第三章 冪級(jí)數(shù)展開

第三章冪級(jí)數(shù)展開第一頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)意義:

級(jí)數(shù)在某項(xiàng)后的任意項(xiàng)之和趨于零.收斂判據(jù):給定,必有N存在,當(dāng)n>N時(shí),有這里為任意正整數(shù).必要條件：第二頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四復(fù)函數(shù)級(jí)數(shù)的運(yùn)算1.兩級(jí)數(shù)相乘2.級(jí)數(shù)的倒數(shù)如級(jí)數(shù)的各項(xiàng)在曲線上連續(xù),則級(jí)數(shù)和的積分可逐項(xiàng)積分后求和(積分與求和可交換次序).如級(jí)數(shù)的各項(xiàng)在區(qū)域內(nèi)解析,則級(jí)數(shù)和的微分可逐項(xiàng)微分后求和(求導(dǎo)與求和可交換次序).3.級(jí)數(shù)的積分4.級(jí)數(shù)的微分兩級(jí)數(shù)各項(xiàng)相乘后按對(duì)角線項(xiàng)組合.級(jí)數(shù)的倒數(shù)或除法按多項(xiàng)式除法進(jìn)行.第三頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四兩級(jí)數(shù)相乘第四頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四

一個(gè)冪級(jí)數(shù)必有一個(gè)以為圓心,以R為半徑的收斂圓.圓內(nèi)冪級(jí)數(shù)收斂,圓外冪級(jí)數(shù)發(fā)散,圓周上冪級(jí)數(shù)的斂散性要具體判斷.收斂半徑：一.冪級(jí)數(shù)第五頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四解析函數(shù)在其解析點(diǎn)的鄰域可以展開成泰勒級(jí)數(shù)(正冪項(xiàng)冪級(jí)數(shù)).及其鄰域內(nèi)單值解析在意義---解析函數(shù)在為中心的圓域內(nèi)可以用正冪級(jí)數(shù)表示.二.泰勒級(jí)數(shù)條件:第六頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四科希公式泰勒展開公式等比級(jí)數(shù)由于泰勒公式的證明:第七頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四代入科希公式中有同時(shí)(再比較)科希公式第八頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四第九頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四第十頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四級(jí)數(shù)形式應(yīng)是第十一頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四級(jí)數(shù)形式應(yīng)是第十二頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四主要部分(負(fù)冪項(xiàng))解析部分(正冪項(xiàng))條件:在環(huán)域內(nèi)單值解析

解析函數(shù)在除去其奇點(diǎn)的環(huán)域可以展開成羅朗級(jí)數(shù)(含有正負(fù)冪項(xiàng)的冪級(jí)數(shù)).意義:解析函數(shù)在以為中心的環(huán)域可以用含有正負(fù)冪項(xiàng)的冪級(jí)數(shù)表示.三.羅朗級(jí)數(shù)第十三頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四關(guān)于羅朗級(jí)的說明:是級(jí)數(shù)的奇點(diǎn),但不一定是的奇點(diǎn)。展開系數(shù)若僅有環(huán)心是的奇點(diǎn),則內(nèi)園半徑可任意小。羅朗級(jí)數(shù)具有唯一性。第十四頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四解析延拓

一、解析延拓的含意解析延拓就是通過函數(shù)的替換來擴(kuò)大解析函數(shù)的定義域。替換函數(shù)在原定義域上與替換前的函數(shù)相等。二、解析延拓的唯一性無論用何種方法進(jìn)行解析延拓，所得到的替換函數(shù)都完全等同。第十五頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四例1的環(huán)域上將函數(shù)在展開為羅朗級(jí)數(shù).解:環(huán)域中心為z=0,展開區(qū)域?yàn)?).等比級(jí)數(shù)羅朗展開系數(shù)級(jí)數(shù)形式應(yīng)是第十六頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四第十七頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四例2在

z=1

的鄰域?qū)⒑瘮?shù)作冪級(jí)數(shù)展開.作代換z-1=u,有z=u+1,則由于z=1是函數(shù)的奇點(diǎn),所以展開式為羅朗級(jí)數(shù)解:級(jí)數(shù)形式應(yīng)是第十八頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四例3將函數(shù)在分別展開成羅朗級(jí)數(shù).內(nèi),(1)在內(nèi),(2)在內(nèi),內(nèi),(3)在級(jí)數(shù)形式應(yīng)是解:第十九頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四練習(xí).將函數(shù)在下列區(qū)域分別展開成羅朗級(jí)數(shù).解3).作代換z+1=u,有z=u-1,則4).作代換z+1=u,有z=u-1,則第二十頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四物理和工程的近似計(jì)算中常用的級(jí)數(shù)展開式1.泰勒公式2.牛頓二項(xiàng)式3.等比級(jí)數(shù)第二十一頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四例()第二十二頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四四.孤立奇點(diǎn)性質(zhì)的分類在該點(diǎn)的冪級(jí)數(shù)展開中主要部分有無窮多項(xiàng).在該點(diǎn)的冪級(jí)數(shù)展開中主要部分的最高冪項(xiàng)為:在該點(diǎn)的冪級(jí)數(shù)展開中主要部分只有負(fù)一次冪一項(xiàng):在該點(diǎn)的冪級(jí)數(shù)展開中沒有主要部分(沒有負(fù)冪項(xiàng)).(一階極點(diǎn))單極點(diǎn):可去奇點(diǎn):m階極點(diǎn):本性奇點(diǎn):第二十三頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四判定孤立奇點(diǎn)性質(zhì)的方法

1.先找出函數(shù)的奇點(diǎn)2.把函數(shù)在的環(huán)域作羅朗展開

如果負(fù)冪項(xiàng)的最高項(xiàng)為2).如果展開式中有無窮多負(fù)冪項(xiàng),則1).如果展開式中沒有負(fù)冪項(xiàng),則為可去奇點(diǎn)為本性奇點(diǎn)3).如果展開式中只有有限項(xiàng)負(fù)冪項(xiàng),則為極點(diǎn),則為m階極點(diǎn)(一).基本方法----羅朗展開第二十四頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四(二)不作羅朗展開時(shí)判定孤立奇點(diǎn)性質(zhì)的步驟:1.先找出函數(shù)的奇點(diǎn)3.對(duì)于極點(diǎn),再按下述方法判斷極點(diǎn)的階:第二十五頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四1).直接作:極點(diǎn)的階的判斷方法2).第二十六頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四用羅朗展開法第二十七頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四用羅朗展開z=1是本性奇點(diǎn)第二十八頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四用羅朗展開3).奇點(diǎn)是z=0z=0是1階極點(diǎn)第二十九頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四補(bǔ)充習(xí)題找出奇點(diǎn)并判斷其性質(zhì)(4).第三十頁(yè)，共三十一頁(yè)，編輯于2023年，星期四二.冪級(jí)數(shù)的形式冪級(jí)數(shù)小結(jié)一.級(jí)數(shù)的運(yùn)算(級(jí)數(shù)的收斂、乘、除、微分、積分)四.解析函數(shù)在除去其奇點(diǎn)的環(huán)域可以展開成含有正負(fù)冪項(xiàng)的冪級(jí)數(shù)(叫羅朗級(jí)數(shù)----羅朗級(jí)數(shù)在環(huán)域內(nèi)收斂).三.解析函數(shù)在其解析點(diǎn)的鄰域(圓域)可以展開成正冪項(xiàng)冪級(jí)數(shù)(叫泰勒