2024學年陜西省南鄭中學高二上數學期末考試模擬試題含解析

2024學年陜西省南鄭中學高二上數學期末考試模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．中秋節(jié)吃月餅是我國的傳統(tǒng)習俗，若一盤中共有兩種月餅，其中5塊五仁月餅、6塊棗泥月餅，現從盤中任取3塊，在取到的都是同種月餅的條件下，都是五仁月餅的概率是（）A B.C. D.2．已知函數，.若存在三個零點，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.3．已知函數(且，)的一個極值點為2，則的最小值為（）A. B.C. D.74．在空間直角坐標系中，，，若∥，則x的值為（）A.3 B.6C.5 D.45．已知雙曲線上點到點的距離為15，則點到點的距離為（）A.9 B.6C.6或36 D.9或216．在三棱錐中，點E，F分別是的中點，點G在棱上，且滿足，若，則（）A. B.C. D.7．已知橢圓的離心率為.雙曲線的漸近線與橢圓有四個交點，以這四個焦點為頂點的四邊形的面積為16，則橢圓的方程為A. B.C. D.8．設是可導函數，當，則（）A.2 B.C. D.9．繞著它的一邊旋轉一周得到的幾何體可能是（）A.圓臺 B.圓臺或兩個圓錐的組合體C.圓錐或兩個圓錐的組合體 D.圓柱10．命題：“?x＜1，x2＜1”的否定是（）A.?x≥1，x2＜1 B.?x≥1，x2≥1C.?x＜1，x2≥1 D.?x＜1，x2≥111．由倫敦著名建筑事務所SteynStudio設計的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數學與建筑完美結合造就的藝術品，若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線下支的一部分，離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.12．直線的傾斜角為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某高中高二年級學生在學習完成數學選擇性必修一后進行了一次測試，總分為100分.現用分層隨機抽樣方法從學生的數學成績中抽取一個樣本量為40的樣本，再將40個成績樣本數據分為6組：40，50），50，60），60，70），70，80），80，90），90，100，繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）從所給的頻率分布直方圖中估計成績樣本數據眾數，平均數，中位數；（2）在區(qū)間40，50）和90，100內的兩組學生成績樣本數據中，隨機抽取兩個進調查，求調查對象來自不同分組的概率.14．直線l交橢圓于A，B兩點，線段AB的中點為，直線是線段AB的垂直平分線，若，D為垂足，則D點的軌跡方程是______15．已知一個四面體的每個頂點都在表面積為的球的表面上，且，，則__________16．已知拋物線：，過焦點作傾斜角為的直線與交于，兩點，，在的準線上的投影分別為，兩點，則__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.（1）求函數f(x)的最小正周期；（2）當時，求函數f(x)的值域.18．（12分）已知函數.（1）討論函數的單調性；（2）若恒成立，求實數的取值范圍.19．（12分）已知，以點為圓心圓被軸截得的弦長為.（1）求圓的方程；（2）若過點的直線與圓相切，求直線的方程.20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，平面，，，分別為，的中點（1）證明：平面；（2）證明：平面21．（12分）如圖，在三棱錐中，底面，．點，，分別為棱，，的中點，是線段的中點，，（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）已知點在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長22．（10分）已知數列滿足，（1）證明是等比數列，（2）求數列的前項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】分別求出取到3塊月餅都是同種月餅和取到3塊月餅都是五仁月餅的種數，再根據概率公式即可得解.【題目詳解】解：由題意可得，取到3塊月餅都是同種月餅有種情況，取到3塊月餅都是五仁月餅有種情況，所以在取到的都是同種月餅的條件下，都是五仁月餅的概率是.故選：C.2、B【解題分析】根據題意，當時，有一個零點，進而將問題轉化為當時，有兩個實數根，再研究函數即可得答案.【題目詳解】解：因為存在三個零點，所以方程有三個實數根，因為當時，由得，解得，有且只有一個實數根，所以當時，有兩個實數根，即有兩個實數根，所以令，則，所以當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，因為，，，所以的圖象如圖所示，所以有兩個實數根，則故選：B3、B【解題分析】求出函數的導數，由給定極值點可得a與b的關系，再借助“1”的妙用求解即得.【題目詳解】對求導得：，因函數的一個極值點為2，則，此時，，，因，即，因此，在2左右兩側鄰近的區(qū)域值一正一負，2是函數的一個極值點，則有，又，，于是得，當且僅當，即時取“=”，所以的最小值為.故選：B4、D【解題分析】依題意可得，即可得到方程組，解得即可；【題目詳解】解：依題意，即，所以，解得故選：D5、D【解題分析】利用雙曲線的定義可得答案.【題目詳解】設，，，為雙曲線的焦點，則由雙曲線定義，知，而所以或21故選：D.6、B【解題分析】利用空間向量的加、減運算即可求解.【題目詳解】由題意可得故選：B.7、D【解題分析】由題意，雙曲線的漸近線方程為，∵以這四個交點為頂點的四邊形為正方形，其面積為16，故邊長為4，∴（2，2）在橢圓C：上，∴，∵，∴，∴，∴∴橢圓方程為：.故選D.考點：橢圓的標準方程及幾何性質；雙曲線的幾何性質.8、C【解題分析】由導數的定義可得，即可得答案【題目詳解】根據題意，，故.故選：C9、C【解題分析】討論是按直角邊旋轉還是按斜邊旋轉【題目詳解】按直角邊選擇可得下圖圓錐：如果按直角邊旋轉可得下圖的兩個圓錐的組合體：故選：C10、C【解題分析】將特稱命題否定為全稱命題即可【題目詳解】根據含有量詞的命題的否定，則“?x＜1，x2＜1”的否定是“?x＜1，x2≥1”.故選：C.11、B【解題分析】求出的值，可得出雙曲線的漸近線方程.【題目詳解】由已知可得，因此，該雙曲線的漸近線方程為.故選：B.12、D【解題分析】由直線斜率概念可寫出傾斜角的正切值，進而可求出傾斜角.【題目詳解】因為直線的斜率為，所以傾斜角.故選D【題目點撥】本題主要考查直線的傾斜角，由斜率的概念，即可求出結果.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（1）眾數；平均數，中位數.（2）.【解題分析】（1）按“眾數，平均數，中位數”的公式求解.（2）由頻率分布直方圖得到各區(qū)間的頻率，再用古典概型求解.【小問1詳解】眾數取頻率分布直方圖中最高矩形對應區(qū)間的中點75；平均數；因為，所以中位數在區(qū)間上，且中位數【小問2詳解】由頻率分布直方圖得出在區(qū)間40，50）和90，100內的成績樣本數據分別有4個和2個，從6個樣本選2個共有個結果，記事件A=“調查對象來自不同分組”，結果有所以.14、【解題分析】設直線l的方程為，代入橢圓方程并化簡，然后根據M為線段AB的中點結合根與系數的關系得到k,t間的關系，進而寫出線段AB的垂直平分線的直線方程，可以判斷它過定點E，再考慮直線l的斜率不存在的情況，根據題意可知，點D在以OE為直徑的圓上，最后求出點D的軌跡方程.【題目詳解】設直線l的方程為，代入橢圓方程并化簡得：，設，則，解得.因為直線是線段AB的垂直平分線，故直線：，即：令，此時，，于是直線過定點當直線l的斜率不存在時，，直線也過定點點D在以OE為直徑的圓上，則圓心為，半徑，所以點D軌跡方程為：15、【解題分析】由題意可得，該四面體的四個頂點位于一個長方體的四個頂點上，設長方體的長寬高為，由題意可得：，據此可得：，則球的表面積：，結合解得：.點睛：與球有關的組合體問題，一種是內切，一種是外接．解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關元素間的數量關系，并作出合適的截面圖，如球內切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.16、【解題分析】設，則，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，結合韋達定理即得.【題目詳解】由拋物線：可知則焦點坐標為，∴過焦點且斜率為的直線方程為,化簡可得，設，則，由可得，所以則故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】（1）先通過降冪公式和輔助角公式將函數化簡，進而求出周期；（2）求出的范圍，進而結合三角函數的性質求得答案.【小問1詳解】，函數最小正周期為.【小問2詳解】當時，，，∴，即函數的值域為.18、（1）當時，上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.（2）【解題分析】（1）先求函數的定義域，再求導，根據導數即可求出函數的單調區(qū)間；（2）根據（1）的結論，分別求時的最小值，令，即可求出實數的取值范圍.【小問1詳解】易知函數的定義域為，，當時，，所以在上單調遞增；當時，，令，得；令，得，所以在上單調遞減，在上單調遞增；當時，，令，得；令，得，所以在上單調遞減，在上單調遞增.【小問2詳解】當時，成立，所以符合題意；當時，在上單調遞減，在上單調遞增，要使恒成立，則，解得；當時，在上單調遞減，在上單調遞增，要使恒成立，則，解得.綜上所述，實數的取值范圍是.19、（1）（2）或【解題分析】（1）根據垂徑定理，可直接計算出圓的半徑；（2）根據直線的斜率是否存在分類討論，斜率不存在時，可得到直線方程為的直線滿足題意，斜率存在時，利用直線與圓相切，即到直線的距離等于半徑，然后解出關于斜率的方程即可.【小問1詳解】不妨設圓的半徑為，根據垂徑定理，可得：解得：則圓的方程為：【小問2詳解】當直線的斜率不存在時，則有：故此時直線與圓相切，滿足題意當直線的斜率存在時，不妨設直線的斜率為，點的直線的距離為直線的方程為：則有：解得：，此時直線的方程為：綜上可得，直線的方程為：或20、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解題分析】（1）取中點，結合三角形中位線性質可證得四邊形為平行四邊形，由此得到，由線面平行判定定理可證得結論；（2）利用菱形特點和線面垂直的性質可證得，，由線面垂直的判定定理可證得結論.【題目詳解】（1）取中點，連接，分別為中點，，四邊形為菱形，為中點，，，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面.（2）連接，四邊形為菱形，，為等邊三角形，又為中點，，平面，平面，，又平面，，平面.21、（1）證明見解析；（2）；（3）或【解題分析】本小題主要考查直線與平面平行、二面角、異面直線所成的角等基礎知識.考查用空間向量解決立體幾何問題的方法.考查空間想象能力、運算求解能力和推理論證能力.首先要建立空間直角坐標系，寫出相關點的坐標，證明線面平行只需求出平面的法向量，計算直線對應的向量與法向量的數量積為0，求二面角只需求出兩個半平面對應的法向量，借助法向量的夾角求二面角，利用向量的夾角公式，求出異面直線所成角的余弦值，利用已知條件，求出的值.試題解析：如圖，以A為原點，分別以，，方向為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標系.依題意可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）.（1）證明：=（0，2，0），=（2，0，）.設，為平面BDE的法向量，則，即.不妨設，可得.又=（1，2，），可得.因為平面BDE，所以MN//平面BDE.（2）解：易知為平面CEM的一個法向量.設為平面EMN的法向量，則，因為，，所以.不妨設，可得.因此有，于是.所以，二面角C—EM—N的正弦值為.（3）解：依題意，設AH=h（），則H（0，0，h），進而可得，.由已知，得，整理得，解得，或.所以，線段AH的長為或.【考點】直線與平面平行、二面