第七章 第三節(jié) 三重積分

第七章第三節(jié)三重積分第一頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四一、三重積分的概念

類似二重積分解決問題的思想,采用引例:設(shè)在空間有限閉區(qū)域內(nèi)分布著某種不均勻的物質(zhì),求分布在內(nèi)的物質(zhì)的可得“大化小,常代變,近似和,求極限”解決方法:質(zhì)量M.密度函數(shù)為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第二頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四定義.設(shè)存在,稱為體積微元,

若對(duì)作任意分割:任意取點(diǎn)則稱此極限為函數(shù)在上的三重積分.在直角坐標(biāo)系下常寫作三重積分的性質(zhì)與二重積分相似.性質(zhì):例如下列“乘中值定理.在有界閉域上連續(xù),則存在使得V為的體積,

積和式”極限記作機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第三頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四二、三重積分的計(jì)算1.利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)方法3.三次積分法先假設(shè)連續(xù)函數(shù)并將它看作某物體通過計(jì)算該物體的質(zhì)量引出下列各計(jì)算最后,推廣到一般可積函數(shù)的積分計(jì)算.的密度函數(shù),方法:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第四頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四方法1.投影法(“先一后二”)該物體的質(zhì)量為細(xì)長(zhǎng)柱體微元的質(zhì)量為微元線密度≈記作機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第五頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四方法2.截面法(“先二后一”)為底,dz為高的柱形薄片質(zhì)量為該物體的質(zhì)量為面密度≈記作機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第六頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四投影法方法3.三次積分法設(shè)區(qū)域利用投影法結(jié)果,把二重積分化成二次積分即得:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第七頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四當(dāng)被積函數(shù)在積分域上變號(hào)時(shí),因?yàn)榫鶠榉秦?fù)函數(shù)根據(jù)重積分性質(zhì)仍可用前面介紹的方法計(jì)算.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第八頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四小結(jié):三重積分的計(jì)算方法方法1.“先一后二”方法2.“先二后一”方法3.“三次積分”具體計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù)三種方法(包含12種形式)各有特點(diǎn),被積函數(shù)及積分域的特點(diǎn)靈活選擇.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第九頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四其中為三個(gè)坐標(biāo)例1.

計(jì)算三重積分所圍成的閉區(qū)域.解:面及平面機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第十頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四例2.

計(jì)算三重積分解:

用“先二后一”機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第十一頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四2.利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分

就稱為點(diǎn)M的柱坐標(biāo).直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系:坐標(biāo)面分別為圓柱面半平面平面機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第十二頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四如圖所示,在柱面坐標(biāo)系中體積元素為因此其中適用范圍:1)積分域表面用柱面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡(jiǎn)單;2)被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時(shí)變量互相分離.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第十三頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四其中為由例3.計(jì)算三重積分所圍解:在柱面坐標(biāo)系下及平面柱面成半圓柱體.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第十四頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四例4.

計(jì)算三重積分解:在柱面坐標(biāo)系下所圍成.與平面其中由拋物面原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第十五頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四3.利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分

就稱為點(diǎn)M的球坐標(biāo).直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系坐標(biāo)面分別為球面半平面錐面機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第十六頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四如圖所示,在球面坐標(biāo)系中體積元素為因此有其中適用范圍:1)積分域表面用球面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡(jiǎn)單;2)被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時(shí)變量互相分離.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第十七頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四例5.計(jì)算三重積分解:在球面坐標(biāo)系下所圍立體.其中與球面機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第十八頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四例6.求曲面所圍立體體積.解:由曲面方程可知,立體位于xoy面上部,利用對(duì)稱性,所求立體體積為yoz面對(duì)稱,并與xoy面相切,故在球坐標(biāo)系下所圍立體為且關(guān)于xoz

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第十九頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四內(nèi)容小結(jié)積分區(qū)域多由坐標(biāo)面被積函數(shù)形式簡(jiǎn)潔,或坐標(biāo)系體積元素適用情況直角坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系*說明:三重積分也有類似二重積分的換元積分公式:對(duì)應(yīng)雅可比行列式為變量可分離.圍成;機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第二十頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四1.

計(jì)算所圍成.其中由分析：若用“先二后一”,則有計(jì)算較繁!采用“三次積分”較好.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考與練習(xí)第二十一頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四所圍,故可思考:若被積函數(shù)為f(y)時(shí),如何計(jì)算簡(jiǎn)便?表為解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第二十二頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四2.計(jì)算其中解:利用對(duì)稱性機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第二十三頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四曲面的面積設(shè)光滑曲面則面積A可看成曲面上各點(diǎn)處小切平面的面積dA無(wú)限積累而成.設(shè)它在D上的投影為d

,(稱為面積元素)則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第二十四頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四故有曲面面積公式若光滑曲面方程為則有即機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第二十五頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期四若光滑曲面方程為若光滑曲面方程為隱式則則有且