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浙江省紹興市崧廈鎮(zhèn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.對(duì)實(shí)數(shù)和,定義運(yùn)算“”:.設(shè)函數(shù),.若函數(shù)的圖象與軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是(
)
A.B.C.D.參考答案:B略2.(5分)已知A=B=R,x∈A,y∈B,f:x→y=ax+b是從A到B的映射,若1和8的原象分別是3和10,則5在f下的象是() A. 3 B. 4 C. 5 D. 6參考答案:A考點(diǎn): 映射.專題: 簡(jiǎn)易邏輯.分析: A=B=R,x∈A,y∈B,f:x→y=ax+b是從A到B的映射,1和8的原象分別是3和10,可以根據(jù)象與原像的關(guān)系滿足f(x)=ax+b,列出不等式求出a,b的值,進(jìn)而得到答案.解答: A=B=R,x∈A,y∈B,f:x→y=ax+b是從A到B的映射,又1和8的原象分別是3和10,∴,解得:,即f:x→y=x﹣25在f下的象可得f(5)=1×5﹣2=3,故選A;點(diǎn)評(píng): 此題主要考查映射的定義及其應(yīng)用,注意象與原象的對(duì)應(yīng)關(guān)系,此題是一道基礎(chǔ)題;3.已知定義在上的函數(shù)和,其圖象如下圖所示:給出下列四個(gè)命題:①方程有且僅有6個(gè)根
②方程有且僅有3個(gè)根③方程有且僅有5個(gè)根
④方程有且僅有4個(gè)根來源:學(xué)#科#網(wǎng)其中正確命題的序號(hào)是(
)[A.①②③
B.②③④
C.①②④
D.①③④
參考答案:D略4.(3分)函數(shù)y=在區(qū)間(k﹣1,k+1)上是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是() A. (﹣2,0) B. C. (﹣∞,﹣2)∪(0,+∞) D. (﹣∞,﹣2]∪(k∈Z) B. (k∈Z) C. (k∈Z) D. (k∈Z)參考答案:A考點(diǎn): 函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換.專題: 三角函數(shù)的求值;三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).分析: 由已知可得:+φ=2k,k∈Z從而可解得φ的值,即可得g(x)=2cos(2x﹣)+1,從而由2kπ﹣π≤2x﹣≤2kπ可解得單調(diào)遞增區(qū)間.解答: ∵f()=sin(+φ)=1,∴可得:+φ=2k,k∈Z∴可解得:φ=2kπ﹣,k∈Z∴g(x)=2cos(2x+2kπ﹣)+1=2cos(2x﹣)+1∴由2kπ﹣π≤2x﹣≤2kπ可解得:x∈(k∈Z)故選:A.點(diǎn)評(píng): 本題主要考查了余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.5.已知集合A={1,a},B={x|x2﹣5x+4<0,x∈Z},若A∩B≠?,則a等于()A.2 B.3 C.2或4 D.2或3參考答案:D【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算.【分析】解不等式求出集合B,進(jìn)而根據(jù)A∩B≠?,可得b值.【解答】解:∵B={x|x2﹣5x+4<0,x∈Z}={2,3},集合A={1,a},若A∩B≠?,則a=2或a=3,故選:D.6.設(shè)A={4,5,6,7},B={x∈N|3≤x<6},則A∩B=()A.{4,5,6} B.{4,5} C.{3,4,5} D.{5,6,7}參考答案:B【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算.【分析】由A與B,求出兩集合的交集即可.【解答】解:∵A={4,5,6,7},B={x∈N|3≤x<6},∴A∩B={4,5},故選:B.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了交集及其運(yùn)算,熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵.7.在遞減數(shù)列{an}中,an=﹣2n2+λn,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍是()A.(﹣∞,2) B.(﹣∞,3) C.(﹣∞,4) D.(﹣∞,6)參考答案:D【考點(diǎn)】數(shù)列的函數(shù)特性.【分析】由數(shù)列{an}是遞減數(shù)列,可得an+1<an,化簡(jiǎn)利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出.【解答】解:∵數(shù)列{an}是遞減數(shù)列,∴an+1<an,∴﹣2(n+1)2+λ(n+1)<﹣2n2+λn,化為:λ<4n+2,∵數(shù)列{4n+2}為單調(diào)遞增數(shù)列,∴λ<6,∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍是(﹣∞,6).故選:D.8.函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖,此函數(shù)的解析式為(
)A.
B.C.
D.參考答案:A9.函數(shù)的一條對(duì)稱軸可以是直線(
)
A.
B.
C.
D.參考答案:B10.下列四組函數(shù)中與是同一函數(shù)的是(
)A.
B.C.f(x)=|x|,g(x)=
D.f(x)=,g(x)=參考答案:C對(duì)于A,定義域不同,不是同一函數(shù);對(duì)于B,定義域不同,不是同一函數(shù);對(duì)于C,,定義域相同,對(duì)應(yīng)法則也相同,滿足題意;對(duì)于D,,g(x)=定義域不同,不是同一函數(shù),故選:C
二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.(4分)已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的方程為x2+y2=﹣2y+3,直線l過點(diǎn)(1,0)且與直線x﹣y+1=0垂直.若直線l與圓C交于A、B兩點(diǎn),則△OAB的面積為
.參考答案:2考點(diǎn): 直線與圓的位置關(guān)系.專題: 直線與圓.分析: 求出圓心坐標(biāo)和半徑,利用直線垂直關(guān)系求出直線l的方程,求出三角形的底邊長度和高即可得到結(jié)論.解答: 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y+1)2=4,圓心C坐標(biāo)為(0,﹣1),半徑R=2,∵直線l過點(diǎn)(1,0)且與直線x﹣y+1=0垂直,∴直線l的斜率k=﹣1,對(duì)應(yīng)的方程為y=﹣(x﹣1),即x+y﹣1=0,原點(diǎn)O到直線的距離d=,圓心C到直線的距離d=,則AB=,則△OAB的面積為,故答案為:2.點(diǎn)評(píng): 本題主要考查三角形的面積的計(jì)算,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離求出三角形的高以及利用弦長公式求出AB是解決本題的關(guān)鍵.12.已知四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的表面上,AB為球O的直徑,,四面體ABCD的體積最大值為____參考答案:2【分析】為球的直徑,可知與均為直角三角形,求出點(diǎn)到直線的距離為,可知點(diǎn)在球上的運(yùn)動(dòng)軌跡為小圓.【詳解】如圖所示,四面體內(nèi)接于球,為球的直徑,,,,過作于,,點(diǎn)在以為圓心,為半徑的小圓上運(yùn)動(dòng),當(dāng)面面時(shí),四面體的體積達(dá)到最大,.【點(diǎn)睛】立體幾何中求最值問題,核心通過直觀想象,找到幾何體是如何變化的?本題求解的突破口在于找到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡,考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯思維能力.13.等差數(shù)列的前m項(xiàng)和為90,前2m項(xiàng)和為360,則前4m項(xiàng)和為_____.參考答案:1440
解析:設(shè)Sk=a1+a2+…+ak,易知Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差數(shù)列,從而S3m=810.又易知S2m-Sm,S3m-S2m,S4m-S3m成等差數(shù)列,即S4m=3S3m-3S2m+Sm=2430-1080+90=1440故填144014.的大小順序是
。
參考答案:略15.函數(shù)的值域?yàn)椤?,單調(diào)遞增區(qū)間是▲.參考答案:
[4,+∞);[1,+∞)((1,+∞)也可以)16.在△ABC中,a=6,B=30°,C=120°,則△ABC的面積是__________.參考答案:【分析】計(jì)算,等腰三角形計(jì)算面積,作底邊上的高,計(jì)算得到答案.【詳解】,過C作于D,則故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了三角形面積計(jì)算,屬于簡(jiǎn)單題.17.若實(shí)數(shù)x滿足方程,則x=
.參考答案:三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.參考答案:19.(本小題滿分14分)已知集合A=,集合B=(Ⅰ)若,求實(shí)數(shù)m的值;ks5u(Ⅱ)若,求實(shí)數(shù)m的取值范圍。參考答案:由已知得:集合A=,集合B=……4分(Ⅰ)因?yàn)?,所以所以,所以m=2;……8分(Ⅱ)…………11分因?yàn)?,所以或,所以或?!?4分20.(本小題滿分12分)求值:(Ⅰ)已知,是第三象限角,求的值;(Ⅱ)求值:.參考答案:解:(Ⅰ)因?yàn)樗?,即,………?分又是第三象限角,所以所以
…………6分(Ⅱ)==
…………12分21.設(shè)函數(shù)定義在上,對(duì)于任意實(shí)數(shù),,恒有,且當(dāng)時(shí),.(1)求的值.(2)求證:對(duì)任意的,有.(3)證明:在上是減函數(shù).(4)設(shè)集合,,且,求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案:見解析解:()∵對(duì)于任意實(shí)數(shù),恒有,∴令,可得:,∵當(dāng)時(shí),,∴,∴.()證明:當(dāng)時(shí),,∴,∴,∴,∴時(shí),,故對(duì),都有.()證明:任取,,且,則:,,∵,∴,∴,∴,又∵,∴,即,∴在上是減函數(shù).(),,,令,,則,對(duì)稱軸,開口向上,∴當(dāng)時(shí),取最小值,,∴,∵,,∴,即實(shí)數(shù)的取值范圍是.22.一個(gè)容量為M的樣本數(shù)據(jù),其頻率分布表如下。(
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