湖北省隨州市第一高級中學2024屆數(shù)學高二上期末經(jīng)典試題含解析

湖北省隨州市第一高級中學2024屆數(shù)學高二上期末經(jīng)典試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設是等比數(shù)列，且，，則（）A.12 B.24C.30 D.322．已知直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點，且直線l與圓相切，則的面積的最小值為（）A.1 B.2C.3 D.43．橢圓中以點為中點的弦所在直線斜率為（）A. B.C. D.4．設是雙曲線與圓在第一象限的交點，，分別是雙曲線的左，右焦點，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.5．已知在等比數(shù)列中，，，則（）A.9或 B.9C.27或 D.276．設是空間一定點，為空間內(nèi)任一非零向量，滿足條件的點構(gòu)成的圖形是（）A.圓 B.直線C.平面 D.線段7．設，命題“若，則或”的否命題是（）A.若，則或B.若，則或C.若，則且D.若，則且8．某救援隊有5名隊員，其中有1名隊長，1名副隊長，在一次救援中需隨機分成兩個行動小組，其中一組2名隊員，另一組3名隊員，則正、副隊長不在同一組的概率為（）A. B.C. D.9．某城市2017年的空氣質(zhì)量狀況如下表所示：污染指數(shù)3060100110130140概率其中污染指數(shù)時，空氣質(zhì)量為優(yōu)；時，空氣質(zhì)量為良；時，空氣質(zhì)量為輕微污染，該城市2017年空氣質(zhì)量達到良或優(yōu)的概率為（）A. B.C. D.10．在直三棱柱中，，M，N分別是，的中點，，則AN與BM所成角的余弦值為（）A. B.C. D.11．雙曲線（，）的一條漸近線的傾斜角為，則離心率為（）A. B.C.2 D.412．某雙曲線的一條漸近方程為，且焦點為，則該雙曲線的方程是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某班有位同學，將他們從至編號，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法從中選取人參加文藝演出，抽出的編號從小到大依次排列，若排在第一位的編號是，那么第四位的編號是______14．直線的傾斜角的取值范圍是______.15．直線的一個法向量________.16．無窮數(shù)列滿足：只要必有，則稱為“和諧遞進數(shù)列”，已知為“和諧遞進數(shù)列”，且前四項成等比數(shù)列，，，則__________，若數(shù)列前項和為，則__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，平面ABCD，，.（1）求點B到平面PCD的距離；（2）求二面角的平面角的余弦值.18．（12分）已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，，，△ABC的面積為（1）求a；（2）若D為BC邊上一點，且∠BAD=，求∠ADC的正弦值19．（12分）已知拋物線的焦點F，C上一點到焦點的距離為5（1）求C的方程；（2）過F作直線l，交C于A，B兩點，若線段AB中點的縱坐標為-1，求直線l的方程20．（12分）已知在平面直角坐標系中，圓A：的圓心為A，過點B(，0)任作直線l交圓A于點C、D，過點B作與AD平行的直線交AC于點E.（1）求動點E的軌跡方程；（2）設動點E的軌跡與y軸正半軸交于點P，過點P且斜率為k1，k2的兩直線交動點E的軌跡于M、N兩點(異于點P)，若，證明：直線MN過定點.21．（12分）設橢圓：的左頂點為，右頂點為.已知橢圓的離心率為，且以線段為直徑的圓被直線所截得的弦長為.（1）求橢圓的標準方程；（2）設過點的直線與橢圓交于點，且點在第一象限，點關(guān)于軸對稱點為點，直線與直線交于點，若直線斜率大于，求直線的斜率的取值范圍.22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面底面，為側(cè)棱上一點（1）求證：；（2）若為中點，平面與側(cè)棱于點，且，求四棱錐的體積

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】根據(jù)已知條件求得的值，再由可求得結(jié)果.【題目詳解】設等比數(shù)列的公比為，則，，因此，.故選：D.【題目點撥】本題主要考查等比數(shù)列基本量的計算，屬于基礎(chǔ)題2、A【解題分析】由直線與圓相切可得，再利用基本不等式即求.【題目詳解】由已知可得，，因為直線與圓相切，所以，即，因為，當且僅當時取等號，所以，，所以面積的最小值為1.故選：A3、A【解題分析】先設出弦的兩端點的坐標，分別代入橢圓方程，兩式相減后整理即可求得弦所在的直線的斜率【題目詳解】設弦的兩端點為，，代入橢圓得兩式相減得，即，即，即，即，弦所在的直線的斜率為，故選:A4、B【解題分析】先由雙曲線定義與題中條件得到，，求出，，再由題意得到，即可根據(jù)勾股定理求出結(jié)果.【題目詳解】解：根據(jù)雙曲線定義：，，∴，∴，，，∴是圓的直徑，∴，中，，得故選【題目點撥】本題主要考查求雙曲線的離心率，熟記雙曲線的簡單性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.5、B【解題分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可求.【題目詳解】因為為等比數(shù)列，設公比為，則，解得，又，所以.故選：B.6、C【解題分析】根據(jù)法向量的定義可判斷出點所構(gòu)成的圖形.【題目詳解】是空間一定點，為空間內(nèi)任一非零向量，滿足條件，所以，構(gòu)成的圖形是經(jīng)過點，且以為法向量的平面.故選：C.【題目點撥】本題考查空間中動點的軌跡，考查了法向量定義的理解，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解題分析】根據(jù)否命題的定義直接可得.【題目詳解】根據(jù)否命題的定義可得命題“若，則或”的否命題是若，則且，故選：C.8、C【解題分析】求出基本事件總數(shù)與正、副隊長不在同一組的基本事件個數(shù)，即可求出答案.【題目詳解】基本事件總數(shù)為正、副隊長不在同一組的基本事件個數(shù)為故正、副隊長不在同一組的概率為.故選：C.9、A【解題分析】根據(jù)互斥事件的和的概率公式求解即可.【題目詳解】由表知空氣質(zhì)量為優(yōu)的概率是，由互斥事件的和的概率公式知，空氣質(zhì)量為良的概率為，所以該城市2017年空氣質(zhì)量達到良或優(yōu)的概率，故選：A【題目點撥】本題主要考查了互斥事件，互斥事件和的概率公式，屬于中檔題.10、D【解題分析】構(gòu)建空間直角坐標系，根據(jù)已知條件求AN與BM對應的方向向量，應用空間向量夾角的坐標表示求AN與BM所成角的余弦值.【題目詳解】建立如下圖所示的空間直角坐標系，∴，，，，∴，，∴，所以AN與BM所成角的余弦值為.故選：D11、C【解題分析】根據(jù)雙曲線方程寫出漸近線方程，得出，進而可求出雙曲線的離心率.【題目詳解】因為雙曲線的漸近線方程為，又其中一條漸近線的傾斜角為，所以，則，所以該雙曲線離心率為.故選：C.12、D【解題分析】設雙曲線的方程為，利用焦點為求出的值即可.【題目詳解】因為雙曲線的一條漸近方程為，且焦點為，所以可設雙曲線的方程為，則，，所以該雙曲線方程為.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、29【解題分析】根據(jù)給定信息利用系統(tǒng)抽樣的特征直接計算作答.【題目詳解】因系統(tǒng)抽樣是等距離抽樣，依題意，相鄰兩個編號相距，所以第四位的編號是.故答案為：2914、【解題分析】先求出直線的斜率取值范圍，再根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系，即可求出【題目詳解】可化為：，所以，由于，結(jié)合函數(shù)在上的圖象，可知故答案為：【題目點撥】本題主要考查斜率與傾斜角的關(guān)系的應用，以及直線的一般式化斜截式，屬于基礎(chǔ)題15、（答案不唯一）【解題分析】根據(jù)給定直線方程求出其方向向量，再由法向量意義求解作答.【題目詳解】直線的方向向量為，而，所以直線的一個法向量.故答案為：16、①.2②.7578【解題分析】根據(jù)前四項成等比數(shù)列及定義可求得，根據(jù)新定義得數(shù)列是周期數(shù)列，從而易求得【題目詳解】∵成等比數(shù)列，，，又，為“和諧遞進數(shù)列”，，，，，…，數(shù)列是周期數(shù)列，周期為4，故答案為：2，7578三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】（1）建立空間直角坐標系，用點到面的距離公式即可算出答案；（2）先求出兩個面的法向量，然后用二面角公式即可.【小問1詳解】∵平面平面∴PB⊥AB,PB⊥BC,又兩兩互相垂直,所以，以點為坐標原點，分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，D(3,6,0),A(0,6,0)設平面的一個法向量所以n?PD令，可得記點到平面的距離為，則d=【小問2詳解】由(1)可知平面的一個法向量為平面的一個法向量為設二面角的平面角為由圖可知，18、（1）（2）【解題分析】（1）利用面積公式及余弦定理可求解；（2）由正弦定理得到，再運用同角函數(shù)的關(guān)系得到，最后運用正弦的兩角和公式求解即可.【小問1詳解】∵，，，∴由余弦定理：，∴【小問2詳解】在中，由正弦定理得，∴，易知B為銳角，∴，∴19、（1）；（2）.【解題分析】（1）由拋物線的定義，結(jié)合已知有求p，寫出拋物線方程.（2）由題意設直線l為，聯(lián)立拋物線方程，應用韋達定理可得，由中點公式有，進而求k值，寫出直線方程.【題目詳解】（1）由題意知：拋物線的準線為，則，可得，∴C的方程為.（2）由（1）知：，由題意知：直線l的斜率存在，令其方程為，∴聯(lián)立拋物線方程，得：，，若，則，而線段AB中點的縱坐標為-1，∴，即，得，∴直線l的方程為.【題目點撥】關(guān)鍵點點睛：（1）利用拋物線定義求參數(shù)，寫出拋物線方程；（2）由直線與拋物線相交，以及相交弦的中點坐標值，應用韋達定理、中點公式求直線斜率，并寫出直線方程.20、（1）（2）證明見解析【解題分析】(1)作出圖象，易知|EB|＋|EA|為定值，根據(jù)橢圓定義即可判斷點E的軌跡，從而寫出其軌跡方程；(2)設，當直線MN斜率存在時，設直線MN的方程為：，聯(lián)立MN方程和E的軌跡方程得根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)解出k與m的關(guān)系即可以判斷MN過定點；最后再考慮MN斜率不存在時是否也過該定點即可.【小問1詳解】由圓A：可得(，∴圓心A(－，0)，圓的半徑r＝8，，，可得，，，由橢圓的定義可得：點E的軌跡是以A(，0)、B(，0)為焦點，2a＝8的橢圓，即a＝4，c＝，∴＝16－7＝9，∴動點E的軌跡方程為；【小問2詳解】由(1)知，P(0，3)，設，當直線MN的斜率存在時，設直線MN的方程為：，由，可得，∴，，∵，∴，即，整理可得：，∴k＝m＋3或m＝3，當m＝3時，直線MN的方程為：，此時過點P(0，3)不符合題意，∴k＝m＋3，∴直線MN的方程為：此時直線MN過點(－1，－3)，當直線MN的斜率不存在時，，，解得，此時直線MN的方程為：，過點(－1，－3)，綜上所述：直線MN過定點(－1，－3).21、（1）；（2）.【解題分析】（1）根據(jù)直線被圓截得的弦長為，由解得，再由離心率結(jié)合求解。（2）設，則，得到直線：；直線：，聯(lián)立求得，再根據(jù)線斜率大于，求得，然后由求解.【題目詳解】（1）以線段為直徑的圓的圓心為：，半徑，圓心到直線的距離，直線被圓截得的弦長為，解得：，又橢圓離心率，∴，，橢圓的標準方程為：.（2）設，其中，，則，∴，，則直線為：；直線為：，由得：，∴，∴，∴，令，，則，∴，∵∴，∴，即.【題目點撥】本題主要考查橢圓方程和幾何性質(zhì)以及直線與圓，橢圓的位置關(guān)系的應用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔