2024學年河北省衡水市棗強中學高二數(shù)學第一學期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2024學年河北省衡水市棗強中學高二數(shù)學第一學期期末統(tǒng)考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖所示，在平行六面體中，，，，點是的中點，點是上的點，且，則向量可表示為（）A. B.C. D.2．已知直線l與拋物線交于不同的兩點A，B，O為坐標原點，若直線的斜率之積為，則直線l恒過定點（）A. B.C. D.3．若一個正方體的全面積是72，則它的對角線長為（）A. B.12C. D.64．以原點為對稱中心的橢圓焦點分別在軸，軸，離心率分別為，直線交所得的弦中點分別為，，若，，則直線的斜率為()A. B.C. D.5．一組樣本數(shù)據(jù)：，，，，，由最小二乘法求得線性回歸方程為，若，則實數(shù)m的值為（）A.5 B.6C.7 D.86．設等差數(shù)列前n項和是，若，則的通項公式可以是（）A. B.C. D.7．已知數(shù)列滿足，則（）A. B.1C.2 D.48．如圖，在直三棱柱中，，，D為AB的中點，點E在線段上，點F在線段上，則線段EF長的最小值為（）A B.C.1 D.9．已知，，若，則（）A.9 B.6C.5 D.310．在數(shù)列中，，，，則（）A.2 B.C. D.111．已知三個頂點都在拋物線上，且為拋物線的焦點，若，則（）A.6 B.8C.10 D.1212．已知橢圓上一點到左焦點的距離為，是的中點，則（）A.1 B.2C.3 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)f（x）=ex-2x+a有零點，則a的取值范圍是___________14．經(jīng)過點，的直線的傾斜角為___________.15．已知點，，，則外接圓的圓心坐標為________16．已知雙曲線的兩個焦點分別為，，為雙曲線上一點，且，則的值為________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前項和為，并且滿足（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，數(shù)列的前項和為，求證：18．（12分）已知函數(shù)在處的切線與直線平行（1）求值，并求此切線方程；（2）證明：19．（12分）已知橢圓過點，且離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過作斜率分別為的兩條直線，分別交橢圓于點，且，證明：直線過定點.20．（12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）函數(shù)在區(qū)間上的最小值小于零，求a的取值范圍21．（12分）已知橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為，過的直線與橢圓交于，兩點，若的周長為8.（1）求橢圓的標準方程；（2）設為橢圓上的動點，過原點作直線與橢圓分別交于點、（點不在直線上），求面積的最大值.22．（10分）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的左、右焦點分別是，，離心率，請再從下面兩個條件中選擇一個作為已知條件，完成下面的問題：①橢圓C過點；②以點為圓心，3為半徑的圓與以點為圓心，1為半徑的圓相交，且交點在橢圓C上（只能從①②中選擇一個作為已知）（1）求橢圓C的方程；（2）已知過點的直線l交橢圓C于M，N兩點，點N關于x軸的對稱點為，且，M，三點構(gòu)成一個三角形，求證：直線過定點，并求面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】根據(jù)空間向量加法和減法的運算法則，以及向量的數(shù)乘運算即可求解.【題目詳解】解：因為在平行六面體中，，，，點是的中點，點是上的點，且，所以，故選：D.2、A【解題分析】設出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，得到，進而得到的值，將直線的斜率之積為，用A,B點坐標表示出來，結(jié)合的值即可求得答案.【題目詳解】設直線方程為，聯(lián)立，整理得：，需滿足，即，則，由，得：，所以，即，故，所以直線l為：，當時，，即直線l恒過定點，故選：A.3、D【解題分析】根據(jù)全面積得到正方體的棱長，再由勾股定理計算對角線.【題目詳解】設正方體的棱長為，對角線長為，則有，解得，從而，解得.故選：D4、A【解題分析】分類討論直線的斜率存在與不存在兩種情況，聯(lián)立直線與曲線方程，再根據(jù)，求解.【題目詳解】設橢圓的方程分別為，，由可知，直線的斜率一定存在，故設直線的方程為.聯(lián)立得，故，；聯(lián)立得，則，.因為，所以，所以.又，所以，所以，所以，.故選：A.【題目點撥】此題利用設而不求的方法，找出、、、之間的關系，化簡即可得到的值.此題的難點在于計算量較大，且容易計算出錯.5、B【解題分析】求出樣本的中心點，再利用回歸直線必過樣本的中心點計算作答.【題目詳解】依題意，，則這個樣本的中心點為，因此，，解得，所以實數(shù)m的值為6.故選：B6、D【解題分析】根據(jù)題意可得公差的范圍，再逐一分析各個選項即可得出答案.【題目詳解】解：設等差數(shù)列的公差為，由，得，所以，故AB錯誤；若，則，與題意矛盾，故C錯誤；若，則，符合題意.故選：D.7、B【解題分析】根據(jù)遞推式以及迭代即可.【題目詳解】由，得，，，，，，.故選：B8、B【解題分析】根據(jù)給定條件建立空間直角坐標系，令，用表示出點E，F(xiàn)坐標，再由兩點間距離公式計算作答.【題目詳解】依題意，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，設，則，設，有，線段EF長最短，必滿足，則有，解得，即，因此，，當且僅當時取“=”，所以線段EF長的最小值為.故選：B9、D【解題分析】根據(jù)空間向量垂直的坐標表示即可求解.【題目詳解】.故選：D.10、A【解題分析】根據(jù)題中條件，逐項計算，即可得出結(jié)果.【題目詳解】因為，，，所以，因此.故選：A.11、D【解題分析】設，，，由向量關系化為坐標關系，再結(jié)合拋物線的焦半徑公式即可計算【題目詳解】由得焦點，準線方程為，設，，由得則，化簡得所以故選：D12、A【解題分析】由橢圓的定義得，進而根據(jù)中位線定理得.【題目詳解】解：由橢圓方程得，即，因為由橢圓的定義得，，所以，因為是的中點，是的中點，所以.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】根據(jù)零點定義，分離出，構(gòu)造函數(shù)，通過研究的值域來確定的取值范圍【題目詳解】根據(jù)零點定義，則所以令則，令解得當時，，函數(shù)單調(diào)遞減當時，，函數(shù)單調(diào)遞增所以當時取得最小值，最小值為所以由零點的條件為所以，即的取值范圍為【題目點撥】本題考查了函數(shù)零點的意義，通過導數(shù)求函數(shù)的值域，分離參數(shù)法的應用，屬于中檔題14、【解題分析】根據(jù)兩點間斜率公式得到斜率，再根據(jù)斜率確定傾斜角大小即可.【題目詳解】根據(jù)兩點間斜率公式得：，所以直線的傾斜角為：.故答案為：15、【解題分析】求得的垂直平分線的方程，在求得垂直平分線的交點，則問題得解.【題目詳解】線段中點坐標為，線段斜率為，所以線段垂直平分線的斜率為，故線段的垂直平分線方程為，即.線段中點坐標為，線段斜率為，所以線段垂直平分線的斜率為，故線段的垂直平分線方程為，即.由.所以外接圓的圓心坐標為.故答案為：.【題目點撥】本題考查直線方程的求解，直線交點坐標的求解，屬綜合基礎題.16、2【解題分析】求得雙曲線的a，b，c，不妨設P為雙曲線右支上的點，|PF1|＝m，|PF2|＝n，利用雙曲線的定義、余弦定理列出方程組，求出mn即可.【題目詳解】雙曲線的a＝2，b＝1，c＝，不妨設P為雙曲線右支上的點，|PF1|＝m，|PF2|＝n，則，①由余弦定理可得，②聯(lián)立①②可得故答案為：2三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析.【解題分析】（1）利用和項可求得的通項公式，注意別漏了說明；（2）先用錯位相減法求出數(shù)列的前項和，從而可知【題目詳解】（1）,①當時，，②由①—②可得：,且數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，即（2）由（1）知數(shù)列，,則,①∴,②由①﹣②得,∴,.【題目點撥】本題主要考查給出的一個關系式求數(shù)列的通項公式以及用錯位相減法求數(shù)列的前n項和.18、（1）；；（2）證明見解析.【解題分析】（1）根據(jù)導數(shù)幾何意義可知，解方程求得，進而得到切線方程；（2）當時，由，知不等式成立；當時，令，利用導數(shù)可求得在上單調(diào)遞增，從而得到，由此可得結(jié)論.【小問1詳解】，，在處的切線與直線平行，即切線斜率為，，解得：，，，所求切線方程為：，即；【小問2詳解】要證，即證；①當時，，，，即，；②當時，令，，，當時，，，，，即，在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞增，，即在上恒成立；綜上所述：.【題目點撥】思路點睛：本題第二問考查利用導數(shù)證明不等式的問題，解題的基本思路是將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解問題；通過構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求函數(shù)最值的方法可確定恒成立，從而得到所證結(jié)論.19、（1）；（2）證明見解析.【解題分析】（1）由離心率、過點和橢圓關系可構(gòu)造方程求得，由此可得橢圓方程；（2）當直線斜率不存在時，表示出兩點坐標，由兩點連線斜率公式表示出，整理可得直線為；當直線斜率存在時，設，與橢圓方程聯(lián)立可得韋達定理的形式，代入中整理可得，由此可得直線所過定點；綜合兩種情況可得直線過定點.【題目詳解】（1）橢圓過點，即，；，又，，橢圓的方程為：.（2）當直線斜率不存在時，設直線方程為，則，則，，解得：，直線方程為；當直線斜率存在時，設直線方程為，聯(lián)立方程組得：，設，則，（*），則，將*式代入化簡可得：，即，整理得：，代入直線方程得：，即，聯(lián)立方程組，解得：，，直線恒過定點；綜上所述：直線恒過定點.【題目點撥】思路點睛：本題考查直線與橢圓綜合應用中的直線過定點問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：①假設直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，整理為關于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達定理的形式；③利用韋達定理表示出已知中的等量關系，代入韋達定理可整理得到變量間的關系，從而化簡直線方程；④根據(jù)直線過定點的求解方法可求得結(jié)果.20、（1）答案見解析；（2）.【解題分析】（1）對求導并求定義域，討論、分別判斷的符號，進而確定單調(diào)區(qū)間.（2）由題設，結(jié)合（1）所得的單調(diào)性，討論、、分別確定在給定區(qū)間上的最小值，根據(jù)最小值小于零求參數(shù)a的范圍.【小問1詳解】由題設，且定義域為，當，即時，在上，即在上遞增；當，即時，在上，在上，所以在上遞減，在上遞增；【小問2詳解】由（1）知：若，即時，則在上遞增，故，可得；若，即時，則在上遞減，在上遞增，故，不合題設；若，即時，則在上遞減，故，得；綜上，a的取值范圍.21、（1）；（2）.【解題分析】（1）根據(jù)周長可求，再根據(jù)離心率可求，求出后可求橢圓的方程.（2）當直線軸時，計算可得的面積的最大值為，直線不垂直軸時，可設，聯(lián)立直線方程和橢圓方程可求，設與平行且與橢圓相切的直線為：，結(jié)合橢圓方程可求的關系，從而求出該直線到直線的距離，從而可求的面積的最大值為.【題目詳解】（1）由橢圓的定義可知，的周長為，∴，，又離心率為，∴，，所以橢圓方程為.（2）當直線軸時，；當直線不垂直軸時，設，，，∴.設與平行且與橢圓相切的直線為：，，∵，∴，∴距的最大距離為，∴，綜上，面積的最大值為.【題目點撥】方法點睛：求橢圓的標準方程，關鍵是基本量的確定，而面積的最值的計算，則可以轉(zhuǎn)化為與已知直線平行且與橢圓相切的直線與已知直線的距離來計算，此類轉(zhuǎn)化為面積最值計算過程的常規(guī)轉(zhuǎn)化.22、（1）（2）證明見解析，【解題分析】（1）若選①，則由題意可得，解方程組求出，從而可求得橢圓方程，若選②，，再結(jié)合離心率和求出，從而可求得橢圓方程，（2）由題意設直線MN的方程為，設，，，將直線方程代入橢圓