勾股定理的逆定理-

1課堂講解2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)課后作業(yè)逆命題、逆定理勾股定理的逆定理勾股數(shù)勾股定理

如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2＋b2＝c21知識(shí)點(diǎn)逆命題、逆定理如果兩個(gè)命題的題設(shè)、結(jié)論正好相反，那么這

兩個(gè)命題稱為互逆命題，如果把其中一個(gè)叫做

原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題．2．如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明是正確的，那

么它也是一個(gè)定理，稱其為原定理的逆定理，

這兩個(gè)定理稱為互逆定理．導(dǎo)引：根據(jù)題目要求，先判斷原命題的真假，再將原命題

的題設(shè)和結(jié)論互換，寫(xiě)出原命題的逆命題，最后判

斷逆命題的真假．例1判斷下列命題的真假，寫(xiě)出逆命題，并判斷逆命題

的真假：(1)如果兩條直線相交，那么它們只有一個(gè)交點(diǎn)；(2)如果a＞b，那么a2＞b2；(3)如果兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，那么它們的和為零；(4)如果ab＜0，那么a＞0，b＜0.解：(1)原命題是真命題．逆命題為：如果兩條直線只有一個(gè)交點(diǎn)，那么它們相交．逆命題是真命題．(2)原命題是假命題．逆命題為：如果a2＞b2，那么a＞b.逆命題是假命題．(3)原命題是真命題．逆命題為：如果兩個(gè)數(shù)的和為

零，那么它們互為相反數(shù)．逆命題是真命題．(4)原命題是假命題．逆命題為：如果a＞0，b＜0，那么ab＜0.逆命題是真命題．(1)如果兩條直線相交，那么它們只有一個(gè)交點(diǎn)；(2)如果a＞b，那么a2＞b2；(3)如果兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，那么它們的和為零；(4)如果ab＜0，那么a＞0，b＜0.總

結(jié)

寫(xiě)出逆命題的關(guān)鍵是分清楚原命題的題設(shè)和結(jié)論，然后將它的題設(shè)和結(jié)論交換位置就得到這個(gè)命題的逆命題．判斷一個(gè)命題是真命題需要進(jìn)行邏輯推理，判斷一個(gè)命題是假命題只需要舉出一個(gè)反例就可以了．1

說(shuō)出下列命題的逆命題.這些逆命題成立嗎？(1)兩條直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；(2)如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的絕對(duì)值相等；(3)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；(4)在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角

的平分線上.(1)逆命題：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩條直線平行．逆命題

成立．(2)逆命題：如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值相等，那么這

兩個(gè)實(shí)數(shù)相等．逆命題不成立．(3)逆命題：三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．

逆命題不成立．(4)逆命題：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相

等．逆命題成立．解：已知下列命題：①若a>b，則ac>bc；②若a＝1，則

＝a；③內(nèi)錯(cuò)角相等．其中原命題與逆命題均為真命題的個(gè)數(shù)是(

)A．0B．1C．2D．32A下列定理中，沒(méi)有逆定理的是(

)A．直角三角形的兩銳角互余B．若三角形三邊長(zhǎng)a，b，c(其中a＜c，b＜c)

滿足a2＋b2＝c2，則該三角形是直角三角形C．全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等D．互為相反數(shù)的兩數(shù)之和為03C2知識(shí)點(diǎn)勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理

如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2勾股定理

如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足那么這個(gè)三角形是直角三角形.a2+b2=c2互逆定理例2判斷由線段a，b，c組成的三角形是不是直角三角形：(1)a=15，b=8，c=17；(2)a=13，b=14，c=15.分析：根據(jù)勾股定理及其逆定理，判斷一個(gè)三角形是不是直

角三角形，只要看兩條較小邊長(zhǎng)的平方和是否等于最

大邊長(zhǎng)的平方.解：(1)因?yàn)?52+82=225+64=289,172=289，所以152+82=172

，

根據(jù)勾股定理的逆定理，這個(gè)三角形是直角三角形.(2)因?yàn)?32+142=169+196=365，152=225，所以132+142≠

152，根據(jù)勾股定理，這個(gè)三角形不是直角三角形.總

結(jié)

判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形有兩種方法：(1)利用定義，即如果已知條件與角度有關(guān)，可借助三角

形的內(nèi)角和定理判斷；(2)利用直角三角形的判定條件，即若已知條件與邊有關(guān)，

一般通過(guò)計(jì)算得出三邊的數(shù)量關(guān)系(即a2＋b2＝c2)來(lái)判

斷，看是否符合較短兩邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方．例3如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上.“遠(yuǎn)航”

號(hào)、“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開(kāi)港口，各自沿一固

定方向航行，“遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行16nmile，

“海天”號(hào)每小時(shí)航行12nmile.它們離開(kāi)港口一個(gè)

半小時(shí)后分別位于點(diǎn)Q，R處，且相距30nmile.如

果知道“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方

向航行，能知道“海天”號(hào)

沿哪個(gè)方向航行嗎？分析：在圖中可以看到，由于“遠(yuǎn)航”號(hào)的航向已知，

如果求出兩艘輪船的航向所成的角，就能知道

“海天”號(hào)的航向了.解：根據(jù)題意，PQ=16×1.5=24，PR=12×1.5=18，

QR=30.

因?yàn)?42+182=302，即PQ2+PR2=QR2，

所以∠QPR=90°.

由“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行可知，∠1=45°.

因此∠2=45°，即“海天”號(hào)沿西北方向航行.總

結(jié)

用數(shù)學(xué)幾何知識(shí)解決生活實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是：建模思想，即將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題；這里要特別注意弄清實(shí)際語(yǔ)言與數(shù)學(xué)語(yǔ)言間的關(guān)系；如本例中：“點(diǎn)與點(diǎn)之間的最短路線”就是“連接這兩點(diǎn)的線段”，“點(diǎn)與直線的最短距離”就是“點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)”．1

如果三條線段長(zhǎng)a，b，c滿足a2=c2–b2，這三

條線段組成的三角形是不是直角三角形？為

什么？這三條線段組成的三角形是直角三角形，因?yàn)槿龡l線段長(zhǎng)a，b，c滿足a2＝c2－b2，即a2＋b2＝c2，根據(jù)勾股定理的逆定理可知，三角形是直角三角形．解：2在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，且(a＋b)(a－b)＝c2，則(

)A．∠A為直角

B．∠B為直角C．∠C為直角

D．△ABC不是直角三角形A3五根小木棒，其長(zhǎng)度(單位：cm)分別為7，15，20，24，25，現(xiàn)將它們擺成兩個(gè)直角三角形，

其中正確的是(

)C如圖，△ABC的頂點(diǎn)在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，若小方格的邊長(zhǎng)為1，則△ABC是(

)A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．以上都不對(duì)4B△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，下列條件：①∠A＝∠B－∠C；②∠A：∠B：∠C＝3：4：5；③a2＝(b＋c)(b－c)；④a：b：c＝5：12：13.其中能判定△ABC是直角三角形的有(

)A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)5C3知識(shí)點(diǎn)勾股數(shù)勾股數(shù)：能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)

正整數(shù)．

常見(jiàn)的勾股數(shù)有：3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25；9，40，41；….2．判斷勾股數(shù)的方法：(1)確定是否是三個(gè)正整數(shù)；(2)確定最大數(shù)；(3)計(jì)算：看較小兩數(shù)的平方和是否等于最大數(shù)的

平方．導(dǎo)引：根據(jù)勾股數(shù)的定義：滿足a2＋b2＝c2的三個(gè)正整數(shù)a，b，c稱為勾股數(shù)．A.62＋72≠82，不能構(gòu)成勾

股數(shù)，故錯(cuò)誤；B.52＋82≠132，不能構(gòu)成勾股數(shù)，

故錯(cuò)誤；C.1.5和2.5不是整數(shù)，所以不能構(gòu)成勾股

數(shù)，故錯(cuò)誤；D.212＋282＝352，能構(gòu)成勾股數(shù)，故

正確．故選D.例4

下面四組數(shù)中是勾股數(shù)的一組是(

)A．6，7，8

B．5，8，13

C．1.5，2，2.5

D．21，28，35D總

結(jié)

確定勾股數(shù)的方法：首先看這三個(gè)數(shù)是否是正整數(shù)；然后看較小兩個(gè)數(shù)的平方和是否等于最大數(shù)的平方，記住常見(jiàn)的勾股數(shù)(3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25)可以提高解題速度．1下面幾組數(shù)中，為勾股數(shù)的一組是(

)A．4，5，6B．12，16，20C．－10，24，26D．2.4，4.5，5.1B給出下列命題：①如果a，b，c為一組勾股數(shù)，那么4a，4b，4c仍是一組勾股數(shù)；②如果直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3和4，那么另一邊長(zhǎng)的平方必為25；③如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是12，25，21，那么此三角形必是直角三角形；④一個(gè)等腰直角三角形的三邊長(zhǎng)分別是a，b，c，其中a是斜邊長(zhǎng)，那么a2∶b2∶c2＝2∶1∶1.其中正確的是(

)A．①②B．①③C．①