第一章數(shù)值計算中的誤差

第一章數(shù)值計算中的誤差第一頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四利用計算機等計算工具求數(shù)學(xué)問題的的數(shù)值解的全過程，稱為數(shù)值計算。利用計算機解決數(shù)學(xué)問題的經(jīng)歷的幾個過程實際問題數(shù)學(xué)模型程序設(shè)計上機計算求出結(jié)果研究計算方法一、什么是計算方法?第二頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四二、計算方法的主要內(nèi)容

計算機只能進行加減乘除四則運算和簡單的函數(shù)運算(函數(shù)也是通過計算數(shù)學(xué)的方法轉(zhuǎn)化成四則運算的小型軟件包)。1、數(shù)值代數(shù)：求解線性方程組和非線性方程，分直接法和間接法。2、插值和數(shù)值逼近。3、數(shù)值微分和數(shù)值積分。4、常微分方程數(shù)值解法。第三頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四三、計算方法所要考慮的問題1計算速度。2儲存量。3數(shù)值穩(wěn)定性。第四頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四四、學(xué)習(xí)計算方法的目的1拓寬對21世紀科學(xué)的了解；2加深對數(shù)學(xué)思想的了解;3運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。第五頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四幾點要求1保證課堂紀律2按時上課3按時完成作業(yè)4實驗要認真第六頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四§1.2誤差的種類及來源1模型誤差2觀測誤差3截斷誤差4舍入誤差第七頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四§1.3絕對誤差和相對誤差1絕對誤差和絕對誤差限

設(shè)某一個量的精確值為,其近似值為，則與的差

稱為近似值的絕對誤差。若稱為近似值的絕對誤差限。第八頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四相對誤差和相對誤差限絕對誤差與精確值之比稱為近似值的相對誤差。若，則稱為近似值的相對誤差限。由于精確值未知，一般用表示相對誤差。第九頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四§1.4有效數(shù)字和誤差的關(guān)系1有效數(shù)字

設(shè)有一個數(shù)，其近似值的規(guī)格化形式：若的誤差限為

則稱為具有位有效數(shù)字。

第十頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四有效數(shù)字與誤差的關(guān)系當式(1.4.1)表示的近似值具有n位有效數(shù)字時，有相對誤差限反之，也可由相對誤差限來確定有效數(shù)字位數(shù)，若則至少具有n位有效數(shù)字。第十一頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四§1.5誤差的傳播與估計1誤差估計的一般公式1)對一元函數(shù)的計算:設(shè)是的近似值，

相對誤差限

第十二頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四2）對二元函數(shù)的計算:設(shè)分別為的近似值，相對誤差限第十三頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四3）對更一般的多元函數(shù)其中，為的近似值,第十四頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四2誤差在算術(shù)運算中的傳播

1）加、減運算

及第十五頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四當兩數(shù)相減時有即當，即大小相近的兩同號近似值相減時，注：由上式知，相對誤差可能會很大，說明計算結(jié)果的有效數(shù)字將嚴重丟失，計算精度很低。因此在實際計算中，應(yīng)盡量設(shè)法避開。第十六頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四2乘法運算及注：當乘數(shù)的絕對值很大時，乘積的絕對誤差可能會很大，因此也應(yīng)設(shè)法避免。第十七頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四3除法運算及注:當除數(shù)的絕對值很小、接近于零時，商的絕對誤差可能會很大，甚至造成計算機的“溢出”錯誤，應(yīng)設(shè)法避免。第十八頁，共十九頁，編輯于2023年，星期四§1.6算法的數(shù)值穩(wěn)定性選擇數(shù)值穩(wěn)定的算法

在運算過程中，舍入誤差能控制在某個范圍內(nèi)的算法，稱之為數(shù)值穩(wěn)定的算法，否則稱之為