黑龍江省哈爾濱市第八十七中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析

黑龍江省哈爾濱市第八十七中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)是定義在區(qū)間(0,+∞)上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則不等式的解集為（

）A. B.C. D.參考答案：D【分析】構(gòu)造函數(shù)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而將原不等式轉(zhuǎn)化為，，進(jìn)而求解.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，則導(dǎo)數(shù)；函數(shù)在區(qū)間上，滿足，則有，則有，即函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；，則有，解可得：；即不等式的解集為；故選：D．【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查了解不等式的問題；解函數(shù)不等式問題，可以直接通過函數(shù)的表達(dá)式得到結(jié)果，如果直接求解比較繁瑣，可以研究函數(shù)的單調(diào)性，零點(diǎn)等問題，將函數(shù)值大小問題轉(zhuǎn)化為自變量問題.2.下列關(guān)于棱柱的一些敘述正確的有（）①側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形；②兩個(gè)底面與平行于底面的截面是全等的多邊形；③過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形。Ａ①②；Ｂ①③；Ｃ②③；Ｄ①②③參考答案：D略3.已知△ABC是邊長(zhǎng)為a的正三角形，那么△ABC平面直觀圖△A′B′C′的面積為（

）(A)

（B）

(C)

(D)參考答案：A考點(diǎn)：平面圖形直觀圖的畫法規(guī)則及運(yùn)用.4.若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是{x|＜x＜2}，則a的值為（）A．﹣ B．2 C．﹣2 D．參考答案：C【考點(diǎn)】一元二次不等式的解法．【專題】計(jì)算題；方程思想；定義法；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】根據(jù)一元二次不等式與一元二次方程之間的關(guān)系可得，2為方程ax2+5x﹣2=0的兩根然后根據(jù)韋達(dá)定理求出a的值．【解答】解：∵不等式ax2+5x﹣2＞0的解集為{x|＜x＜2}，∴，2為方程ax2+5x﹣2=0的兩根，∴根據(jù)韋達(dá)定理可得∴×2=﹣∴a=﹣2故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考察一元二次不等式與一元二次方程之間的關(guān)系．解題的關(guān)鍵是一元二次不等式與一元二次方程之間的關(guān)系的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用．5.設(shè)x＞0，y＞0，xy=4，則s=取最小值時(shí)x的值為（）A．1 B．2 C．4 D．8參考答案：B【考點(diǎn)】基本不等式．【分析】先根據(jù)基本不等式得到s=≥2=2再利用條件xy為定值得出s=4，最后結(jié)合不等式等號(hào)成立的條件即可得到答案．【解答】解：∵x＞0，y＞0，xy=4，∴s=≥2=2=4，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立由，xy=4，得x=y=2．則s=取最小值時(shí)x的值為2．故選B．6.一個(gè)球與它的外切圓柱、外切等邊圓錐的體積之比為（）Ａ．

Ｂ．

C．

D．參考答案：D7.直線l的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)），上的點(diǎn)P1對(duì)應(yīng)的參數(shù)是t1，則點(diǎn)P1與P（a，b）之間的距離為

（）． A．|t1|

B．2|t1|

C．|t1|

D．|t1|參考答案：Ｃ8.把編號(hào)為1、2、3、4、5的5位運(yùn)動(dòng)員排在編號(hào)為1、2、3、4、5的5條跑道中，要求有且只有兩位運(yùn)動(dòng)員的編號(hào)與其所在跑道的編號(hào)相同，共有不同排法的種數(shù)是()A.60 B.40 C.20 D.10參考答案：C【分析】由題，首先選出兩位運(yùn)動(dòng)員的編號(hào)與其所在跑道編號(hào)相同，再將剩余的進(jìn)行排列可得答案.【詳解】先選出兩位運(yùn)動(dòng)員的編號(hào)與其所在跑道編號(hào)相同，有，剩余的3人座位編號(hào)都不一致，第一個(gè)人有2種坐法，第二第三人都只有一種坐法，所以有2種排法，即共有2×＝20種．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了組合公式與分步計(jì)數(shù)原理，易錯(cuò)點(diǎn)為當(dāng)兩個(gè)相同的確定以后，剩余的排法只有2種，屬于較為基礎(chǔ)題.9.在正方體ABCD—AlB1C1D1中，P是正方體的底面AlB1C1D1(包括邊界)內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)(不與A1重合)，Q是底面ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，線段A1C與線段PQ相交且互相平分，則使得四邊形A1QCP面積最大的點(diǎn)P有

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．無數(shù)個(gè)參考答案：C略10.四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD為矩形，AB=1，AD=2，AA1=3，∠A1AB=∠A1AD=60°，則AC1的長(zhǎng)為（） A． B．23 C． D．32參考答案：C【考點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征． 【專題】計(jì)算題． 【分析】記A1在面ABCD內(nèi)的射影為O，O在∠BAD的平分線上，說明∠BAD的平分線即菱形ABCD的對(duì)角線AC，求AC1的長(zhǎng)． 【解答】解：記A1在面ABCD內(nèi)的射影為O， ∵∠A1AB=∠A1AD， ∴O在∠BAD的平分線上， 由O向AB，AD兩邊作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，連接A1E，A1F，A1E，A1F分別垂直AB，AD于E，F(xiàn) ∵AA1=3，∠A1AB=∠A1AD=60°， ∴AE=AF= 又四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD為矩形 ∴∠OAF=∠OAE=45°，且OE=OF=，可得OA= 在直角三角形A1OA中，由勾股定理得A1O= 過C1作C1M垂直底面于M，則有△C1MC≌△A1OA，由此可得M到直線AD的距離是，M到直線AB的距離是，C1M=A1O= 所以AC1== 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征等知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．解題關(guān)鍵在于，正確解三角形． 二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若函數(shù),且,則實(shí)數(shù)的取值范圍為________參考答案：略12.函數(shù)f(x)=loga(a＞0且a≠1),f(2)=3,則f(-2)的值為_________.參考答案：-3∵f(-x)=loga=-loga=-f(x),∴函數(shù)為奇函數(shù).∴f(-2)=-f(2)=-3.13.拋擲甲、乙兩顆骰子，若事件A：“甲骰子的點(diǎn)數(shù)大于4”；事件B：“甲、乙兩骰子的點(diǎn)數(shù)之和等于7”，則的值等于_____.參考答案：【分析】先求出甲骰子點(diǎn)數(shù)大于4的事件個(gè)數(shù)，再求出甲、乙兩骰子點(diǎn)數(shù)和為7時(shí)，甲骰子點(diǎn)數(shù)大于4的事件個(gè)數(shù)，結(jié)合條件概率的公式，即可求解．【詳解】由題意得，為拋擲甲，乙兩顆骰子，甲骰子的點(diǎn)數(shù)大于4時(shí)甲、乙兩骰子的點(diǎn)數(shù)之和等于7的概率．因?yàn)閽仈S甲、乙兩骰子，甲骰子點(diǎn)數(shù)大于4的基本事件有個(gè)，甲骰子點(diǎn)數(shù)大于4時(shí)，甲、乙兩骰子的點(diǎn)數(shù)之和等于7，基本事件有（5，2），（6，1）共兩個(gè)，所以，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了條件概率的求法，屬基礎(chǔ)題．14.已知雙曲線（a＞0,b＞0）的漸近線方程為，則該雙曲線的離心率是▲參考答案：15.已知為正數(shù)，且，則的最小值是__________．參考答案：3略16.已知△ABC中，角A，B，C所對(duì)邊分別是a，b，c，，且△ABC的周長(zhǎng)為15，則c=________；若△ABC的面積等于，則cosC=________．參考答案：5

【分析】先由正弦定理，得到；求出；再由題意得到，根據(jù)余弦定理，即可求出結(jié)果.【詳解】由得，又△ABC的周長(zhǎng)為，即，所以；若△ABC的面積等于，則，所以，由余弦定理可得.故答案為5,【點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形，熟記正弦定理和余弦定理即可，屬于?？碱}型.17.已知某幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積是

。參考答案：試題分析：由三視圖判斷幾何體為半個(gè)圓錐，且圓錐的高為2，底面圓的半徑為1，∴幾何體的體積V=.考點(diǎn)：由三視圖求面積、體積．

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分14分）已知長(zhǎng)方形ABCD,AB=2,BC=1.以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖（20）所示的平面直角坐標(biāo)系.(1)求以A、B為焦點(diǎn)，且過C、D兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)P(0,2)的直線與(1)中橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線的方程；

(3)過點(diǎn)P(0,2)的直線交(1)中橢圓于M,N兩點(diǎn),是否存在直線,使得以弦MN為直徑的圓恰好過原點(diǎn)?若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.參考答案：已知長(zhǎng)方形ABCD,AB=2,BC=1.以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖（20）所示的平面直角坐標(biāo)系.(1)求以A、B為焦點(diǎn)，且過C、D兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)P(0,2)的直線與(1)中橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線的方程；(3)過點(diǎn)P(0,2)的直線交(1)中橢圓于M,N兩點(diǎn),是否存在直線,使得以弦MN為直徑的圓恰好過原點(diǎn)?若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.

解(1)由題意可得點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為,,.設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是..橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(2)由題意直線的斜率存在,可設(shè)直線的方程為.聯(lián)立方程:

消去整理得,

當(dāng)，直線的方程為.（3）可設(shè)直線的方程為.設(shè)M,N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，聯(lián)立方程:

消去整理得,

當(dāng)有若以MN為直徑的圓恰好過原點(diǎn),則,所以,所以,,

即所以,

即

得所以直線的方程為,或.所以存在過P(0,2)的直線:使得以弦MN為直徑的圓恰好過原點(diǎn).略19.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2，{bn}為等比數(shù)列，且a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1.(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)cn＝，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.參考答案：(1)∵Sn＝2n2，∴a1＝2，n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n2－2(n－1)2＝4n－2，當(dāng)n＝1時(shí)，上式也成立，∴an＝4n－2，n∈N*.∵b1＝a1，b2(a2－a1)＝b1，∴b1＝2，b2＝，又{bn}為等比數(shù)列，∴公比q＝，∴bn＝b1qn－1＝2n－1＝(2)由(1)得cn＝＝(2n－1)·4n－1，則Tn＝1·40＋3·41＋5·42＋…＋(2n－3)·4n－2＋(2n－1)·4n－1，4Tn＝1·41＋3·42＋5·43＋…＋(2n－3)·4n－1＋(2n－1)·4n.∴－3Tn＝1＋2[41＋42＋43＋…＋4n－1]－(2n－1)·4n＝1＋－(2n－1)4n＝－－.∴Tn＝＋.20.(本小題滿分12分)在復(fù)平面內(nèi)A，B，C三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1,2＋i，－1＋2i.(1)求，，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；(2)判斷△ABC的形狀；(3)求△ABC的面積．參考答案：解：(1)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2＋i－1＝1＋i，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為－1＋2i－(2＋i)＝－3＋i，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為－1＋2i－1＝－2＋2i，(2)∵||＝，||＝，||＝＝2，∴||2＋||2＝||2，∴△ABC為直角三角形．(3)S△ABC＝××2＝2.略21.以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各三名同學(xué)在期末考試中的數(shù)學(xué)成績(jī).乙組記錄中有一個(gè)數(shù)字模糊,無法確認(rèn),假設(shè)這個(gè)數(shù)字具有隨機(jī)性,并在圖中以表示.（Ⅰ）若甲、乙兩個(gè)小組的數(shù)學(xué)平均成績(jī)相同,求的值;（Ⅱ）求乙組平均成績(jī)超過甲組平均成績(jī)的概率;參考答案：（Ⅰ）依題意,得,

解得;

（Ⅱ）設(shè)“乙組平均成績(jī)超過甲組平均成績(jī)”為事件,

依題意,共有10種可能

由（Ⅰ）可知,當(dāng)時(shí)甲、乙兩個(gè)小組的數(shù)學(xué)平均成績(jī)相同,

所以當(dāng)時(shí),乙組平均成績(jī)超過甲組平均成績(jī),共有8種可能

所以乙組平均成績(jī)超過甲組平均成績(jī)的概率22.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，上、下頂點(diǎn)分別為．（Ⅰ）若直線經(jīng)過中點(diǎn)M，求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若直線的斜率為1，與橢圓的另一交點(diǎn)為D，橢圓的右焦點(diǎn)為，求三角形的面積．參考答案：（Ⅰ）由題意，，

又，所以，直線：．