湖南省永州市祁陽(yáng)縣第一中學(xué)2024年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

湖南省永州市祁陽(yáng)縣第一中學(xué)2024年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知向量，滿(mǎn)足條件，則的值為（）A.1 B.C.2 D.2．如果一個(gè)矩形長(zhǎng)與寬的比值為，那么稱(chēng)該矩形為黃金矩形.如圖，已知是黃金矩形，，分別在邊，上，且也是黃金矩形.若在矩形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自黃金矩形內(nèi)的概率為（）A. B.C. D.3．若向量則（）A. B.3C. D.4．在平面幾何中，將完全覆蓋某平面圖形且直徑最小的圓，稱(chēng)為該平面圖形的最小覆蓋圓.如線(xiàn)段的最小覆蓋圓就是以該線(xiàn)段為直徑的圓，銳角三角形的最小覆蓋圓就是該三角形的外接圓.若，，，則的最小覆蓋圓的半徑為（）A. B.C. D.5．已知命題：，命題：，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6．設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo)，則（）A. B.C. D.以上都不對(duì)7．在圓上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)段PD，D為垂足，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線(xiàn)段PD的中點(diǎn)M的軌跡記為C，則曲線(xiàn)C的離心率為（）A. B.C. D.8．已知拋物線(xiàn)上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，則點(diǎn)到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離為A.2 B.3C.4 D.59．已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的取值范圍（）A.-1m B.-1m<0或0<mC.m或m-1 D.m1或m-110．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為S，若，且，則S3等于（）A.28 B.26C.28或-12 D.26或-1011．如圖，過(guò)拋物線(xiàn)y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線(xiàn)的方程為（）A.y2＝9x B.y2＝6xC.y2＝3x D.y2＝x12．橢圓與(0<k<9)的（）A.長(zhǎng)軸的長(zhǎng)相等B.短軸的長(zhǎng)相等C.離心率相等D.焦距相等二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，，直線(xiàn)恰好經(jīng)過(guò)橢圓的上焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)，則橢圓的方程是________________14．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=3，AD=3，AA1=4，P是側(cè)面BCC1B1上的動(dòng)點(diǎn)，且AP⊥BD1，記點(diǎn)P到平面ABCD的距離為d，則d的最大值為_(kāi)___________.15．在等比數(shù)列中，已知，則________16．若雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)與圓相切，則該雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為_(kāi)_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知是公比不為1的等比數(shù)列，，且為的等差中項(xiàng).（1）求的公比；（2）求的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和.18．（12分）已知是公差不為0的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，且，，成等比數(shù)列.（1）求和；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知點(diǎn)，圓，點(diǎn)Q在圓上運(yùn)動(dòng)，的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)P.（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)l交曲線(xiàn)C于A、B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)T，使以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.20．（12分）某省電視臺(tái)為了解該省衛(wèi)視一檔成語(yǔ)類(lèi)節(jié)目的收視情況，抽查東西兩部各5個(gè)城市，得到觀(guān)看該節(jié)目的人數(shù)（單位：千人）如下莖葉圖所示：其中一個(gè)數(shù)字被污損.（1）求東部各城市觀(guān)看該節(jié)目觀(guān)眾平均人數(shù)超過(guò)西部各城市觀(guān)看該節(jié)目觀(guān)眾平均人數(shù)的概率.（2）隨著節(jié)目的播出，極大激發(fā)了觀(guān)眾對(duì)成語(yǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)積累的熱情，從中獲益匪淺.現(xiàn)從觀(guān)看該節(jié)目的觀(guān)眾中隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了4位觀(guān)眾的周均學(xué)習(xí)成語(yǔ)知識(shí)的時(shí)間（單位：小時(shí)）與年齡（單位：歲），并制作了對(duì)照表（如下表所示）年齡（歲）20304050周均學(xué)習(xí)成語(yǔ)知識(shí)時(shí)間（小時(shí)）2.5344.5由表中數(shù)據(jù)，試求線(xiàn)性回歸方程，并預(yù)測(cè)年齡為55歲觀(guān)眾周均學(xué)習(xí)成語(yǔ)知識(shí)時(shí)間.參考公式：，.21．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和是，且，等差數(shù)列中，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）定義：記，求數(shù)列的前20項(xiàng)和22．（10分）已知圓，圓心在直線(xiàn)上（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求直線(xiàn)被圓截得的弦的長(zhǎng)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】先求出坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求得答案.【題目詳解】因?yàn)?，所以，解?故選：A.2、B【解題分析】由幾何概型的面積型，只需求小矩形的面積和大矩形面積之比.【題目詳解】由題意，不妨設(shè)，則，又也是黃金矩形，則，又，解得，于是大矩形面積為：，小矩形的面積為，由幾何概型的面積型，概率為若在矩形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自黃金矩形內(nèi)的概率為：.故選：B.3、D【解題分析】先求得，然后根據(jù)空間向量模的坐標(biāo)運(yùn)算求得【題目詳解】由于向量，，所以.故故選：D4、C【解題分析】根據(jù)新定義只需求銳角三角形外接圓的方程即可得解.【題目詳解】，，，為銳角三角形，的外接圓就是它的最小覆蓋圓，設(shè)外接圓方程為，則解得的最小覆蓋圓方程為，即，的最小覆蓋圓的半徑為.故選：C5、B【解題分析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.【題目詳解】因?yàn)槊}：或，命題：，所以是的必要不充分條件，故選：B6、B【解題分析】根據(jù)極限的定義計(jì)算【題目詳解】由題意故選：B7、B【解題分析】設(shè)，，則由題意可得，代入圓方程中化簡(jiǎn)可得曲線(xiàn)C的方程，從而可求出離心率【題目詳解】設(shè)，，則，得，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，即，所以點(diǎn)的軌跡方程為，所以，則所以離心率為，故選：B8、D【解題分析】拋物線(xiàn)焦點(diǎn)在軸上，開(kāi)口向上，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，因?yàn)辄c(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，所以點(diǎn)A到拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，因?yàn)閽佄锞€(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，所以點(diǎn)A與拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離為5.考點(diǎn)：本小題主要考查應(yīng)用拋物線(xiàn)定義和拋物線(xiàn)上點(diǎn)的性質(zhì)拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.點(diǎn)評(píng)：拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，這條性質(zhì)在解題時(shí)經(jīng)常用到，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.9、C【解題分析】把看成動(dòng)點(diǎn)與所確定的直線(xiàn)的斜率，動(dòng)點(diǎn)在所給曲線(xiàn)上.【題目詳解】就是點(diǎn)，所確定的直線(xiàn)的斜率，而在上，因?yàn)椋?故選：C10、C【解題分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程求解，直接計(jì)算S3即可.【題目詳解】由可得，即，所以，又，解得，所以，即，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，故選：C11、C【解題分析】過(guò)點(diǎn)A，B分別作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，交準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)E，D，設(shè)|BF|＝a，利用拋物線(xiàn)的定義和平行線(xiàn)的性質(zhì)、直角三角形求解【題目詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)A，B分別作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，交準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)E，D，設(shè)|BF|＝a，則由已知得|BC|＝2a，由拋物線(xiàn)定義得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因?yàn)閨AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，2|AE|＝|AC|，所以3＋3a＝6，從而得a＝1，|FC|＝3a＝3，所以p＝|FG|＝|FC|＝，因此拋物線(xiàn)的方程為y2＝3x，故選：C.12、D【解題分析】根據(jù)橢圓方程求得兩個(gè)橢圓的，由此確定正確選項(xiàng).【題目詳解】橢圓與(0<k<9)的焦點(diǎn)分別在x軸和y軸上，前者a2＝25，b2＝9，則c2＝16，后者a2＝25－k，b2＝9－k，則顯然只有D正確故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】設(shè)過(guò)點(diǎn)的圓的切線(xiàn)為，分類(lèi)討論求得直線(xiàn)分別與圓的切線(xiàn)，求得直線(xiàn)的方程，從而得到直線(xiàn)與軸、軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，得到橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，進(jìn)而求得橢圓的方程.【題目詳解】設(shè)過(guò)點(diǎn)的圓的切線(xiàn)分別為，即，當(dāng)直線(xiàn)與軸垂直時(shí)，不存在，直線(xiàn)方程為，恰好與圓相切于點(diǎn)；當(dāng)直線(xiàn)與軸不垂直時(shí)，原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，解得，此時(shí)直線(xiàn)的方程為，此時(shí)直線(xiàn)與圓相切于點(diǎn)，因此，直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的方程為，所以直線(xiàn)交軸交于點(diǎn)，交于軸于點(diǎn)，橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，所以，可得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.14、##【解題分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得的坐標(biāo)之間的關(guān)系，以及坐標(biāo)的范圍，即可求得結(jié)果.【題目詳解】以D為原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如下所示：設(shè)，則，，∵，∴，解得，因?yàn)?，所以c的最大值為，即點(diǎn)P到平面的距離d的最大值為.故答案為：.15、2【解題分析】由等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解.【題目詳解】由等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)得：故答案為：216、【解題分析】由雙曲線(xiàn)方程寫(xiě)出漸近線(xiàn)，根據(jù)相切關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)線(xiàn)距離公式求參數(shù)a，即可確定實(shí)軸長(zhǎng).【題目詳解】由題設(shè)，漸近線(xiàn)方程為，且圓心為，半徑為1，所以，由相切關(guān)系知：，可得，又，即，所以雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2），【解題分析】（1）設(shè)數(shù)列公比為，根據(jù)列出方程，即可求解；（2）：由（1）得到，利用等比數(shù)列的求和公式，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)數(shù)列公比為，因?yàn)闉榈牡炔钪许?xiàng)，可得，即，即，解得或（舍去），所以等比數(shù)列的公比為.【小問(wèn)2詳解】解：由（1）知且，可得，所以.18、（1），；（2）.【解題分析】（1）求出，即得數(shù)列的和；（2）由題得，再利用分組求和求出，得到，令，判斷函數(shù)的單調(diào)性得解.【題目詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由已知得，，即，整理得，又，，；（2）由題意：，，，令，則，即對(duì)任意的恒成立，是單調(diào)遞增數(shù)列，，只需，所以.【題目點(diǎn)撥】方法點(diǎn)睛：求數(shù)列的最值，常用數(shù)列的單調(diào)性求解，求數(shù)列的單調(diào)性，一般利用定義法作差或作商判斷.19、（1）；（2）存在，T(0，1)﹒【解題分析】(1)根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合即可求P的軌跡方程；(2)假設(shè)存在T(0，t)，設(shè)AB方程為，聯(lián)立直線(xiàn)方程和橢圓方程，代入＝0即可求出定點(diǎn)T.【小問(wèn)1詳解】由題可知，，則，由橢圓定義知P的軌跡是以F1、為焦點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，∴，∴，∴P的軌跡方程為C：；【小問(wèn)2詳解】假設(shè)存在T(0，t)滿(mǎn)足題意，易得AB的斜率一定存在，否則不會(huì)存在T滿(mǎn)足題意，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為，聯(lián)立，化為，易知恒成立，∴(*)由題可知，將(*)代入可得：即∴，解，∴在y軸上存在定點(diǎn)T(0，1)，使以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)T.20、（1）；（2）詳見(jiàn)解析.【解題分析】（1）先根據(jù)兩個(gè)平均值的大小得到的取值范圍，再利用古典概型的概率公式進(jìn)行求解；（2）先利用最小二乘法求出線(xiàn)性回歸方程，再利用方程進(jìn)行預(yù)測(cè).試題解析：（1）設(shè)被污損的數(shù)字為，則的所有可能取值為：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9共10種等可能結(jié)果，令，解得，則滿(mǎn)足“東部各城市觀(guān)看該節(jié)目觀(guān)眾平均人數(shù)超過(guò)西部各城市觀(guān)看該節(jié)目觀(guān)眾平均人數(shù)的”的取值有0,1,2,3,4,5,6,7共8個(gè)，所以其概率為.（2）由表中數(shù)據(jù)得，，∴，線(xiàn)性回歸方程.可預(yù)測(cè)年齡為55觀(guān)眾周均學(xué)習(xí)成語(yǔ)知識(shí)時(shí)間為4.9小時(shí).21、（1）；（2）【解題分析】（1）利用求得遞推關(guān)系得等比數(shù)列，從而得通項(xiàng)公式，再由等差數(shù)列的基本時(shí)法求得通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)定義求得，然后分組求和法求得和【小問(wèn)1詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，兩式相減，得，即是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列設(shè)數(shù)列的公差為，小問(wèn)2詳解】由22、（1）；（2）【解題分析】（1）由圓的一般式方