2024學(xué)年廣東執(zhí)信中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2024學(xué)年廣東執(zhí)信中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，四面體-，是底面△的重心，，則（）A B.C. D.2．設(shè)，，，則，，大小關(guān)系是A. B.C. D.3．二次方程的兩根為2，，那么關(guān)于的不等式的解集為（）A.或 B.或C. D.4．已知數(shù)列滿足，令是數(shù)列的前n項(xiàng)積，，現(xiàn)給出下列四個結(jié)論：①；②為單調(diào)遞增的等比數(shù)列；③當(dāng)時，取得最大值；④當(dāng)時，取得最大值其中所有正確結(jié)論的編號為（）A.②④ B.①③C.②③④ D.①③④5．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則E的方程為A.＋＝1 B.＋＝1C.＋＝1 D.＋＝16．不等式表示的平面區(qū)域是一個（）A.三角形 B.直角三角形C.矩形 D.梯形7．設(shè)等比數(shù)列，有下列四個命題：①{a②是等比數(shù)列；③是等比數(shù)列；④lgan其中正確命題的個數(shù)是（）A.1 B.2C.3 D.48．若方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.9．雙曲線型自然通風(fēng)塔外形是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，如圖所示，它的最小半徑為米，上口半徑為米，下口半徑為米，高為24米，則該雙曲線的離心率為（）A.2 B.C. D.10．已知，則的最小值是（）A.3 B.8C.12 D.2011．已知命題,，則A.， B.，C.， D.，12．已知命題p：，，則命題p的否定為（）A.， B.，C， D.，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)為第二象限角，若，則__________14．i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)______15．等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則__________.16．已知圓，圓，則兩圓的公切線條數(shù)是___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）圓心為的圓經(jīng)過點(diǎn),，且圓心在上，（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)作直線交圓于且，求直線的方程.18．（12分）已知拋物線上的點(diǎn)M（5，m）到焦點(diǎn)F的距離為6.（1）求拋物線C的方程；（2）過點(diǎn)作直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，求直線l方程.19．（12分）如圖，在幾何體中，底面是邊長為2的正三角形，平面，，且是的中點(diǎn).（1）求證:平面；（2）求二面角的余弦值.20．（12分）已知點(diǎn)，圓，點(diǎn)Q在圓上運(yùn)動，的垂直平分線交于點(diǎn)P.（1）求動點(diǎn)P的軌跡的方程；（2）過點(diǎn)的動直線l交曲線C于A、B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)T，使以AB為直徑的圓恒過這個點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.21．（12分）已知拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)為F，過F的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線C的準(zhǔn)線上，MF⊥AB，S△AFM＝λS△BFM（1）當(dāng)λ＝3時，求|AB|的值；（2）當(dāng)λ∈[]時，求|+|的最大值22．（10分）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足.（1）證明為等比數(shù)列，并求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）在（1）的條件下，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】根據(jù)空間向量的加減運(yùn)算推出，進(jìn)而得出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)椋?，故選：B2、A【解題分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)的單調(diào)性可得（3），從而得到，，的大小關(guān)系【題目詳解】考查函數(shù)，則，在上單調(diào)遞增，，（3），即，，故選：【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查了構(gòu)造法和轉(zhuǎn)化思想，屬基礎(chǔ)題3、B【解題分析】根據(jù)，確定二次函數(shù)的圖象開口方向，再由二次方程的兩根為2，，寫出不等式的解集.【題目詳解】因?yàn)槎畏匠痰膬筛鶠?，，又二次函數(shù)的圖象開口向上，所以不等式的解集為或，故選：B4、B【解題分析】求出，即可判斷選項(xiàng)①正確；求出，即可選項(xiàng)②錯誤；求出，利用單調(diào)性即可判斷選項(xiàng)③正確；求出，即可判斷選項(xiàng)④錯誤，即得解.【題目詳解】解：因?yàn)?，①所以，，②①②得，，整理得，又，滿足上式，所以，因?yàn)?，所以?shù)列為等差數(shù)列，公差為，所以，故①正確；，因?yàn)?，故?shù)列為等比數(shù)列，其中首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，因?yàn)?，，所以?shù)列為遞減的等比數(shù)列，故②錯誤；，因?yàn)闉閱握{(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)最大時，有最大值，因?yàn)?，所以時，最大，即時，取得最大值，故③正確；設(shè)，由可得，，解得或，又因?yàn)椋詴r，取得最大值，故④錯誤；故選：B5、D【解題分析】設(shè)、，所以，運(yùn)用點(diǎn)差法，所以直線的斜率為，設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，所以；又因?yàn)椋獾?【考點(diǎn)定位】本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力.6、D【解題分析】作出不等式組所表示平面區(qū)域，可得出結(jié)論.【題目詳解】由可得或，作出不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖中的陰影部分區(qū)域所示：由圖可知，不等式表示的平面區(qū)域是一個梯形.故選：D.7、C【解題分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)對四個命題逐一分析，由此確定正確命題的個數(shù).【題目詳解】是等比數(shù)列可得（為定值）①為常數(shù)，故①正確②，故②正確③為常數(shù)，故③正確④不一定為常數(shù)，故④錯誤故選C.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解題分析】方程化為圓錐曲線（橢圓與雙曲線）標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，然后由方程表示雙曲線可得不等關(guān)系【題目詳解】解：方程可化為，它表示雙曲線，則，解得.故選：A9、A【解題分析】以的中點(diǎn)О為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線的方程為，設(shè)，，代入雙曲線的方程，求得，得到，進(jìn)而求得雙曲線的離心率.【題目詳解】以的中點(diǎn)О為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)雙曲線的方程為，則，可設(shè)，，又由，在雙曲線上，所以，解得，，即，所以該雙曲線的離心率為.故選：A.第II卷10、A【解題分析】利用基本不等式進(jìn)行求解即可.【題目詳解】因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時取等號，即當(dāng)時取等號，故選：A11、A【解題分析】根據(jù)全稱命題與特稱命題互為否定的關(guān)系，即可求解，得到答案【題目詳解】由題意，根據(jù)全稱命題與特稱命題的關(guān)系，可得命題,，則，，故選A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了含有一個量詞的否定，其中解答中熟記全稱命題與特稱性命題的關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題12、A【解題分析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，結(jié)合已知條件，即可求得結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)槊}p：，，故命題p的否定為：，.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】先求出，再利用二倍角公式求的值.【題目詳解】因?yàn)闉榈诙笙藿?，若，所?所以.故答案為【題目點(diǎn)撥】本題主要考查同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，考查二倍角的正弦公式，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則：分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡求解即可.【題目詳解】故答案為：.15、10【解題分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，再利用對數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果【題目詳解】解：因?yàn)榈缺葦?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，所以，所以故答案為：1016、【解題分析】首先把圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)一步求出兩圓的位置關(guān)系，可得兩圓的公切線條數(shù).【題目詳解】解：由圓，可得：，可得其圓心為，半徑為；由，可得，可得其圓心為，半徑為2；所以可得其圓心距為：，可得：，故兩圓相交，其公切線條數(shù)為,故答案為：2.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查兩圓的位置關(guān)系及兩圓公切線條數(shù)的判斷，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或.【解題分析】（1）求出線段的垂直平分線方程，求出此直線與已知直線的交點(diǎn)坐標(biāo)即為圓心坐標(biāo)，再求得半徑后可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）檢驗(yàn)直線斜率不存在時是否滿足題意，在斜率存在時設(shè)方程為,求得圓心到直線的距離，由勾股定理得弦長，由弦長為8得參數(shù)，得直線方程【題目詳解】（1）由已知，中點(diǎn)坐標(biāo)為，垂直平分線方程為則由解得，所以圓心,因此半徑所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）由可得圓心到直線的距離當(dāng)直線斜率不存在時,其方程為，當(dāng)直線斜率存在時,設(shè)其方程為,則，解得，此時其方程為，所以直線方程為或.【題目點(diǎn)撥】方法點(diǎn)睛：本題考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓相交弦長．求弦長方法是幾何法：即求出圓心到弦所在直線距離，由勾股定理求得弦長．求直線方程時注意檢驗(yàn)直線斜率不存在的情形18、（1）（2）【解題分析】（1）由拋物線定義有求參數(shù)，即可寫出拋物線方程.（2）由題意設(shè)，聯(lián)立拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)求參數(shù)k，即可得直線l方程【小問1詳解】由題設(shè)，拋物線準(zhǔn)線方程為，∴拋物線定義知：可得，故【小問2詳解】由題設(shè)，直線l的斜率存在且不為0，設(shè)聯(lián)立方程，得，整理得，則.又P是線段AB的中點(diǎn)，∴，即故l19、（1）證明見解析（2）【解題分析】（1）取的中點(diǎn)F，連接EF，，由四邊形是平行四邊形即可求解；（2）采用建系法，以為軸，為軸，垂直底面方向?yàn)檩S，求出對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合二面角夾角余弦公式即可求解.【小問1詳解】取的中點(diǎn)F，連接EF，，∵，∴，且，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面；【小問2詳解】取AC的中點(diǎn)O，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，∴，.設(shè)平面的法向量是，則，即，令，得，易知平面的一個法向量是，∴，又二面角是鈍二面角，∴二面角的余弦值為.20、（1）；（2）存在，T(0，1)﹒【解題分析】(1)根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合即可求P的軌跡方程；(2)假設(shè)存在T(0，t)，設(shè)AB方程為，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，代入＝0即可求出定點(diǎn)T.【小問1詳解】由題可知，，則，由橢圓定義知P的軌跡是以F1、為焦點(diǎn)，且長軸長為的橢圓，∴，∴，∴P的軌跡方程為C：；【小問2詳解】假設(shè)存在T(0，t)滿足題意，易得AB的斜率一定存在，否則不會存在T滿足題意，設(shè)直線AB的方程為，聯(lián)立，化為，易知恒成立，∴(*)由題可知，將(*)代入可得：即∴，解，∴在y軸上存在定點(diǎn)T(0，1)，使以AB為直徑的圓恒過這個點(diǎn)T.21、（1）（2）【解題分析】（1）由面積之比可得向量之比，設(shè)直線AB的方程，與拋物線的方程聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，與向量的關(guān)系可得的A，B的橫坐標(biāo)的關(guān)系聯(lián)立求出直線AB的斜率，再由拋物線的性質(zhì)可得焦點(diǎn)弦的值；（2）由（1）的解法類似的求出AB的中點(diǎn)N的坐標(biāo)，可得直線AB的斜率與λ的關(guān)系，再由λ的范圍，求出直線AB的斜率的范圍，由題意設(shè)直線MF的方程，令y＝﹣1求出M的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求出|MN|的最大值，而|+|＝2||，求出|+|的最大值【小問1詳解】當(dāng)λ＝3時，即S△AFM＝3S△BFM，由題意可得＝3，因?yàn)閽佄锞€C：x2＝4y的焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線方程為y＝﹣1，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為y＝kx+1，聯(lián)立，整理可得：x2﹣4kx﹣4＝0，顯然，x1+x2＝4k①，x1x2＝﹣4②，y1+y2＝k（x1+x2）+2＝4k2+2，由＝3，則（﹣x1，1﹣y1）＝3（x2，y2﹣1）可得x1＝﹣3x2③，①③聯(lián)立可得x2＝﹣2k，x1＝6k，代入②中可得﹣12k2＝﹣4，解得k2＝，由拋物線的性質(zhì)可得|AB|＝y(tǒng)1+y2+2＝4×+2＝，所以|AB|的值為；【小問2詳解】由（1）可得AB中點(diǎn)N（2k，2k2+2），由＝λ，則x1＝﹣λx2④，同（1）的算法：①②④聯(lián)立4k2λ＝（1﹣λ）2，因?yàn)棣恕蔥]，所以4k2＝λ+﹣2，令y＝λ+，λ∈[]，則函數(shù)y先減后增，所以λ＝2或時，y最大且為2+，此時4k2最大，且為，所以k2的最大值為：，直線MF的方程為：y＝﹣x+1，令y＝﹣1，可得x