廣東省惠州市惠東中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二上期末綜合測試模擬試題含解析

廣東省惠州市惠東中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二上期末綜合測試模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知球O的半徑為2，球心到平面的距離為1，則球O被平面截得的截面面積為（）A. B.C. D.2．如圖，P是橢圓第一象限上一點(diǎn)，A，B，C是橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過A作AN平行于直線BP交y軸于N，直線CP交x軸于M，直線BP交x軸于E.現(xiàn)有下列三個(gè)式子：①；②；③.其中為定值的所有編號是（）A.①③ B.②③C.①② D.①②③3．如圖，在直三棱柱中，，，D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段上，點(diǎn)F在線段上，則線段EF長的最小值為（）A B.C.1 D.4．在長方體中，（）A. B.C. D.5．若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B.C. D.6．圓與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相離C.內(nèi)切 D.外切7．對任意實(shí)數(shù)k，直線與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相切C.相離 D.與k有關(guān)8．不等式的解集是（）A. B.C.或 D.或9．已知等差數(shù)列中，，則（）A.15 B.30C.45 D.6010．已知數(shù)列滿足，，則的最小值為（）A. B.C. D.11．設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則使得成立的的取值范圍是A. B.C D.12．下列求導(dǎo)不正確的是（）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等差數(shù)列的公差為1，且是和的等比中項(xiàng)，則前10項(xiàng)的和為___________.14．總書記在2021年2月25日召開的全國脫貧攻堅(jiān)總結(jié)表彰大會上發(fā)表重要講話，莊嚴(yán)宣告，在迎來中國共產(chǎn)黨成立一百周年的重要時(shí)刻，我國脫貧攻堅(jiān)取得了全面勝利.在脫貧攻堅(jiān)過程中，為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，工作人員對該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)此頻率分布直方圖，下列結(jié)論中所存確結(jié)論的序號是____________①該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%；②該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%；③估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元；④估計(jì)該地有一半以上農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間15．過拋物線：的焦點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，若，則線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為______16．已知曲線在點(diǎn)處的切線與曲線相切，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）平面直角坐標(biāo)系中，過橢圓：右焦點(diǎn)的直線交M于A，B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，且OP的斜率為.（1）求橢圓M的方程；（2）C，D為橢圓M上的兩點(diǎn)，若四邊形ACBD的對角線CD與AB垂直，求四邊形ACBD面積的最大值.18．（12分）已知函數(shù)，若函數(shù)處取得極值（1）求，的值；（2）求函數(shù)在上的最大值和最小值19．（12分）甲乙兩人輪流投籃，每人每次投一球，約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時(shí)投籃結(jié)束，設(shè)甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響（1）求甲乙各投球一次，比賽結(jié)束的概率；（2）求甲獲勝的概率20．（12分）已知數(shù)列滿足，.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)的和.21．（12分）已知橢圓過點(diǎn)，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)作直線，與直線和橢圓分別交于兩點(diǎn)，（與不重合）.判斷以為直徑的圓是否過定點(diǎn)，如果過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；如果不過定點(diǎn)，說明理由.22．（10分）在中，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為.（1）求直線的方程；（2）求的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】根據(jù)球的性質(zhì)可求出截面圓的半徑即可求解.【題目詳解】由球的性質(zhì)可知，截面圓的半徑為，所以截面的面積.故選：B2、D【解題分析】根據(jù)斜率的公式，可以得到的值是定值，然后結(jié)合已知逐一判斷即可.【題目詳解】設(shè)，所以有，，因此，所以有，，，，，，故，，.故選：D【題目點(diǎn)撥】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用斜率公式得到之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.3、B【解題分析】根據(jù)給定條件建立空間直角坐標(biāo)系，令，用表示出點(diǎn)E，F(xiàn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算作答.【題目詳解】依題意，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則，設(shè)，有，線段EF長最短，必滿足，則有，解得，即，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，所以線段EF長的最小值為.故選：B4、D【解題分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則得到，帶入化簡得到答案.【題目詳解】在長方體中，易知，所以.故選：D.5、A【解題分析】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間上大于等于0恒成立，進(jìn)而求出結(jié)果.【題目詳解】由題意得：在區(qū)間上恒成立，而，所以.故選：A6、A【解題分析】求出兩圓的圓心及半徑，求出圓心距，從而可得出結(jié)論.【題目詳解】解：圓的圓心為，半徑為，圓圓心為，半徑為，則兩圓圓心距，因?yàn)?，所以兩圓相交.故選：A.7、A【解題分析】判斷直線恒過定點(diǎn)，可知定點(diǎn)在圓內(nèi)，即可判斷直線與圓的位置關(guān)系.【題目詳解】由可知，即該圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為,由可知，則該直線恒過定點(diǎn)，將點(diǎn)代入圓的方程可得，則點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線與圓的位置關(guān)系為相交.故選：.8、A【解題分析】確定對應(yīng)二次方程的解，根據(jù)三個(gè)二次的關(guān)系寫出不等式的解集【題目詳解】，即為，故選：A9、D【解題分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可知，從而可求出結(jié)果.【題目詳解】解：根據(jù)題意，可知等差數(shù)列中，，則，所以.故選：D.10、C【解題分析】采用疊加法求出，由可得，結(jié)合對勾函數(shù)性質(zhì)分析在或6取到最小值，代值運(yùn)算即可求解.【題目詳解】因?yàn)椋?，，，，式相加可得，所以，，?dāng)且僅當(dāng)取到，但，，所以時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，所以的最小值為.故選：C11、B【解題分析】構(gòu)造函數(shù)，可知函數(shù)為奇函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析出函數(shù)在上的單調(diào)性，并得出，然后分別在和解不等式，由此可得出不等式的解集.【題目詳解】構(gòu)造函數(shù)，該函數(shù)的定義域?yàn)?，由于函?shù)為上的奇函數(shù)，則，所以，函數(shù)為上的奇函數(shù)，且，，.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，由，可得，解得；當(dāng)時(shí)，則函數(shù)單調(diào)遞增，由，可得，解得.綜上所述，使得成立的的取值范圍是.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)不等式，根據(jù)導(dǎo)數(shù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造合適的函數(shù)是解題的關(guān)鍵，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.12、C【解題分析】由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則計(jì)算后可判斷【題目詳解】A：；B：；C：；D：故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】利用等比中項(xiàng)及等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出首項(xiàng)，再利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出前10項(xiàng)的和.【題目詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，由已知條件得，即，，解得，則.故答案為：.14、①②④【解題分析】利用頻率分布直方圖中頻率的求解方法，通過求解頻率即可判斷選項(xiàng)①，②，④，利用平均值的計(jì)算方法，即可判斷選項(xiàng)③【題目詳解】解：對于①，該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率為，故選項(xiàng)①正確；對于②，該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率為，故選項(xiàng)②正確；對于③，估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值為萬元，故選項(xiàng)③錯(cuò)誤；對于④，家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的頻率為，故估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間，故選項(xiàng)④正確故答案為：①②④15、【解題分析】根據(jù)題意，作出拋物線的簡圖，求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程，分析可得為直角梯形中位線，由拋物線的定義分析可得答案【題目詳解】如圖，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，分別過，作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，，則有過的中點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則為直角梯形中位線，則，即，解得.所以的橫坐標(biāo)為故答案為：16、2或10【解題分析】求出在處的導(dǎo)數(shù)，得出切線方程，與聯(lián)立，利用可求.【題目詳解】令，，則，，可得曲線在點(diǎn)處的切線方程為.聯(lián)立，得，，解得或.故答案為：2或10.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】（1）設(shè)，，的中點(diǎn)為，利用“點(diǎn)差法”求解；（2）由求得A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而得到的長，再根據(jù)，設(shè)直線的方程為，由，求得的長，然后由四邊形的面積為求解.【小問1詳解】解：把右焦點(diǎn)代入直線，得，設(shè)，，的中點(diǎn)為，則，，相減得，即，即，即.又，，則.又，解得，，故橢圓的方程為.【小問2詳解】聯(lián)立消去，可得，解得或，故交點(diǎn)為，.所以.因?yàn)?，所以可設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立消去，得到，因?yàn)橹本€與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則，解得，且，又，則.故四邊形的面積為，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為.所以四邊形的面積的最大值為.18、（1）；（2）最大值為，最小值為【解題分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由即可解得；（2）求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而可以求出函數(shù)的最值.【題目詳解】解：（1）由題意，可得，得.（2），令，得或（舍去）當(dāng)變化時(shí)，與變化如下遞增遞減所以函數(shù)在上的最大值為，最小值為.19、（1）（2）【解題分析】（1）設(shè)事件“甲在第次投籃投中”，設(shè)事件“乙在第次投籃投中”，記“甲乙各投球一次，比賽結(jié)束”為事件，則，利用獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式，即得解（2）記“甲獲勝”為事件，由題意，根據(jù)概率的加法公式和獨(dú)立事件的概率公式，即得解【小問1詳解】設(shè)事件“甲在第次投籃投中”，其中設(shè)事件“乙在第次投籃投中”，其中則，，其中記“甲乙各投球一次，比賽結(jié)束”為事件，，事件與事件相互獨(dú)立根據(jù)事件獨(dú)立性定義得：甲乙各投球一次，比賽結(jié)束的概率為【小問2詳解】記“甲獲勝”為事件，事件、事件、事件彼此互斥根據(jù)概率加法公式和事件獨(dú)立性定義得：甲獲勝的概率為20、（1）證明見解析；（2），.【解題分析】（1）證明出，即可證得結(jié)論成立；（2）由（1）的結(jié)論并確定數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用分組求和法可求得.【小問1詳解】證明：因?yàn)閿?shù)列滿足，，則，且，則，，，以此類推可知，對任意的，，所以，，故數(shù)列為等比數(shù)列.【小問2詳解】解：由（1）可知，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，所以，，因此，.21、（1）（2）過定點(diǎn)，定點(diǎn)為【解題分析】（1）根據(jù)離心率及頂點(diǎn)坐標(biāo)求出即可得橢圓方程；（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為（），求出的坐標(biāo)，設(shè)是以為直徑的圓上的點(diǎn)，利用向量垂直可得恒成立，可得定點(diǎn)，斜率不存在時(shí)驗(yàn)證即可.【小問1詳解】由題意得，，，又因?yàn)?，所?所以橢圓C的方程為.【小問2詳解】以為直徑的圓過定點(diǎn).