離散數(shù)學(xué)第五章

離散數(shù)學(xué)第五章第一頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一代數(shù)系統(tǒng)

第五章 代數(shù)結(jié)構(gòu)§1 代數(shù)系統(tǒng)的引入§2 運(yùn)算及其性質(zhì)§3 半群§4 群與子群§5 阿貝爾群和循環(huán)群§7* 陪集與拉格朗日定理§8 同態(tài)與同構(gòu)§9 環(huán)與域第二頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一§1 代數(shù)系統(tǒng)的引入舉例：在一個(gè)集合上的運(yùn)算：將實(shí)數(shù)集合R上的每一數(shù)a0映射成它的倒數(shù)1/a，就可以將該映射稱為在集合R上的一元運(yùn)算；在集合R上，對(duì)任意兩個(gè)數(shù)所進(jìn)行的普通加法和乘法，都是在集合R上的二元運(yùn)算。對(duì)于集合R上的任意三個(gè)數(shù)的運(yùn)算，就是集合R上的三元運(yùn)算。第三頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一§1 代數(shù)系統(tǒng)的引入《定義》:設(shè)Z是一個(gè)集合,f是一個(gè)函數(shù),f：ZnZ,則稱f為Z中的n元運(yùn)算,整數(shù)n稱為運(yùn)算的階（元,次）。

若n=1,則稱f：ZZ為一元運(yùn)算；若n=2,則f：Z2Z為二元運(yùn)算。

本章主要討論一元運(yùn)算和二元運(yùn)算。

例：（1）在整數(shù)I和實(shí)數(shù)R中,+,-,×均為二元運(yùn)算,而對(duì)÷而言就不是二元運(yùn)算;

（2）在集合Z的冪集(z)中,,均為二元運(yùn)算,而“~”是一元運(yùn)算；第四頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一《定義》:一個(gè)非空集合S連同若干個(gè)定義在該集合上的運(yùn)算f1,f2,….,fk所組成的系統(tǒng)就稱為一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，記作<S,f1,f2,….,fk>。一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)需要滿足以下條件：有一個(gè)非空集合S；有一些建立在集合S上的運(yùn)算；§1 代數(shù)系統(tǒng)的引入第五頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一《定義》:設(shè)*是集合S上的二元運(yùn)算,對(duì)任一x,yS有xy∈S則稱運(yùn)算在S上是封閉的。在f：Z2Z二元運(yùn)算的定義中,本身要求滿足運(yùn)算是封閉的。例：（1）在集合A={1，2，3，4，5，1/2，1/3，1/4，1/5}，做任意元素的倒數(shù)運(yùn)算；可以看作是：將集合A上的每一數(shù)a映射成他的倒數(shù)1/a；

（2）在前例中,R,I集合中+,-,×運(yùn)算；(z)的元素中,,~,運(yùn)算等均為封閉的。

(3)在正整偶數(shù)的集合E中,對(duì)×,+運(yùn)算是封閉的,在正整奇數(shù)的集合中,對(duì)×運(yùn)算是封閉的,而對(duì)+運(yùn)算不是封閉的。

§2運(yùn)算及其性質(zhì)第六頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一在整數(shù)集合I上定義如下：

其中的+，分別表示數(shù)的加法和乘法。

那么是一個(gè)從I2到I的函數(shù)，在集合I上是封閉的，（I，

）就是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)。§2運(yùn)算及其性質(zhì)第七頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一不封閉的例子：一架自動(dòng)售貨機(jī)，能接受五角硬幣和一元硬幣，而所對(duì)應(yīng)的商品是桔子水、可樂(lè)和冰淇凌。當(dāng)投入上述硬幣的任何兩枚時(shí)，自動(dòng)售貨機(jī)將按照表中供應(yīng)相應(yīng)的產(chǎn)品：表格左上角的記號(hào)*可以理解為一個(gè)二元運(yùn)算的運(yùn)算符。這個(gè)例子中的二元運(yùn)算*不是集合{五角硬幣，一元硬幣}上的封閉運(yùn)算。*五角硬幣

一元硬幣五角硬幣桔子水可口可樂(lè)一元硬幣可口可樂(lè)冰淇凌第八頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一§2運(yùn)算及其性質(zhì)《定義》:設(shè)*是集合S上的二元運(yùn)算,對(duì)任一x,yS有xy=yx,則稱運(yùn)算在S上是可交換的（或者說(shuō)在S上滿足交換律）。例：在整合集合I上定義運(yùn)算： 對(duì)任何 其中的+，分別表示數(shù)的加法和乘法。 那么可以滿足交換律？第九頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一§2運(yùn)算及其性質(zhì)《定義》:設(shè)*是集合S上的二元運(yùn)算,對(duì)任一x,y,zS都有（xy）

z=x

（yz）,則稱運(yùn)算在S上是可結(jié)合的（或者說(shuō)*在S上滿足結(jié)合律）。EX：設(shè)A是一個(gè)非空集合，★是A上的二元運(yùn)算，對(duì)于任意a，bA，有a★b=b，證明：★是滿足結(jié)合律的。證：∵對(duì)于任意的a，b，cA， （a★b）★c=b★c=c

而a★（b★c）=a★c=c， ∴（a★b）★c=a★（b★c） ∴★是滿足結(jié)合律的第十頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一例：代數(shù)系統(tǒng)（N，+，×）。其中+，×分別代表數(shù)的加法和乘法。×對(duì)+是滿足分配律的.《定義》:設(shè)和是集合S上的二個(gè)二元運(yùn)算,

對(duì)任一x,y,zS有

x

（yz）=（xy）（xz）；（yz）

x=（yx）（zx）,則稱運(yùn)算對(duì)是可分配的（或稱對(duì)滿足分配律）。§2運(yùn)算及其性質(zhì)第十一頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一§2運(yùn)算及其性質(zhì)《定義》:設(shè)*是S上的二元運(yùn)算,若對(duì)任一xS有xx=x,則稱滿足等冪律。討論定義：1)S上每一個(gè)元素均滿足xx=x,才稱在S上滿足冪等律；2)若在S上存在元素某一元素xS有xx=x,則稱x為S上的冪等元素；3)由此定義,若x是冪等元素,則有xx=x和xn=x成立?！抖x》:設(shè)，是定義在集合S上的兩個(gè)可交換二元運(yùn)算，如果對(duì)于任意的x,yS，都有：

x(xy)=x；x(xy)=x則稱運(yùn)算和運(yùn)算滿足吸收律。第十二頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一§2運(yùn)算及其性質(zhì)例：（1）在實(shí)數(shù)集合R中,+,×是可交換,可結(jié)合的,×對(duì)+是滿足分配律的,“0”對(duì)+是等冪元素,而其它不為等冪元素,在實(shí)數(shù)集合R中,“-”法是不可交換,不可結(jié)合的；

（2）在(z)中,,均是可交換,可結(jié)合的,對(duì),對(duì)均是可分配的；

(z)中任一元素,對(duì),均是等冪元素?！酀M足等冪律；

而(z)中,對(duì)稱差是可交換,可結(jié)合的。除(s)={}以外不滿足等冪律?！?/p>

=,而除以外的A(z)有AA≠A。第十三頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一§2運(yùn)算及其性質(zhì)下面定義特殊元素：幺元,零元和逆元。

《定義》：設(shè)*是集合Z中的二元運(yùn)算,

(1)若有一元素elZ,對(duì)任一xZ有el*x=x；則稱el為Z中對(duì)于*的左幺元；

(2)若有一元素erZ,對(duì)任一xZ有x*er=x；則稱er為Z中對(duì)于*的右幺元。

(3)如果Z中的一個(gè)元素e,它既是左幺元,又是右幺元,則稱e為Z中關(guān)于運(yùn)算*的幺元.即對(duì)于任意x∈Z,有e*x=x*e.《定理》：若el和er分別是Z中對(duì)于*的左幺元和右幺元,則el=er=e，且eZ是唯一的。第十四頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一§2運(yùn)算及其性質(zhì)∵el和er分別是對(duì)*的左,右左元，則有el*er=er=el

∴有el=er=e成立。再證明幺元e是唯一的。用反證法：假設(shè)有二個(gè)不同的幺元e1和e2,則有e1*e2=e2=e1,這和假設(shè)相矛盾。∴若存在幺元的話一定是唯一的。例：（1）在實(shí)數(shù)集合R中,對(duì)+而言,e+=0；對(duì)×而言,e*=1；（2）在(E)中,對(duì)而言,e

=E（全集合）；對(duì)而言,e=（空集）；（3）{命題邏輯}中，對(duì)∨而言，e∨

=F（永假式）；對(duì)∧而言，e∧

=T（永真式）。

第十五頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一例： 設(shè)代數(shù)系統(tǒng)（N，*），*的定義為： 對(duì) 那么，（N，*）有沒(méi)有幺元？左幺元？右幺元？§2運(yùn)算及其性質(zhì)解：對(duì)任何，因此1是右幺元。但1不是左幺元，因?yàn)樗裕∟，*）沒(méi)有左幺元，當(dāng)然也就沒(méi)有幺元。第十六頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一

《定義》：設(shè)*是對(duì)集合Z中的二元運(yùn)算，（1）若有一元素θlZ，且對(duì)每一個(gè)xZ有θl*x=θl，則稱θl為Z中對(duì)于*的左零元；

（2）若有一元素θr

Z，且對(duì)每一個(gè)xZ有x*θr=θr

，則稱θr為Z中對(duì)于*的右零元。

(3)如果Z中的一個(gè)元素θ,它既是左零元,又是右零元,則稱θ為Z中關(guān)于運(yùn)算*的零元.對(duì)于任意x∈Z,有θ*x=x*θ=θ§2運(yùn)算及其性質(zhì)下面介紹左零元，右零元，零元第十七頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一§2運(yùn)算及其性質(zhì)《定理》：若θl和θr分別是Z中對(duì)于*的左零元和右零元，則θl=θr=θ，且θZ是唯一的.證明：方法同幺元。

例：（1）在實(shí)數(shù)集合R中，對(duì)×而言,，θL=θr=0（2）在(E)中，對(duì)而言，θ

=

；對(duì)而言，θ=E；（3）{命題邏輯}中，對(duì)∨而言，θ∨=T；對(duì)∧而言，θ∧

=F。第十八頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一§2運(yùn)算及其性質(zhì)《定義》：設(shè)*是Z中的二元運(yùn)算，且Z中含幺元e，令xZ，

（1）若存在一xlZ，能使xl*x=e，則稱xL是x的左逆元,并且稱x是左可逆的；

（3）若元素x既是左可逆的，又是右可逆的，則稱x是可逆的，且x的逆元用x-1表示。（2）若存在一xr

Z，能使x*xr=e，則稱xr是x的右逆元，并且稱x是右可逆的；下面介紹左逆元，右逆元，逆元第十九頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一因此，關(guān)于逆元，下述結(jié)論是正確的：(1)只有當(dāng)幺元存在時(shí)，才考慮逆元。(2)逆元是“局部”的，也就是說(shuō)，逆元是針對(duì)具體元素而定的，有些元素可能有逆元，有些元素則可能沒(méi)有逆元。如果a和b都有逆元且ab，則a-1

和b-1也不相同。(3)設(shè)e為幺元，只有當(dāng)aob=e和boa=e同時(shí)成立時(shí)，b才能是a的逆元，如果只有一個(gè)成立，b也不是a的逆元。§2運(yùn)算及其性質(zhì)第二十頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一§2運(yùn)算及其性質(zhì)

證明：（1）先證左逆元=右逆元：設(shè)xL和xr分別是xZ的左逆元和右逆元，∵x是可逆的和*是可結(jié)合的（條件給出）∴xl*x=x*xr=e

∵xl*x*xr=（xl*x）*xr=e*xr=xr

；

xl*x*xr=xl*(x*xr)=xl*e=xl

∴xr=xl《定理》：設(shè)Z是集合，并含有幺元e

。*是定義在Z上的一個(gè)二元運(yùn)算，并且是可結(jié)合的。若xZ是可逆的，則它的左逆元等于右逆元，且逆元是唯一的。第二十一頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一§2運(yùn)算及其性質(zhì)（2）證明逆元是唯一的（若有的話）：假設(shè)x1-1和x2-1均是x的二個(gè)不同的逆元，則x1-1=x1-1*e=

x1-1*（x*x2-1

）=（x1-1*x）*x2-1=e*x2-1=x2-1，這和假設(shè)相矛盾。

∴x若存在逆元的話一定是唯一的?！锻普摗?x-1)-1=x,e-1=e

例：（1）在實(shí)數(shù)集合R中，對(duì)“+”運(yùn)算，對(duì)任一xR有

x-1=-x，∵x+（-x）=0，因?yàn)榧臃ㄧ墼獮?.第二十二頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一§2運(yùn)算及其性質(zhì)對(duì)“×”運(yùn)算，乘法幺元為1，則對(duì)任一xR有x-1=1x（x0）∵x×1x=1定理：設(shè)<A,*>是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng),且集合A中的元素個(gè)數(shù)大于1,如果該代數(shù)系統(tǒng)中存在幺元e和零元θ，則θ≠e。所以若<A,*>是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng),且|A|>1,如果該代數(shù)系統(tǒng)有零元，則零元一定不存在逆元?！擀?x=x*θ=θ。

第二十三頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一EX：設(shè)集合S={α，β，γ，δ，ζ}，定義在S上的一個(gè)二元運(yùn)算如下表所示，試指出代數(shù)系統(tǒng)（S，）中各個(gè)元素的左、右逆元情況。解：是幺元，是的左逆元，是的右逆元；是、的左逆元，、是右逆元；是的左逆元，是的右逆元；是的左逆元，是的右逆元。第二十四頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一§3半群《定義》：一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)<S,>，S為非空集合，是S上的二元運(yùn)算，如果運(yùn)算是封閉的，則稱代數(shù)系統(tǒng)<S,>為廣群。《定義》：設(shè)<S,>是一代數(shù)系統(tǒng)，S為非空集合，是S上的二元運(yùn)算，若

(1)運(yùn)算是封閉的。

(2)運(yùn)算滿足結(jié)合律，則稱<S,>為半群。

例：<N,+>,<N,>,<IE,+>,<IE,>均為半群《定義》：對(duì)于*運(yùn)算，擁有幺元的半群<M,*>稱為獨(dú)異點(diǎn).

例：<N,+>,<N,>均為獨(dú)異點(diǎn)而<IE,>就不為獨(dú)異點(diǎn)。第二十五頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一§3半群例：設(shè)S為非空集合，

(S)是S的冪集，則<(S),,>,<(S),,S>均為獨(dú)異點(diǎn)。而<I,max>，其中max(x1,x2)取二者之大值；<I,min>，其中min(x1,x2)取二者之小值，均不為獨(dú)異點(diǎn)（不存在幺元）。<N,max>則為獨(dú)異點(diǎn)，其中e=0《定義》：設(shè)<S,*>是一半群，TS，且*在T上是封閉的，那么<T,*>也是半群，稱<T,*>是

<S,*>的子半群。第二十六頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一§3半群討論定義：

（1）因?yàn)?在S上是可結(jié)合的，而TS且*在T上是封閉的，所以*在T上也是可結(jié)合的。（2）由定義可知，∵SS

，∴<S,*>也是<S,*>的子半群,為了和其它子半群相互區(qū)別，稱<S,*>是S的“平凡子半群”;第二十七頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一《定義》：設(shè)*是S上的二元運(yùn)算,對(duì)任一xS,則：

x1=x,x2=x*x,…xn=xn-1*x《定理》：設(shè)*是S上的二元運(yùn)算,且xS,對(duì)任一m,nI+有

（1）xmxn=xm+n

（2）(xm)n=xmn

§3半群

《定理》：設(shè)<S,*>是獨(dú)異點(diǎn)，則在關(guān)于運(yùn)算*的運(yùn)算表中一定沒(méi)有相同的行和列。

第二十八頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一證明：（1）xmxn=(xmx)x…x=(xm+1x)x…x

n

n-1

=….=xm+n

（2）(xm)n=xm…xm=xm+mxm…xm=…=xmn

nn-1§3半群第二十九頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一§3半群證明：因<S,*>是半群，對(duì)任意的bS， 由*的封閉性，b*bS，b3S，b4S，…

由于S是有限集，必有i<j，使bi=bj

設(shè)：p=j－i，則bj=bp*bi，即：bi=bp*bi

當(dāng)q≥i時(shí)，bq=bp*bq， 又因p≥1，總可以找到k≥1，使kp≥i，對(duì)S中的

bkp有bkp=bp*bkp=bp*(bp*bkp)=b2p*bkp =b2p*(bp*bkp)=b3p*bkp=….=bkp*bkp

令a=bkp，則a*a=a?！抖ɡ怼罚喝绻肴?lt;S,*>的集合S為有限集，則必有aS，使a*a=a。第三十頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一§3半群《定理》：設(shè)<S,*>是獨(dú)異點(diǎn)，對(duì)于任意a，bS，且a，b均有逆元，則a)(a-1)-1=ab)a*b有逆元，且(a*b)-1=b-1*a-1證明：a)因?yàn)閍-1是a的逆元，即

a*a-1=a-1*a=e

所以(a-1)-1=a b)因?yàn)?a*b)*(b-1*a-1)=a*(b*b-1)*a-1=a*e*a-1=e

同理可證：(b-1*a-1)*(a*b)=e

所以(a*b)-1=b-1*a-1第三十一頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一§4群與子群1.群的定義《定義》設(shè)<S,*>是一代數(shù)系統(tǒng)，S是非空集合，*為S上的二元運(yùn)算，它滿足以下四個(gè)條件時(shí)，則稱<S,*>為群

（1）*運(yùn)算是封閉的；

（2）*運(yùn)算是可結(jié)合的； （3）存在幺元e；

（4）S中每一個(gè)元素均有逆元。例：<I,+>,<Z2,+2>,<Z3,+3>等均為群（其中Z2={0,1},Z3={0,1,2}），而<N,+>,<I,>只是含幺半群(獨(dú)異點(diǎn))而不是群。第三十二頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一§4群與子群例：設(shè)M={0o,60o,120o,240o,300o,180o}表示平面上幾何圖形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的六種位置，定義一個(gè)二元運(yùn)算*，對(duì)M中任一元素a,b有a*b=圖形旋轉(zhuǎn)(a+b)的角度，并規(guī)定當(dāng)旋轉(zhuǎn)到360o時(shí)即為0o，試驗(yàn)證<M,*>是一個(gè)群。*0o60o120o180o240o300o0o0o60o120o180o240o300o60o60o120o180o240o300o0o120o120o180o240o300o0o60o180o180o240o300o0o60o120o240o240o300o0o60o120o180o300o300o0o60o120o180o240o第三十三頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一§4群與子群（1）運(yùn)算是封閉的（2）*是可結(jié)合的（3）幺元為0o

；（4）每一個(gè)元素均有逆元：(0o)-1=0o,(60o)-1=300o,(120o)-1=240o,(180o)-1=180o,(240o)-1=120o,(300o)-1=60o

∴<M,*>是一個(gè)群。第三十四頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一§4群與子群《定義》設(shè)<G,*>是一個(gè)群，如果G是有限集合，則稱<G,*>為有限群，并把|G|稱為群的階數(shù)，如果G為無(wú)限集合，則稱<G,*>為無(wú)限群。

例：<I,+>為無(wú)限群，上例中<M,*>為有限群，群的階為|M|=6。

可以概括：廣群僅僅是具有一個(gè)封閉的二元運(yùn)算的非空集合；半群是一個(gè)具有結(jié)合運(yùn)算的廣群；獨(dú)異點(diǎn)是具有幺元的半群；群是每個(gè)元素都有逆元的獨(dú)異點(diǎn)。第三十五頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一§4群與子群2.群的性質(zhì)

由群的定義可知:（1）群具有半群和獨(dú)異點(diǎn)所具有的所有性質(zhì)；（2）由于群中存在幺元，所以在群的運(yùn)算表中一定沒(méi)有相同的行（和列）.

下面以定理形式介紹群的性質(zhì)第三十六頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一§4群與子群《定理1》若<G,*>是一個(gè)群，則對(duì)任一a,bG有：

存在唯一的元素xG

，使a*x=b；證明：（a）在G中存在x，使a*x=b成立。

∵a*(a-1*b)=(a*a-1)*b=e*b=b，∴至少有一x=(a-1*b)滿足a*x=b成立。

（b）下面證明這樣的x是唯一的。若另有一解x1能使a*x1=b成立，則有x1=e*x1=(a-1*a)*x1=a-1*(a*x1)=a-1*b，∴x=(a-1*b)是滿足a*x=b的唯一元素，即x是唯一的。

第三十七頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一§4群與子群《定理2》若<G,*>是一個(gè)群，則對(duì)任一a,b,cG有：（1）a*b=a*cb=c（a是左可消去的）（2）b*a=c*ab=c（a是右可消去的）。此定理說(shuō)明群滿足消去律?！抖ɡ?》一個(gè)群<G,*>中一定不存在零元。

第三十八頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一§4群與子群

證：假設(shè)a是群（U，）的等冪元素，（e是幺元），且a≠e，則a=aa，而e=a-1

a=a-1

(aa)=(a-1

a)a=ea=a

與a≠e矛盾?！抖x》：設(shè)S是一個(gè)非空集合，從集合S到S的一個(gè)雙射稱為S的一個(gè)置換?！抖ɡ?》一個(gè)群中，除了幺元e之外，不存在其它等冪元素。第三十九頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一§4群與子群《定理5》：群<G,*>的運(yùn)算表中的每一行或每一列都是G的元素的一個(gè)置換。證明：首先，證明運(yùn)算表中的任一行或任一列所含G中的一個(gè)元素不可能多于一次。（反證法）如果對(duì)應(yīng)于元素aG的那一行中有兩個(gè)元素都是c，即有

a*b1=a*b2=c，且b1b2

由可約性，得：b1＝b2，這與b1b2矛盾。第四十頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一§4群與子群其次，證明G中的每一個(gè)元素都在運(yùn)算表的每一行和每一列中出現(xiàn)。考察對(duì)應(yīng)于元素aG的那一行，設(shè)b是G中的任一元素,由于b=a*(a-1*b)，所以b必定出現(xiàn)在對(duì)應(yīng)于a的那一行。再由運(yùn)算表中沒(méi)有兩行（或兩列）是相同的，所以，<G,*>的運(yùn)算表中的每一行都是G的元素的一個(gè)置換，且每一行都是不相同的。同樣，對(duì)于每一列結(jié)論同樣成立。第四十一頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一§4群與子群3.子群《定義》設(shè)<G,*>是一個(gè)群，且SG是一個(gè)非空集合。若<S,*>滿足下列三個(gè)條件，則稱<S,*>是<G,*>的子群：

（1）e是<G,*>的幺元，且eS；（保持幺元）

（2）對(duì)任一aS一定有a-1S

；（保持逆元）

（3）對(duì)任一a,bS一定有a*bS

。（運(yùn)算的封閉性）討論定義：

（1）任一群<G,*>至少可找到二個(gè)子群，即<{e},*>和<G,*>，為了以示區(qū)別稱此二子群為平凡子群；

（2）除了平凡子群以外的子群稱為的真子群。第四十二頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一《定理》設(shè)<G,*>是一個(gè)群，B是G的非空子集，如果B是一個(gè)有限集，那么，只要運(yùn)算*在B上是封閉的，則<B,*>必定是<G,*>的子群?！?群與子群第四十三頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一§4群與子群證明：設(shè)bB，已知*在B上封閉，則b*bB，即

b2B，b2

*bB，即：b3B， 于是b，b2，b3……均在B中。 由于B是有限集，∴必存在正整數(shù)i和j，i<j,

使得：bi=bj

即：bi=bi*bj-i

由此可說(shuō)明bj-i是<G,*>中的幺元，且這個(gè)幺元也在子集B中。如果j-i>1，那么由bj-i=b*bj-i-1可知bj-i-1是b的逆元，且bj-i-1B；如果j-i=1，那么由bi=bi*b可知b就是幺元，且以自身為逆元。因此，<B,*>是<G,*>的一個(gè)子群。第四十四頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一§4群與子群例：設(shè)G4={p=<p1,p2,p3,p4>|pi{0,1}}，是上的二元運(yùn)算，定義為，對(duì)任意X=<x1,x2,x3,x4>，Y=<y1,y2,y3,y4>G4，XY=<x1y1,x2y2,x3y3,x4y4>，其中的運(yùn)算表如圖所示：證明<{<0,0,0,0>,<1,1,1,1>},>是群<G4,>的子群。01001110第四十五頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一§4群與子群《定理》:設(shè)<G,*>是一個(gè)群，S是G的非空子集，如果對(duì)于S中的任意元素a和b有a*b-1S，則<S,*>是

<G,*>的子群。證明：先證，G中的幺元e也是S中的幺元。 任取aS，a*a-1S，而a*a-1＝e，∴eS

再證，每個(gè)元素都有逆元。又e*a-1S，即a-1S。 最后說(shuō)明，*對(duì)S是封閉的。 a,bS，因b-1S，∴(b-1)-1S第四十六頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一§4群與子群

a*b=a*(b-1)-1S，而(b-1)-1＝b∴a*bS

∴<S,*>是<G,*>的子群例：設(shè)<H,*>和<K,*>都是群<G,*>的子群，試證明

<HK,*>也是<G,*>的子群。第四十七頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一§5阿貝爾群和循環(huán)群《定義》如果群<G,*>中運(yùn)算*是可交換的，則稱該群為阿貝爾群（或稱為交換群）。例：<I,+>為阿貝爾群。

例：離散函數(shù)代數(shù)系統(tǒng)<F,°>是阿貝爾群。Z={1,2,3,4}，F(xiàn)={f0,f1,f2,f3

},f2=12343412,f3=12344123,f0=1234123412342341

f

=第四十八頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一§5阿貝爾群和循環(huán)群由運(yùn)算表可見(jiàn)：（1）運(yùn)算是封閉的；（2）“°”可結(jié)合；（3）幺元f0

；（4）每一個(gè)元素均可逆;（5）以主對(duì)角線為對(duì)稱。∴<F,°>為阿貝爾群。

°f0f1

f2f3f0f0f1

f2f3f1f1

f2f3f0f2

f2f3f0f1f3f3f0f1f2第四十九頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一§5阿貝爾群和循環(huán)群《定理》設(shè)<G,*>是一個(gè)群，<G,*>是阿貝爾群的充分必要條件是對(duì)任一a,bG有:(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)。證明：（1）充分性：(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)<G,*>是阿貝爾群。

對(duì)任一a,bG有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)成立，∵*是可結(jié)合的，且是可消去的，∴a*(a*b)*b=(a*a)*(b*b)=(a*b)*(a*b)=a*(b*a)*b

得a*b=b*a，∴<G,*>是阿貝爾群。第五十頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一§5阿貝爾群和循環(huán)群（2）必要性：

<G,*>是阿貝爾群

(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)。

∵阿貝爾群滿足交換律，對(duì)任一a,bG有a*b=b*a，∴(a*a)*(b*b)=a*(a*b)*b=a*(b*a)*b=(a*b)*(a*b)?！锻普摗吩诎⒇悹柸褐校瑢?duì)任一a,bG有

(a*b)–1=b-1*a-1=a-1*b-1第五十一頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一§5阿貝爾群和循環(huán)群《定義》設(shè)<G,*>是一個(gè)群，I是整數(shù)集合，若存在一個(gè)元素gG，對(duì)于G中每一個(gè)元素a都能表示成gn的形式（nI），則稱<G,*>是一個(gè)循環(huán)群，g稱為群<G,*>的生成元。例：60o就是群<{0o,60o,120o,240o,300o,180o},*>的生成元，所以該群為循環(huán)群。第五十二頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一§5阿貝爾群和循環(huán)群《定理》每一個(gè)循環(huán)群必然是阿貝爾群?！抖ɡ怼吩O(shè)<G,*>是由元素gG生成的循環(huán)群，若

<G,*>是n階的（即|G|=n），則gn=e，且G={g1,g2,…gn=e}

，而且n是能使gn=e的最小正整數(shù)。證明：設(shè)<G,*>是一循環(huán)群，g為生成元，對(duì)任一p,qG一定存在i,jI（整數(shù)）使得p=gi,q=gj，則p*q=gi*gj=gi+j=gj*gi=q*p。

∴<G,*>循環(huán)群一定是阿貝爾群。第五十三頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一§5阿貝爾群和循環(huán)群例：<G,*>為一群,G中元素和*運(yùn)算見(jiàn)運(yùn)算表：

c1=c,c2=b,c3=d,c4=a(幺元);d1=d,d2=b,d3=c,d4=a(幺元);而a1=a,a2=a,a3=a,a4=a;b1=b,b2=a,b3=b,b4=a,由上可見(jiàn)：生成元c,d的階為4，等于群<G,*>的階，即|G|的基數(shù)。*abcdaabcdbbadcccdbaddcab第五十四頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一§6拉格朗日定理Lagrange定理:對(duì)群G的任何子群H,|H|整除|G|.推論:(1)任一元aG生成的循環(huán)子群的階(即a的階)是群的階的因數(shù);(2)一個(gè)素?cái)?shù)階的群必為循環(huán)群，并且除e外,每個(gè)元都是其生成元(因素?cái)?shù)只有兩個(gè)因數(shù):1和自身);(3)素?cái)?shù)階的群只有平凡子群:{e}和它自身.第五十五頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一1、定義：對(duì)兩個(gè)同類型代數(shù)系統(tǒng)(U，)，(V，*)，其中與*都是二元運(yùn)算。如果存在雙射f：UV，使得對(duì)x1，x2U，都有f（x1x2）=f（x1）*f（x2），就稱f是一個(gè)從（U，）到（V，*）的同構(gòu)映射，或說(shuō)（U，）與（V，*）是同構(gòu)的。記作：（U，）≌（V，*）一、同構(gòu)同態(tài)和同構(gòu)是討論二個(gè)代數(shù)系統(tǒng)之間的關(guān)系?！?同構(gòu)與同態(tài)第五十六頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一例：設(shè)A={a，b，c，d}，在A上定義一個(gè)二元運(yùn)算“”，又設(shè)B={，，，}，在A上定義一個(gè)二元運(yùn)算“*”，如下表：證明：（A，）和（B，*）是同構(gòu)證明：考察映射f(a)=,f(b)=,f(c)=,f(d)=顯然，f是一個(gè)從A到B的雙射，由表容易驗(yàn)證f是由（A，）和（B，*）的同構(gòu)。考察映射g，使得g(a)=,g(b)=,g(c)=,

g(d)=，g也是由（A，）和（B，*）的同構(gòu)。

注：兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)是同構(gòu)，他們之間的同構(gòu)映射可以是不唯一的。abcdaabcdbbaaccbddcdabcd*第五十七頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一解：作映射f：I2I，f(x)=2x，則f是雙射。對(duì)任何a，bI，f(a+b)=2(a+b)=2a+2b=f(a)+f(b)因此，V1和V2

同構(gòu)例：設(shè)代數(shù)系統(tǒng)V1=（I，+），V2=（2I，+），其中I是整數(shù)集合，+運(yùn)算是一般的加運(yùn)算，V1和V2是否同構(gòu)？§8同構(gòu)與同態(tài)第五十八頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一定理2：如果（U，）滿足交換律，且（U，）≌（V，*），則（V，*）也滿足交換律。定理3：如果（U，，*）滿足左（右）分配律，且（U，，*）≌（V，，），則（V，，）也滿足左（右）分配律。2、定理定理1：如果（U，）滿足結(jié)合律，且（U，）≌（V，*），則（V，*）也滿足結(jié)合律?！?同構(gòu)與同態(tài)第五十九頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一定理4：如果（U，）存在單位元，且（U，）≌（V，*），則（V，*）也存在單位元。定理5：設(shè)（U，）存在零元素，且（U，）≌（V，*），則（V，*）也存在零元素。定理6：若（U，）對(duì)每個(gè)xU，存在逆元素x-1，且（U，）≌（V，*），則（V，*）中任一元素y必存在逆元素y-1。定理7：代數(shù)系統(tǒng)間的同構(gòu)關(guān)系是等價(jià)關(guān)系?！?同構(gòu)與同態(tài)第六十頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一二、同態(tài)

如果將同構(gòu)的條件放寬一點(diǎn)，則可以得到比同構(gòu)范圍更廣的關(guān)系，希望放寬后的關(guān)系使兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)不一定要有相同的基數(shù)，但是能夠在一定意義上保持其性質(zhì)，為此引入同態(tài)、滿同態(tài)，單一同態(tài)概念?！抖x》設(shè)U=<A,>和V=<B,*>是二個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，又設(shè)U到V存在一個(gè)映射f:AB，對(duì)任意a1,a2A，若有f(a1a2)=f(a1)*f(a2)，則稱f是從代數(shù)系統(tǒng)U到V的同態(tài)映射。稱U同態(tài)于V。把<f(A),*>稱為<A,>的一個(gè)同態(tài)象。其中：

f(A)={x|x=f(a)，aA}B

§8同構(gòu)與同態(tài)第六十一頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一討論定義：（1）f:AB為同態(tài)函數(shù)，它不單是自變量和象點(diǎn)的對(duì)應(yīng)，還有自變量的運(yùn)算和象點(diǎn)運(yùn)算之間的對(duì)應(yīng)；

（2）對(duì)同態(tài)講，二個(gè)代數(shù)系統(tǒng)的基數(shù)可以不相等，只要滿足函數(shù)的條件就行；§8同構(gòu)與同態(tài)（3）上述定義可以推廣到多個(gè)n元運(yùn)算的同一類型的代數(shù)系統(tǒng)中去。（4）一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)到另一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)可能存在多于一個(gè)同態(tài)。第六十二頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一例：設(shè)集合A={a，b，c}，在A上定義運(yùn)算。如下表，那么，V1=（I+，+），V2=（A，o），其中I是正整數(shù)集合，+運(yùn)算是普通的加法。V1和V2是否同態(tài)？解：作映射f：IA，abcaabcbbabcacb是偶數(shù)是奇數(shù)同構(gòu)與同態(tài)§8同構(gòu)與同態(tài)第六十三頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一例：給定二代數(shù)系統(tǒng)F={I,+}，I為整數(shù)，“+”為一般加；

G={Nm,+m}，其中，Nm={0,1,2…m-1},“+m”為模m加法并定義成

x1+mx2=(x1+x2)modm。對(duì)任一iI和mI

+，

(i)modm定義了除以m所得的非負(fù)余數(shù)且0(i)modm<m?！?同構(gòu)與同態(tài)第六十四頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一定義FG的一個(gè)函數(shù)：f:INm且有f(i)=i(modm)，

(其中iI，f(i)

Nm),f(i1+i2)=(i1+i2)modm=(i1modm)+m(i2modm)，其中i1I,i2I；

i1modmNm,i2modmNm

。則f是一同態(tài)函數(shù)：自變量和象點(diǎn)的對(duì)應(yīng)，并保持運(yùn)算的對(duì)應(yīng)。§8同構(gòu)與同態(tài)第六十五頁(yè)，共七十二頁(yè)，編輯于2023年，星期一《定義》若f:AB是從U=<A,>

到V=<B,*>的同態(tài)，于是有：

（1）若f是滿射函數(shù)，則稱f是從U到V的滿同態(tài)；

（2）若f是入射函數(shù)，則稱f是從U到V的單一同態(tài)；

（3）若