2022-2023學(xué)年廣東省茂名市豐成中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析

2022-2023學(xué)年廣東省茂名市豐成中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知過拋物線G：y2=2px（p＞0）焦點(diǎn)F的直線l與拋物線G交于M、N兩點(diǎn)（M在x軸上方），滿足，，則以M為圓心且與拋物線準(zhǔn)線相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A．

B．C．

D．參考答案：C【考點(diǎn)】KN：直線與拋物線的位置關(guān)系．【分析】求出直線l的斜率，可得直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用|MN|，求出p，可得M的坐標(biāo)，即可求出以M為圓心且與拋物線準(zhǔn)線相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解答】解：如圖，過點(diǎn)N作NE⊥MM′，由拋物線的定義，|MM′|=|MF|，|NN′|=|NF|．解三角形EMN，得∠EMF=，所以直線l的斜率為，其方程為y=（x﹣），與拋物線方程聯(lián)立可得3x2﹣5px+p2=0，∴x1+x2=p，∴|MN|=p=，∴p=2，∴M（3，2），r=4，∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣3）2+（y﹣2）2=16．故選：C．2.（5分）（2015?嘉興二模）若sinθ+cosθ=，θ∈，則tanθ=（）A．﹣B．C．﹣2D．2參考答案：C【考點(diǎn)】：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用．【專題】：三角函數(shù)的求值．【分析】：由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，以及三角函數(shù)在各個(gè)象限中的符號(hào)，求得tanθ的值．解：∵sinθ+cosθ=，θ∈，sin2θ+cos2θ=1，∴sinθ=，cosθ=﹣，∴tanθ==﹣2，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，以及三角函數(shù)在各個(gè)象限中的符號(hào)，屬于基礎(chǔ)題．3.已知等于（

） A．

B． C． D．參考答案：A略4.i是虛數(shù)單位，若集合S={﹣1，0，1}，則（

）A．i∈S

B．i2∈S

C．i3∈S

D．參考答案：B略5.命題“任意的”的否定是（

）A．不存在

B．存在C．存在

D．對(duì)任意的參考答案：C6.已知事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機(jī)取一點(diǎn)P，使△APB的最大邊是AB”發(fā)生的概率為，則=（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】CF：幾何概型．【分析】先明確是一個(gè)幾何概型中的長(zhǎng)度類型，然后求得事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機(jī)取一點(diǎn)P，使△APB的最大邊是AB”發(fā)生的線段長(zhǎng)度，再利用兩者的比值即為發(fā)生的概率，從而求出．【解答】解：記“在矩形ABCD的邊CD上隨機(jī)取一點(diǎn)P，使△APB的最大邊是AB”為事件M，試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的長(zhǎng)度即為線段CD，若△APB的最大邊是AB”發(fā)生的概率為，則=，設(shè)AD=y，AB=x，則DE=x，PE=DE=x，則PC=x+x=x，則PB2=AB2時(shí)，PC2+BC2=PB2=AB2，即（x）2+y2=x2，即x2+y2=x2，則y2=x2，則y=x，即=，即=，故選：C．7.已知a=log23，b=log3，c=，則（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a(chǎn)＞b＞c D．a(chǎn)＞c＞b參考答案：D【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)值大小的比較．【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得a＞1，b＜0；利用冪的運(yùn)算法則，得出0＜c＜1；即可判定a、b、c的大?。窘獯稹拷猓河蓪?duì)數(shù)函數(shù)y=log2x的圖象與性質(zhì)，得log23＞log22=1，∴a＞1；由對(duì)數(shù)函數(shù)y=x的圖象與性質(zhì)，得3＜1=0，∴b＜0；又∵c==，∴0＜c＜1；∴a＞c＞b．故選：D．8.曲線在點(diǎn)（4，e2）處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為(

)A．e2 B．2e2 C．4e2 D．參考答案：A【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】計(jì)算題；作圖題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】由題意作圖，求導(dǎo)y′=，從而寫出切線方程為y﹣e2=e2（x﹣4）；從而求面積．【解答】解：如圖，y′=；故y′|x=4=e2；故切線方程為y﹣e2=e2（x﹣4）；當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣e2，當(dāng)y=0時(shí)，x=2；故切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積S=×2×e2=e2；故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的求法及曲線切線的求法，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．9.《張丘建算經(jīng)》是我國南北朝時(shí)期的一部重要數(shù)學(xué)著作，書中系統(tǒng)的介紹了等差數(shù)列，同類結(jié)果在三百多年后的印度才首次出現(xiàn)。書中有這樣一個(gè)問題，大意為：某女子善于織布，后一天比前一天織得快，而且每天增加的數(shù)量相同，已知第一天織布尺，一個(gè)月（按30天計(jì)算）總共織布尺，問每天增加的數(shù)量為多少尺？該問題的答案為（

）

A．尺

B．尺

C．尺

D．尺參考答案：試題分析：此題等價(jià)于在等差數(shù)列中，，，求由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式得解得故答案選考點(diǎn)：等差數(shù)列.10.已知雙曲線（，）的離心率為，則該雙曲線的頂點(diǎn)到漸近線的距離與焦點(diǎn)到漸近線的距離之比為（

）A． B． C． D．參考答案：C過雙曲線的頂點(diǎn)A、焦點(diǎn)F分別向其漸近線作垂線，垂足分別為B、C，∵e=，∴故答案為：C

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知點(diǎn)，橢圓與直線交于點(diǎn)、，則的周長(zhǎng)為__________參考答案：812.已知為常數(shù)，若，則（

）。參考答案：213.（+2x）dx=

．參考答案：1+ln2考點(diǎn)：定積分．專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：找出被積函數(shù)的原函數(shù)，然后代入上下限計(jì)算．解答： 解：（+2x）dx==1+ln2；故答案為：1+ln2．點(diǎn)評(píng)：本題考查了定積分的運(yùn)算，熟練找出被積函數(shù)的原函數(shù)是求定積分的關(guān)鍵．14.(幾何證明選講)如圖5，在圓O中，直徑AB與弦CD垂直，垂足為E，EF⊥DB，垂足為F，若AB＝6，AE＝1，則DF·DB＝____________.參考答案：5略15.若圓的半徑為1，則F=______。參考答案：1【分析】根據(jù)圓的半徑計(jì)算公式列方程，解方程求得的值.【詳解】圓的半徑為，解得.【點(diǎn)睛】本小題主要考查圓的半徑計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.16.若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為雙曲線的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍為__________參考答案：略17.若命題“存在實(shí)數(shù)x，使”的否定是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______________.參考答案：，或略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本題滿分14分)如圖所示,已知的終邊所在直線上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為,的終邊在第一象限且與單位圓的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.

⑴求的值；

⑵若,,求.參考答案：⑴由三角函數(shù)的定義知∴.又由三角函數(shù)線知,19.如圖，已知拋物線C：y2=2px（p＞0）上的點(diǎn)（，a）到焦點(diǎn)F的距離為3，圓E是以（p，0）為圓心p為半徑的圓．（1）求拋物線C和圓E的方程；（2）若圓E內(nèi)切于△PQR，其中Q，R在y軸上，且R點(diǎn)在Q點(diǎn)上方，P在拋物線C上且在x軸下方，當(dāng)△PQR的面積取最小值時(shí)，求直線PR和PQ的方程．參考答案：考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題．專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題．分析：（1）由拋物線C：y2=2px（p＞0）上的點(diǎn)（，a）到焦點(diǎn)F的距離為3，可得=3，解得p，即可得出拋物線C和圓E的方程；（2）設(shè)P（x0，y0），R（0，y1），Q（0，y2），y1＞y2，則直線PR的方程為：y=x+y1．由直線與圓相切的性質(zhì)可得：=1，注意到x0＞2，上式化簡(jiǎn)為+2y0y1﹣x0=0，同理可得=0．因此y1，y2是方程﹣x0=0的兩個(gè)根，可得|y1﹣y2|=．因此S△PQR=×x0=+4利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．解答： 解：（1）∵拋物線C：y2=2px（p＞0）上的點(diǎn)（，a）到焦點(diǎn)F的距離為3，∴=3，解得p=1．∴拋物線C：y2=2x，圓E：（x﹣1）2+y2=1．（2）設(shè)P（x0，y0），R（0，y1），Q（0，y2），y1＞y2，則直線PR的方程為：y=x+y1．由直線與圓相切得：=1，注意到x0＞2，上式化簡(jiǎn)為+2y0y1﹣x0=0，同理可得=0．∴y1，y2是方程﹣x0=0的兩個(gè)根，∴|y1﹣y2|==．∴S△PQR=×x0==+4≥8，當(dāng)且僅當(dāng)x0=4時(shí)，S△PQR有最小值為8．此時(shí)，P，y1，2=．∴直線PR的方程是y=﹣++2．直線PQ的方程是y=+﹣2．點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與圓相切問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、三角形的面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．20.（本小題滿分12分）已知函數(shù)，，是常數(shù)．（1）求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)圖象上的點(diǎn)都在第一象限，試求常數(shù)的取值范圍.參考答案：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?

，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線為，即…………4分（2）①時(shí)，，因?yàn)?，所以點(diǎn)在第一象限，依題意，②時(shí)，由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)知，時(shí)，，，從而“，”不成立③時(shí)，由得，設(shè)，

－↘極小值↗

，從而，綜上所述，常數(shù)的取值范圍…………8分（3）計(jì)算知設(shè)函數(shù)，當(dāng)或時(shí)，，因?yàn)榈膱D象是一條連續(xù)不斷的曲線，所以存在，使，即，使；當(dāng)時(shí)，、，而且、之中至少一個(gè)為正，由均值不等式知，，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，所以有最小值，且，此時(shí)存在（或），使綜上所述，，存在，使………………12分21.在直角坐標(biāo)系中，圓，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，.（1）求的極坐標(biāo)方程和的平面直角坐標(biāo)系方程；（2）若直線的極坐標(biāo)方程為，設(shè)與的交點(diǎn)為，與的交點(diǎn)為，求的面積.參考答案：（1）因?yàn)閳A的普通方程為，把代入方程得，所以的極坐標(biāo)方程為，的平面直角坐標(biāo)系方程為；（2）分別將代入，得，則的面積為.22.已知函數(shù)，.ks5u(Ⅰ)若，求函數(shù)在區(qū)間上的最值；(Ⅱ)若恒成立，求的取值范圍.注：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，約等于.參考答案：解：(Ⅰ)若，則.當(dāng)時(shí)，，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；--------------------ks5u------------2分當(dāng)時(shí)，，.所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，--------------ks5u-----------------4分所以在區(qū)間上有最小值，又因?yàn)?，，而，所以在區(qū)間上有最大值.--------------------------------6分(Ⅱ)函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

由，得．

（*）------------------------------7分（?。┊?dāng)時(shí)，，，不等式（*）恒成立，所以；-----------------------------------------------------9分（ⅱ）當(dāng)時(shí)，①當(dāng)時(shí)，由得，即，現(xiàn)令，則，------------