間；若f（a）f（b）＜0，但函數(shù)在兩端點處不連續(xù)，則不一定在（a，b）上有零點；由定義判斷出是奇函數(shù)說明③正確；舉例說明④錯誤．解答： ①正切函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，錯誤，正確函數(shù)在整個定義域上不單調(diào)，有無數(shù)個單調(diào)增區(qū)間；②函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上滿足f（a）f（b）＜0，則函數(shù)f（x）在（a，b）上有零點，錯誤，若函數(shù)在兩端點處不連續(xù)，則不一定在（a，b）上有零點；③函數(shù)的定義域為R，且====﹣f（x），∴f（x）為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，正確；④若一個函數(shù)是周期函數(shù)，那么它一定有最小正周期，錯誤，例如常數(shù)函數(shù)f（x）=1是周期函數(shù)，但無最小正周期．∴正確的命題是③．故選：B．點評： 本題考查了命題的真假判斷與應用，考查了函數(shù)的性質(zhì)，考查了函數(shù)零點的判定方法，是中檔題．2.一船沿北偏西45°方向航行，看見正東方向有兩個燈塔A，B，AB=10海里，航行半小時后，看見一燈塔在船的南偏東60°，另一燈塔在船的南偏東75°，則這艘船的速度是每小時（）A．5海里 B．5海里 C．10海里 D．10海里參考答案：D【考點】HU：解三角形的實際應用．【分析】根據(jù)題意作出對應的三角形，結合三角形的邊角關系即可得到結論．【解答】解：如圖所示，∠COA=135°，∠AOC=∠ACB=∠ABC=15°，∠OAC=30°，AB=10，∴AC=10．△AOC中，由正弦定理可得，∴OC=5，∴v==10，∴這艘船的速度是每小時10海里，故選：D．3.已知O是平面上的一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足，，則射線AP一定通過△ABC的（

）A．外心

B．內(nèi)心

C．重心

D．垂心

參考答案：D略4.已知是一次函數(shù)，且，則解析式為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略5.已知f（tanx）=sin2x，則f（﹣1）的值是（）A．1 B．﹣1 C． D．0參考答案：B【考點】函數(shù)的值．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應用．【分析】由已知得f（﹣1）=f（tan135°）=sin270°=﹣1．【解答】解：∵f（tanx）=sin2x，∴f（﹣1）=f（tan135°）=sin270°=﹣1．故選：B．【點評】本題考查函數(shù)值的求法，是基礎題，解題時要注意函數(shù)性質(zhì)的合理運用．6.（5分）已知空間兩條不同的直線m，n和兩個不同的平面α，β，則下列命題中正確的是（） A． 若m∥α，n?α，則m∥n B． 若α∩β=m，m⊥n，則n⊥α C． 若m∥α，n∥α，則m∥n D． 若m∥α，m?β，α∩β=n，則m∥n參考答案：D考點： 空間中直線與平面之間的位置關系．專題： 證明題．分析： D為線面平行的判定定理，故正確．而A、B、C可在熟悉的幾何體如正方體中舉反例即可．解答： A中m∥α，m與α無公共點，故l與α內(nèi)的直線平行或異面，故A錯誤；B中n與α可以是任意的位置關系，故B錯誤；C中m與n可以是任意的位置關系，故C錯誤；D為線面平行的判定定理，故正確．故選D點評： 本題考查空間的位置關系，考查邏輯推理能力和空間想象能力．7.對于兩隨機事件A，B若P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，則事件A，B的關系是（）A．互斥且對立 B．互斥不對立C．既不互斥也不對立 D．以上均有可能參考答案：D【考點】C4：互斥事件與對立事件．【分析】通過理解互斥與對立事件的概念，核對四個選項即可得到正確答案．【解答】解：若是在同一試驗下，由P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，說明事件A與事件B一定是對立事件，但若在不同試驗下，雖然有P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，但事件A和B也不見得對立，所以事件A與B的關系是不確定的．故選：D8.在中，已知，那么一定是

（

）A．直角三角形

B．等腰三角形

C．等腰直角三角形

D．正三角形參考答案：B9.同時具有性質(zhì)“①最小正周期是π，②圖象關于x=對稱，③在上是增函數(shù)”的一個函數(shù)是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】正弦函數(shù)的對稱性；正弦函數(shù)的單調(diào)性．【分析】利用正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的周期性、對稱性與單調(diào)性判斷即可．【解答】解：對于y=f（x）=sin（2x﹣），其周期T==π，f（）=sin=1為最大值，故其圖象關于x=對稱，由﹣≤2x﹣≤得，﹣≤x≤，∴y=f（x）=sin（2x﹣）在上是增函數(shù)，即y=f（x）=sin（2x﹣）具有性質(zhì)①②③，故選：A．10.下列函數(shù)中與函數(shù)y=x相等的函數(shù)是(

)A． B．y= C． D．y=log22x參考答案：D【考點】判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應用．【分析】判斷函數(shù)相等，先求出每個函數(shù)的定義域，然后判斷與y=x的定義域是否相同，然后再判斷解析式是否相同或可以化成相同的情況，即對應關系是否相同y=|x|．【解答】解：函數(shù)y=x的定義域為R，對應關系為y=x．對于A，函數(shù)y=的定義域為[0，+∞），故與y=x不是相同函數(shù)，故A錯誤；對于B，函數(shù)解析式可化為y=|x|，所以對應關系不同，故B錯誤；對于C．定義域為（0，+∞），故C錯誤；對于D，易知函數(shù)，該函數(shù)的定義域為R，所以該函數(shù)與y=x相同．故選D．【點評】本題考查了函數(shù)相等的概念，主要是從定義域、對應關系兩個方面來考慮．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知角的終邊經(jīng)過點,則參考答案：因為，所以，故填.

12.對于函數(shù)f(x)＝2cos2x＋2sinxcosx－1(x∈R)給出下列命題：①f(x)的最小正周期為2π；②f(x)在區(qū)間[，]上是減函數(shù)；③直線x＝是f(x)的圖像的一條對稱軸；④f(x)的圖像可以由函數(shù)y＝sin2x的圖像向左平移而得到．其中正確命題的序號是________(把你認為正確的都填上)．參考答案：②③略13.已知數(shù)列{an}滿足：，其前n項的和為Sn，則_____，當Sn取得最小值時，n的值為______.參考答案：－39

8【分析】根據(jù)數(shù)列的通項公式判斷出數(shù)列是等差數(shù)列，并求得首項和公差，進而求得的值.利用，求得當為何值時，取得最小值.【詳解】由于，故是等差數(shù)列，且首項，公差.所以.令，解得，故當時，取得最小值.【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列通項公式，考查等差數(shù)列前項和公式，考查等差數(shù)列前項和的最小值有關問題的求解，屬于基礎題.14.已知是等比數(shù)列，，，則公比______________．參考答案：15.數(shù)列1,2,3,4,5,…,…,的前n項之和等于

．參考答案：16.在等比數(shù)列{an}中，Sn為其前n項和，已知a5=2S4+3，a6=2S5+3，則此數(shù)列的公比q=

，a4，a6的等比中項為

，數(shù)列的最大值是

．參考答案：3，±243，．【考點】88：等比數(shù)列的通項公式．【分析】對于第一空：根據(jù)已知條件得出2S5﹣2S4=a6﹣3﹣（a5﹣3）=a6﹣a5=2a5，得出3a5=a6，然后根據(jù)兩項的關系得出3a5=a5q，答案可得q的值；對于第二空：由a5=2S4+3求得a1的值，易得該數(shù)列的通項公式，求出a4，a6的值，由等比中項的性質(zhì)計算可得答案；對于第三空：設bn=，計算可得數(shù)列的通項公式為bn=，分析可得bn+1﹣bn=﹣=，結合n的范圍可得bn+1﹣bn=＜0，即數(shù)列bn=為遞減數(shù)列，可得n=1時，數(shù)列有最大值，將n=1代入計算可得答案．【解答】解：∵a5=2S4+3，a6=2S5+3，即2S4=a5﹣3，2S5=a6﹣3∴2S5﹣2S4=a6﹣3﹣（a5﹣3）=a6﹣a5=2a5即3a5=a6∴3a5=a5q解得q=3，則由a5=2S4+3得到：34a1=2×+3，解得a1=3，則a4=a1×q3=34，a6=a1×q5=36，則a4，a6的等比中項為±=±243，設bn=，又由a1=3，q=3，則an=a1×qn﹣1=3n，則有=，即數(shù)列的通項公式為bn=，bn+1﹣bn=﹣=，當n≥1時，有bn+1﹣bn=＜0，即數(shù)列bn=為遞減數(shù)列，則其最大值為b1==；故答案為：3，±243，．17.一貨輪航行到M處測得燈塔S在貨輪的北偏東相距20海里處，隨后貨輪按北偏西的方向航行，半小時后，又測得燈塔在貨輪的北偏東處，則貨輪航行的速度為

海里/小時．參考答案：海里/小時

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)，（Ⅰ）用“五點法”畫出該函數(shù)在一個周期內(nèi)的簡圖；（Ⅱ）寫出該函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．ks5u參考答案：解：（Ⅰ）列表，描點，連線0xy131-11（Ⅱ）單調(diào)遞減區(qū)間：，或結合圖象得：略19.（本小題滿分12分）定義在上的函數(shù)，如果滿足：對任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是上的有界函數(shù)，其中稱為函數(shù)的上界.已知函數(shù)，（1）當時，求函數(shù)在上的值域，并判斷函數(shù)在上是否為有界函數(shù)，請說明理由；（2）若函數(shù)在上是以4為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.參考答案：⑴解：（1）當時，,令，因為在上單調(diào)遞增，，即在的值域為故不存在常數(shù)，使成立，所以函數(shù)在上不是有界函數(shù)。（2）由題意知，對恒成立。，令∴

對恒成立………9分∴設，，由，由于在上遞增，在上遞減，在上的最大值為，

在上的最小值為所以實數(shù)的取值范圍為。20.已知函數(shù)，x∈R．（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最小值和最大值，并求出取得最值時x的值．參考答案：【考點】三角函數(shù)的周期性及其求法；余弦函數(shù)的單調(diào)性；三角函數(shù)的最值．【分析】對于（1）首先分析題目中三角函數(shù)的表達式為標準型，則可以根據(jù)周期公式，遞增區(qū)間直接求解即可．對于（2）然后可以根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)解出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再分別求出最大值最小值．【解答】解（1）因為．所以函數(shù)f（x）的最小正周期為，由單調(diào)區(qū)間﹣π+2kπ≤，得到故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為k為正整數(shù)．（2）因為在區(qū)間上為增區(qū)間，在區(qū)間上為減函數(shù)，又，故函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最大值為，此時x=：最小值為﹣1，此時x=．21.（18分）（2010秋?溫州校級期末）設a是實數(shù)，．（1）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，求a的值；（2）試證明：對于任意a，f（x）在R上為單調(diào)函數(shù)；（3）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且不等式f（k?3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0對任意x∈R恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．參考答案：【考點】奇偶性與單調(diào)性的綜合；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．

【專題】數(shù)形結合；分類討論；轉化思想．【分析】（1）函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，故可得f（x）+f（﹣x）=0，由此方程求a的值；（2）證明于任意a，f（x）在R上為單調(diào)函數(shù)，由定義法證明即可，設x1，x2∈R，x1＜x2，研究f（x1）﹣f（x2）的符號，根據(jù)單調(diào)性的定義判斷出結果．（3）因為f（x）在R上為增函數(shù)且為奇函數(shù)，由此可以將不等式f（k?3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0對任意x∈R恒成立，轉化為k?3x＜﹣3x+9x+2即32x﹣（1+k）3x+2＞對任意x∈R恒成立，再通過換元進一步轉化為二次不等式恒成立的問題即可解出此時的恒成立的條件．【解答】解：（1）∵，且f（x）+f（﹣x）=0∴，∴a=1（注：通過f（0）=0求也同樣給分）（2）證明：設x1，x2∈R，x1＜x2，則==∵x1＜x2，∴∴f（x1）﹣f（x2）＜0即∴f（x1）＜f（x2）所以f（x）在R上為增函數(shù)．（3）因為f（x）在R上為增函數(shù)且為奇函數(shù)，由f（k?3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0得f（k?3x）＜﹣f（3x﹣9x﹣2）=f（﹣3x+9x+2）∴k?3x＜﹣3x+9x+2即32x﹣（1+k）3x+2＞對任意x∈R恒成立，令t=3x＞0，問題等價于t2﹣（1+k）t+2＞0，其對稱軸當即k＜﹣1時，f（0）=2＞0，符合題意，當即對任意t＞0，f（t）＞0恒成立，等價于解得﹣1≤k＜﹣1+2綜上所述，當k＜﹣1+2時，不等式f（k?3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0對任意x∈R恒成立．