2024屆江蘇省無錫市第一女子中學高二上數學期末調研模擬試題含解析

2024屆江蘇省無錫市第一女子中學高二上數學期末調研模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．拋物線有如下光學性質：平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線的焦點為F，一條平行于y軸的光線從點射出，經過拋物線上的點A反射后，再經拋物線上的另一點B射出，則經點B反射后的反射光線必過點（）A. B.C. D.2．已知，，，，則（）A. B.C. D.3．已知橢圓及以下3個函數：①；②；③，其中函數圖象能等分該橢圓面積的函數個數有（）A.0個 B.1個C.2個 D.3個4．如圖，直四棱柱的底面是菱形，，，M是的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.5．有一個圓錐形鉛垂，其底面直徑為10cm，母線長為15cm．P是鉛垂底面圓周上一點，則關于下列命題：①鉛垂的側面積為150cm2；②一只螞蟻從P點出發(fā)沿鉛垂側面爬行一周、最終又回到P點的最短路徑的長度為cm．其中正確的判斷是（）A.①②都正確 B.①正確、②錯誤C.①錯誤、②正確6．南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法》中有如下俯視圖所示的幾何體，后人稱之為“三角垛”.其最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，…，則第十層球的個數為（）A.45 B.55C.90 D.1107．已知一個幾何體的三視圖如圖，則其外接球的體積為（）A. B.C. D.8．已知不等式的解集為，關于x的不等式的解集為B，且，則實數a的取值范圍為（）A. B.C. D.9．已知橢圓的長軸長是短軸長的倍，左焦點、右頂點和下頂點分別為，坐標原點到直線的距離為，則的面積為（）A. B.4C. D.10．經過點且圓心是兩直線與的交點的圓的方程為（）A. B.C. D.11．在中，，則邊的長等于（）A. B.C. D.212．某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的表面積為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點，，點P在x軸上，且，則點P的坐標為______14．已知曲線的焦距是10，曲線上的點到一個焦點的距離是2，則點到另一個焦點的距離為__________.15．數列滿足，，其前n項積為，則______16．已知橢圓的左、右焦點為，過作x軸垂線交橢圓于點P，若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖長方體中，，，點為的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求二面角的余弦值.18．（12分）已知圓，點，點是圓上任意一點，線段的垂直平分線交直線于點，點的軌跡記為曲線.（1）求曲線的方程；（2）已知曲線上一點，動圓，且點在圓外，過點作圓的兩條切線分別交曲線于點，.（i）求證：直線的斜率為定值；（ii）若直線與交于點，且時，求直線的方程.19．（12分）如圖甲是由正方形，等邊和等邊組成的一個平面圖形，其中，將其沿，，折起得三棱錐，如圖乙.（1）求證：平面平面；（2）過棱作平面交棱于點，且三棱錐和的體積比為，求直線與平面所成角的正弦值.20．（12分）已知函數（a為非零常數）（1）若f（x）在處的切線經過點（2，ln2），求實數a的值；（2）有兩個極值點，.①求實數a的取值范圍；②若，證明：.21．（12分）已知曲線：.（1）若曲線是雙曲線，求的取值范圍；（2）設，已知過曲線的右焦點，傾斜角為的直線交曲線于A，B兩點，求.22．（10分）已知橢圓的長軸長是，以其短軸為直徑的圓過橢圓的左右焦點，.（1）求橢圓E的方程；（2）過橢圓E左焦點作不與坐標軸垂直的直線，交橢圓于M，N兩點，線段MN的垂直平分線與y軸負半軸交于點Q，若點Q的縱坐標的最大值是，求面積的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】求出、坐標可得直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立求出，根據選項可得答案,【題目詳解】把代入得，所以，所以直線的方程為即，與拋物線方程聯(lián)立解得，所以，因為反射光線平行于y軸，根據選項可得D正確,故選：D2、D【解題分析】根據對數函數的性質和冪函數的單調性可得正確的選項.【題目詳解】因為，故，故，又，在上的增函數，故，故，故選：D.3、C【解題分析】由橢圓的幾何性質可得橢圓的圖像關于原點對稱，因為函數,函數為奇函數,其圖像關于原點對稱，則①②滿足題意,對于函數在軸右側時，，只有時，，即函數在軸右側的圖像顯然不能等分橢圓在軸右側的圖像的面積,又函數為偶函數,其圖像關于軸對稱，則函數在軸左側的圖像顯然也不能等分橢圓在軸左側的圖像的面積,即函數的圖像不能等分該橢圓面積，得解.【題目詳解】解：因為橢圓的圖像關于原點對稱，對于①，函數為奇函數，其圖像關于原點對稱，即可知的圖象能等分該橢圓面積；對于②，函數為奇函數，其圖像關于原點對稱，即可知的圖象能等分該橢圓面積；對于③，對于函數在軸右側時，，只有時，，即函數在軸右側的圖像（如圖）顯然不能等分橢圓在軸右側的圖像的面積,又函數為偶函數,其圖像關于軸對稱，則函數在軸左側的圖像顯然也不能等分橢圓在軸左側的圖像的面積,即函數的圖像不能等分該橢圓面積，即函數圖象能等分該橢圓面積的函數個數有2個，故選C.【題目點撥】本題考查了橢圓的幾何性質、函數的奇偶性及函數的對稱性，重點考查了函數的性質，屬基礎題.4、D【解題分析】用向量分別表示,利用向量的夾角公式即可求解.【題目詳解】由題意可得，故選：D【題目點撥】本題主要考查用向量的夾角公式求異面直線所成的角，屬于基礎題.5、C【解題分析】根據圓錐的側面展開圖為扇形，由扇形的面積公式計算即可判斷①，在展開圖中可知沿著爬行即為最短路徑，計算即可判斷②.【題目詳解】直徑為10cm，母線長為15cm.底面圓周長為.將其側面展開后得到扇形半徑為cm，弧長為，則扇形面積為，①錯誤.將其側面展開，則爬行最短距離為，由弧長公式得展開后扇形弧度數為,作，，又,,cm,②正確.故選：C6、B【解題分析】根據題意，發(fā)現規(guī)律并將規(guī)律表達出來，第層有個球.【題目詳解】根據規(guī)律，可以得知：第一層有個球；第二層有個球；第三層有個球，則根據規(guī)律可知：第層有個球設第層的小球個數為，則有：故第十層球的個數為：故選：7、D【解題分析】根據三視圖還原幾何體，將幾何體補成長方體，計算出幾何體的外接球直徑，結合球體體積公式即可得解.【題目詳解】根據三視圖還原原幾何體，如下圖所示：由圖可知，該幾何體三棱錐，且平面，將三棱錐補成長方體，所以，三棱錐的外接球直徑為，故，因此，該幾何體的外接球的體積為.故選：D【題目點撥】方法點睛：空間幾何體與球接、切問題的求解方法(1)求解球與棱柱、棱錐接、切問題時，一般過球心及接、切點作截面，把空間問題轉化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關系求解(2)若球面上四點P，A，B，C構成的三條線段兩兩互相垂直，一般把有關元素“補形”成為一個球內接長方體，利用求解8、B【解題分析】解出不等式可得集合，由可得，然后可得在上恒成立，然后分離參數求解即可.【題目詳解】由得，，解得，因為，所以所以可得在上恒成立，即在上恒成立，故只需，，當時，，故故選：B9、C【解題分析】設，根據題意，可知的方程為直線，根據原點到直線的距離建立方程，求出，進而求出，的值，以及到直線的距離，再根據面積公式，即可求出結果.【題目詳解】設，由題意可知，其中，所以的方程為，即所以原點到直線的距離為，所以，即，；所以直線的方程為，所以到直線的距離為；又，所以的面積為.故選：C.10、B【解題分析】求出圓心坐標和半徑后，直接寫出圓的標準方程.【題目詳解】由得，即所求圓的圓心坐標為.由該圓過點，得其半徑為1，故圓的方程為.故選：B.【題目點撥】本題考查了圓的標準方程，屬于基礎題.11、A【解題分析】由余弦定理求解【題目詳解】由余弦定理，得，即，解得（負值舍去）故選：A12、A【解題分析】根據三視圖可得如圖所示的幾何體（三棱錐），根據三視圖中的數據可計算該幾何體的表面積.【題目詳解】根據三視圖可得如圖所示的幾何體-正三棱錐，其側面為等腰直角三角形，底面等邊三角形，由三視圖可得該正三棱錐的側棱長為1，故其表面積為，故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】設，由，可得，求解即可【題目詳解】設，由故解得：則點P的坐標為故答案為：14、或10.【解題分析】對參數a進行討論，考慮曲線是橢圓和雙曲線的情況，進而結合橢圓與雙曲線的定義和性質求得答案.【題目詳解】由題意，曲線的半焦距為5，若曲線是焦點在x軸上的橢圓，則a>16，所以，而橢圓上的點到一個焦點距離是2，則點到另一個焦點的距離為；若曲線是焦點在y軸上的橢圓，則0<a<16，所以，舍去；若曲線是雙曲線，則a<0，容易判斷雙曲線的焦點在y軸，所以，不妨設點P在雙曲線的上半支，上下焦點分別為，因為實半軸長為4，容易判斷點P到下焦點的距離的最小值為4+5=9>2，不合題意，所以點P到上焦點的距離為2，則它到下焦點的距離.故答案為：或10.15、【解題分析】根據數列的項的周期性，去求的值即可解決.【題目詳解】由，，可得，，，，，，由此可知數列的項具有周期性，且周期為4，第一周期內的四項之積為1，所以數列的前2022項之積為故答案為：16、##【解題分析】以為等腰直角三角形列方程組可得之間的關系式，進而求得橢圓的離心率.【題目詳解】橢圓的左、右焦點為，點P由為等腰直角三角形可知，，即可化為，故或（舍）故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）見解析（3）【解題分析】（1）作輔助線，由中位線定理證明，再由線面平行的判定定理證明即可；（2）連接，由勾股定理證明，，再結合線面垂直的判定定理證明即可；（3）建立空間直角坐標系，利用向量法求面面角的余弦值即可.【題目詳解】（1）連接交與點，連接四邊形為正方形，點為的中點又點為的中點，平面，平面平面（2）連接由勾股定理可知，，則同理可證，平面平面（3）建立如下圖所示的空間直角坐標系顯然平面的法向量即為平面的法向量，不妨設為由（2）可知平面，即平面的法向量為又二面角是鈍角二面角的余弦值為【題目點撥】關鍵點睛：在第一問中，關鍵是利用中位線定理找到線線平行，再由定義證明線面平行；在第二問中，關鍵是利用勾股定理證明線線垂直，從而得出線面垂直；在第三問中，關鍵是建立坐標系，利用向量法求面面角的余弦值.18、（1）（2）（i）答案見解析（ii）或【解題分析】（1）通過幾何關系可知，且,由此可知點的軌跡是以點、為焦點，且實軸長為的雙曲線，通過雙曲線的定義即可求解；（2）（i）設點，，直線的方程為，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立利用韋達定理及求出，即得到直線的斜率為定值；（ii）由（i）可知，由已知可得，聯(lián)立方程即可求出，的值，代入即可求出的值，即可得到直線方程.【小問1詳解】由題意可知,∵,且,∴根據雙曲線的定義可知，點的軌跡是以點、為焦點，且實軸長為的雙曲線，即，，，則點的軌跡方程為；【小問2詳解】（i）設點，，直線的方程為，聯(lián)立得，其中，且，，，∵曲線上一點，∴，由已知條件得直線和直線關于對稱，則，即，整理得，，，，即，則或，當，直線方程為，此直線過定點，應舍去，故直線的斜率為定值.（ii）由（i）可知，由已知得，即，當時，，，即，，，解得或，但是當時，，故應舍去，當時，直線方程為，當時，，即，，，解得（舍去）或，當時，直線方程為,故直線的方程為或.19、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】（1）取的中點為，連接，，證明，，即證平面，即證得面面垂直；（2）建立如圖空間直角坐標系，寫出對應點的坐標和向量的坐標，再計算平面法向量，利用所求角的正弦為即得結果.【題目詳解】（1）證明：如圖，取的中點為，連接，.∵，∴.∵，，∴，同理.又，∴，∴.∵，，平面，∴平面.又平面，∴平面平面；（2）解：如圖建立空間直角坐標系，根據邊長關系可知，，，，，∴，.∵三棱錐和的體積比為，∴，∴，∴.設平面的法向量為，則，令，得.設直線與平面所成角為，則.∴直線與平面所成角的正弦值為.【題目點撥】方法點睛：求空間中直線與平面所成角的常見方法為：（1）定義法：直接作平面的垂線，找到線面成角；（2）等體積法：不作垂線，通過等體積法間接求點到面的距離，距離與斜線長的比值即線面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量與斜線方向向量所成的余弦值的絕對值，即是線面成角的正弦值.20、（1）（2）①（0，1）；②證明見解析【解題分析】小問1先求出切線方程，再將點（2，ln2），代入即可求出a的值；小問2的①通過求導，再結合函數的單調性求出a的取值范圍；②結合已知條件，構造新函數即可得到證明.【小問1詳解】，∴切線方程為，將點代入解得：【小問2詳解】①當時，即時，，f（x）在（-1，+∞）上單調遞增；f（x）無極值點，當時，由得，，故f（x）在（-1，-）上單調遞增，在（-，）上單調遞減，在（，+∞）上單調遞增，f（x）有兩個極值點；.當時，由得，，f（x）（，）