廣東省廣州市越秀區(qū)荔灣區(qū)聯(lián)考2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末綜合測(cè)試試題含解析

廣東省廣州市越秀區(qū)荔灣區(qū)聯(lián)考2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末綜合測(cè)試試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知直線(xiàn)，，點(diǎn)是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線(xiàn)和的距離之和的最小值為（）A.2 B.C.3 D.2．已知點(diǎn)在拋物線(xiàn)：上，則的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線(xiàn)的距離為（）A. B.C.1 D.23．已知命題，；命題，，那么下列命題為假命題的是（）A. B.C. D.4．若定義在R上的函數(shù)滿(mǎn)足，則不等式的解集為（）A. B.C. D.5．過(guò)雙曲線(xiàn)（，）的左焦點(diǎn)作圓：的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，，雙曲線(xiàn)的左頂點(diǎn)為，若，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（）A. B.C. D.6．參加抗疫的300名醫(yī)務(wù)人員，編號(hào)為1，2，…，300.為了解這300名醫(yī)務(wù)人員的年齡情況，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取15名醫(yī)務(wù)人員的年齡進(jìn)行調(diào)查.若抽到的第一個(gè)編號(hào)為6，則抽到的第二個(gè)編號(hào)為（）A.21 B.26C.31 D.367．在平面上給定相異兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在同一平面上且滿(mǎn)足，當(dāng)且時(shí)，點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故我們稱(chēng)這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有雙曲線(xiàn)，為雙曲線(xiàn)的左、右頂點(diǎn)，為雙曲線(xiàn)的虛軸端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，面積的最大值為，面積的最小值為，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A. B.C. D.8．有6本不同的書(shū)，按下列方式進(jìn)行分配，其中分配種數(shù)正確的是（）A.分給甲、乙、丙三人，每人各2本，有15種分法；B.分給甲、乙、丙三人中，一人4本，另兩人各1本，有180種分法；C.分給甲乙每人各2本，分給丙丁每人各1本，共有90種分法；D.分給甲乙丙丁四人，有兩人各2本，另兩人各1本，有1080種分法；9．已知雙曲線(xiàn)離心率為2，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)C交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P恰好是弦的中點(diǎn)，則直線(xiàn)的方程為（）A. B.C. D.10．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線(xiàn)論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒(méi)有插足的余地.他證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將之稱(chēng)為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有橢圓為橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)，為橢圓短軸的端點(diǎn)，，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足面積的最大值為面積的最小值為，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.11．在正三棱錐中，，且，M，N分別為BC，AD的中點(diǎn)，則直線(xiàn)AM和CN夾角的余弦值為（）A. B.C. D.12．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，則p的值為_(kāi)_____14．已知數(shù)列滿(mǎn)足，，則______.15．經(jīng)過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)，直線(xiàn)與連接兩點(diǎn)線(xiàn)段總有公共點(diǎn)，則直線(xiàn)的斜率的取值范圍是________16．設(shè)，向量，，，且，，則___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）求的導(dǎo)數(shù)；（2）求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程.18．（12分）已知，對(duì)于有限集，令表示集合中元素的個(gè)數(shù)．例如：當(dāng)時(shí)，，（1）當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出集合的子集的個(gè)數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，，都是集合的子集（，可以相同），并且．求滿(mǎn)足條件的有序集合對(duì)的個(gè)數(shù)；（3）假設(shè)存在集合、具有以下性質(zhì)：將1，1，2，2，··，，．這個(gè)整數(shù)按某種次序排成一列，使得在這個(gè)序列中，對(duì)于任意，與之間恰好排列個(gè)整數(shù)．證明：是4的倍數(shù)19．（12分）已知空間內(nèi)不重合的四點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)分別為，，，，且（1）求k，t的值；（2）求點(diǎn)B到直線(xiàn)CD的距離20．（12分）已知公差不為0的等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，首項(xiàng)為，且成等比數(shù)列.（1）求和；（2）設(shè)，記，求.21．（12分）如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，已知平面，且，E為中點(diǎn)（1）證明：平面；（2）證明：平面平面22．（10分）已知等差數(shù)列中，，前5項(xiàng)的和為，數(shù)列滿(mǎn)足，（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】由拋物線(xiàn)的定義可知點(diǎn)到直線(xiàn)和的距離之和的最小值即為焦點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.【題目詳解】解：由題意，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為，所以根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可得點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等于，所以點(diǎn)到直線(xiàn)和的距離之和的最小值即為焦點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，故選：C.2、B【解題分析】由點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，求得參數(shù)，焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線(xiàn)的距離即為.【題目詳解】由點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，易知，，故焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線(xiàn)的距離為.故選：B.3、B【解題分析】由題設(shè)命題的描述判斷、的真假，再判斷其復(fù)合命題的真假即可.【題目詳解】對(duì)于命題，僅當(dāng)時(shí)，故為假命題；對(duì)于命題，由且開(kāi)口向上，故為真命題；所以為真命題，為假命題，綜上，為真，為假，為真，為真.故選：B4、B【解題分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題意，求得其單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性解不等式即可.【題目詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，故在上單調(diào)遞減；又，故可得，則，即，解得，故不等式解集為.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考察利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，以及利用函數(shù)單調(diào)性求解不等式，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，屬中檔題.5、C【解題分析】根據(jù)，，可以得到，從而得到與的關(guān)系式，再由，，的關(guān)系，進(jìn)而可求雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程【題目詳解】解：由，，則是圓的切線(xiàn)，，，，所以，因?yàn)殡p曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，即為故選：C6、B【解題分析】將300個(gè)數(shù)編號(hào)：001，002，003，，3000，再平均分為15個(gè)小組，然后按系統(tǒng)抽樣方法得解.【題目詳解】將300個(gè)數(shù)編號(hào)：001，002，003，，3000，再平均分為15個(gè)小組，則第一編號(hào)為006，第二個(gè)編號(hào)為.故選：B.7、C【解題分析】先求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，再根據(jù)面積的最大值求得，根據(jù)的面積最小值求，由此可求雙曲線(xiàn)的離心率.【題目詳解】設(shè)，，,依題意得,即,兩邊平方化簡(jiǎn)得,所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓心為,半徑的圓，當(dāng)位于圓的最高點(diǎn)時(shí)的面積最大，所以,解得；當(dāng)位于圓的最左端時(shí)的面積最小，所以,解得,故雙曲線(xiàn)的離心率為.故選:C.8、D【解題分析】根據(jù)題意，分別按照選項(xiàng)說(shuō)法列式計(jì)算驗(yàn)證即可做出判斷.【題目詳解】選項(xiàng)A，6本不同的書(shū)分給甲、乙、丙三人，每人各2本，有種分配方法，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，6本不同的書(shū)分給甲、乙、丙三人，一人4本，另兩人各1本，先將6本書(shū)分成4-1-1的3組，再將三組分給甲乙丙三人，有種分配方法，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，6本不同的書(shū)分給甲乙每人各2本，有種方法，其余分給丙丁每人各1本，有種方法，所以不同的分配方法有種，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，先將6本書(shū)分為2-2-1-14組，再將4組分給甲乙丙丁4人，有種方法，故該選項(xiàng)正確.故選：D.9、C【解題分析】運(yùn)用點(diǎn)差法即可求解【題目詳解】由已知得，又，，可得.則雙曲線(xiàn)C的方程為.設(shè)，，則兩式相減得，即.又因?yàn)辄c(diǎn)P恰好是弦的中點(diǎn)，所以，，所以直線(xiàn)的斜率為，所以直線(xiàn)的方程為，即.經(jīng)檢驗(yàn)滿(mǎn)足題意故選：C10、A【解題分析】由題可得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，可得，，即求.【題目詳解】設(shè)，，由，可得=2，化簡(jiǎn)得.∵△MAB面積的最大值為面積的最小值為，∴，，∴，即，∴故選：A11、B【解題分析】由題意可得兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，所在的直線(xiàn)分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解【題目詳解】因?yàn)?，所以?xún)蓛纱怪?，所以以為原點(diǎn)，所在的直線(xiàn)分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)?，所?因?yàn)镸，N分別為BC，AD的中點(diǎn)，所以，所以，設(shè)直線(xiàn)AM和CN所成的角為，則,所以直線(xiàn)AM和CN夾角的余弦值為，故選：B12、B【解題分析】利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則即可求導(dǎo).【題目詳解】，故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解題分析】利用橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程概念求解【題目詳解】因?yàn)榻裹c(diǎn)為，所以焦點(diǎn)在y軸上，所以故答案：314、1023【解題分析】由數(shù)列遞推公式求特定項(xiàng)，依次求下去即可解決.【題目詳解】數(shù)列中，則，，，，，，故答案為：102315、【解題分析】求出的斜率，結(jié)合圖形可得結(jié)論【題目詳解】，，而，因此，故答案為：16、3【解題分析】利用向量平行和向量垂直的性質(zhì)列出方程組，求出，，再由空間向量坐標(biāo)運(yùn)算法則求出，由此能求出【題目詳解】解：設(shè)，，向量，，，且，，，解得，，所以，，，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】(1)利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及求導(dǎo)法則直接計(jì)算作答.(2)求出，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線(xiàn)方程作答.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，所以函?shù).【小問(wèn)2詳解】由(1)知，，而，于是得，即，所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程是.18、（1）8（2）454（3）證明見(jiàn)詳解【解題分析】（1）n元集合的直接個(gè)數(shù)為可得；（2）由已知結(jié)合可得，或，然后可得集合的包含關(guān)系可解；（3）根據(jù)每?jī)蓚€(gè)相同整數(shù)之間的整數(shù)個(gè)數(shù)之和與總的數(shù)字個(gè)數(shù)之間的關(guān)系可證.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，集合的子集個(gè)數(shù)為【小問(wèn)2詳解】易知，又，所以，即，得，或，所以或1）若，則滿(mǎn)足條件的集合對(duì)共有，2）若，同理，滿(mǎn)足條件集合對(duì)共有2433）當(dāng)A=B時(shí)，滿(mǎn)足條件的集合對(duì)共有所以，滿(mǎn)足條件集合對(duì)共243+243-32=454個(gè).【小問(wèn)3詳解】記，則1，1，2，2，··，，共2n個(gè)正整數(shù)，將這2n個(gè)正整數(shù)按照要求排列時(shí)，需在1和1中間放入1個(gè)數(shù)，在2和2中間放入2個(gè)數(shù)，…，在n和n中間放入n個(gè)數(shù)，共放入了個(gè)數(shù)，由于排列完成后共有2n個(gè)數(shù)，且1，1，2，2，··，，剛好放完，所以放入數(shù)字個(gè)數(shù)必為偶數(shù)，即Z，所以，Z，所以是4的倍數(shù)19、（1），（2）【解題分析】（1）由，可得存在唯一實(shí)數(shù)，使得，列出方程組，解之即可得解；（2）設(shè)直線(xiàn)與所成的角為，求出，再根據(jù)點(diǎn)B到直線(xiàn)CD的距離為即可得解【小問(wèn)1詳解】解：，，因?yàn)?，所以存在唯一?shí)數(shù)，使得，所以，所以，解得，所以，；【小問(wèn)2詳解】解：，則，設(shè)直線(xiàn)與所成的角為，則，所以點(diǎn)B到直線(xiàn)CD的距離為.20、（1）（2）【解題分析】（1）由題意解得等差數(shù)列的公差，代入公式即可求得和；（2）把n分為奇數(shù)和偶數(shù)兩類(lèi)，分別去數(shù)列的前n項(xiàng)和.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，由題有，即，解之得或0，又，所以，所以.【小問(wèn)2詳解】，當(dāng)為正奇數(shù)，，當(dāng)為正偶數(shù)，，所以21、（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解題分析】（1）設(shè)與交于點(diǎn)，連結(jié)，易證，再利用線(xiàn)面平行的判斷定理即可證得答案；（2）利用線(xiàn)面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判斷定理即可.【小問(wèn)1詳解】