初中數(shù)學(xué)浙教版八年級(jí)下冊(cè)平行四邊形4．4平行四邊形的判定定理“十校聯(lián)賽”一等獎(jiǎng)

4.2平行四邊形的判定定理第4章平行四邊形第2課時(shí)浙教版八年級(jí)下學(xué)期課件這種關(guān)系可記作AB

CD.ABCD如果四邊形ABCD是平行四邊形，那么AB和CD有怎么樣的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.AB∥CD，AB=CD.平行四邊形的對(duì)邊平行且相等.文字語言：幾何語言：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB

CD.如果四邊形中有一組對(duì)邊平行且相等，那么這個(gè)四邊形是平行四邊形.ABCD已知：在四邊形ABCD中，AB

CD.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.證明：∵AB∥CD，∴∠1=∠2.12又∵AB=CD，AC=CA，∴△ABC≌△CDA(SAS).34∴∠3=∠4.∴AD∥CB.∴四邊形ABCD是平行四邊形.連結(jié)AC，定理：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.幾何語言：∴四邊形ABCD是平行四邊形.∵AB

CD，ABCD例1已知：如圖4-28，在□ABCD中，E，F(xiàn)分別AB，CD的中點(diǎn)．求證：EF//AD.圖4-28==證明在□ABCD中，AB//CD（為什么？).又∵E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，∴AE//DF.∴四邊形AEFD是平行四邊形（一組對(duì)邊平行并且相等的四邊形是平行四邊形）.∴EF//AD（平行四邊形的定義）.已知：如圖，在口ABCD中，E為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，F(xiàn)為DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AE=CF，連接BF，DE.求證：四邊形BFDE是平行四邊形．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB//CD，AB=CD.又∵AE=CF，BE=BA＋AE=DC+CF=DF，且BE∥DF.∴四邊形BFDE是平行四邊形．已知：平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AD，BC的中點(diǎn)(如圖).求證：EB=DF.判定方法：定理1：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形.方法：將兩根同樣長(zhǎng)的木條AB，CD平行放置，再用木條AD，BC加固，得到的四邊形ABCD

就是平行四邊形.

你同意嗎？?jī)山M對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形.

平行四邊形的判別方法做一做如圖，AC∥ED，點(diǎn)B在AC上且AB=ED=BC

.找出圖中的平行四邊形.

ACBEDABCD用兩根長(zhǎng)為40cm的木條和兩根長(zhǎng)30cm的木條作為四邊形的四條邊，能否拼成一個(gè)平行四邊形？小明拼成的四邊形如圖所示，圖中的四邊形ABCD是平行四邊形嗎？證明：如果AB=CD，BC=AD

，連結(jié)AC，由△ABC△CDA，那么AB//CD，BC//AD.兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形.判定定理：ABCD1234≌得∠1=∠2，∠3=∠4，兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形.

結(jié)論小明的爸爸在釘制平行四邊形框架時(shí)采用了下面兩種方法.方法一：將兩根木條AC，BD的中點(diǎn)重疊，并用釘子固定，則四邊形ABCD就是平行四邊形.

你同意嗎？?jī)蓷l對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.平行四邊形的判別方法DBACO例3：已知：如圖22-2-7，E，F(xiàn)為□ABCD的兩條對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為OA，OC的中點(diǎn).求證：四邊形EBFD是平行四邊形.ODABCEF圖22-2-7證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD.∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別為OA，OC的中點(diǎn)，∴OE=OF.∴四邊形EBFD是平行四邊形.例2已知：如圖4-30，在□ABCD中，E，F(xiàn)是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，且∠BAE＝∠DCF．求證：四邊形AECF是平行四邊形．分析不難發(fā)現(xiàn)，四邊形AECF與□ABCD有相同的對(duì)角線AC.連結(jié)AC，交BD于點(diǎn)O，則AO=CO，BO=DO．因此只要證明BE=DF，就能證明EO＝FO．根據(jù)定理“對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形”就能證明四邊形AECF是平行四邊形．圖4-30圖4-31證明如圖4-31，連結(jié)AC，交BD于點(diǎn)O.在□ABCD中，BO＝DO，AO＝CO（平行四邊形的對(duì)角線互相平分）.AB//CD（平行四邊形的定義），∴∠ABE＝∠CDF.又∵∠BAE=∠DCF，AB=CD（平行四邊形的對(duì)邊相等），∴△ABE≌△CDF.∴BE=DF.∴BO-BE=DO-DF，即EO=FO.∴四邊形AECF是平行四邊形（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）.快速反應(yīng)如圖，四邊形ABCD，AC、BD相交于點(diǎn)O，OA=OC，OB=OD，則四邊形ABCD是__________，根據(jù)是_____________________兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.平行四邊形DABCOBFCEAHDG證明：在平行四邊形ABCD中，

AD=BC，∠A=∠C，

又AE=CG，BF=DH，

∴AH=CF.

∴△AEH≌△CGF.

∴EH=FG.

同理可證EF=GH.

∴四邊形EFGH是平行四邊形.已知如圖，E、F、G、H分別是平行四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，且AE=CG，BF=DH.求證：四邊形EFGH是平行四邊形.1.在如圖的格點(diǎn)圖中，每一格點(diǎn)與它周圍各個(gè)格點(diǎn)的距離相等.以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，你能畫出多少個(gè)平行四邊形？2.如圖，在ABCD中，已知M和N分別是AB和DC上的中點(diǎn)，那么四邊形BNDM也是平行四邊形嗎？試用多種方法證明你的猜想.CBNDAM證明：在ABCD中，AB∥CD，AB=CD，又M、N分別是AB和CD的中點(diǎn)，∴AM=BM，CN=DN.∴BM=DN.又BM∥DN，∴四邊形BNDM是平行四邊形.CBNDAM證明：在ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠A=∠C，又M、N分別是AB和CD的中點(diǎn)，∴AM=BM，CN=DN.∴BM=DN=AM=CN.∴△ADM≌△CBN.∴DM=BN.∴四邊形BNDM是平行四邊形.1.如圖，把線段AB平移到線段A′B′.AB與A′B′平行嗎？請(qǐng)說明理由.平行.連接A′A，B′B，由題意知，AB=A′B′，A′A=B′B所以ABB′A′是平行四邊形，所以AB與A′B′平行.2.已知：如圖，AD⊥AC，BC⊥AC，且AB=CD.

求證：AB∥CD.證明：AD⊥AC，BC⊥AC，△DAC和△BCA是直角三角形，在△DAC和△BCA中AB=CD，AC是公共邊，

∴△DAC和△BCA全等.（HL）所以∠DCA=∠BACAB∥CD(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行).1.已知：線段a，b，∠α（如圖）.用直尺和圓規(guī)作一個(gè)平行四邊形，使它的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別等于線段a，b，兩條對(duì)角線所成的角等于∠α.αab2.請(qǐng)回答4.4節(jié)節(jié)前語中的問題，并說明理由.一定是平行四邊形，因?yàn)閷?duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.3.已知：如圖，ABCD中，E，F(xiàn)是對(duì)角線AC上的兩個(gè)點(diǎn)，G，H是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，AE=CF，DG=BH.求證：四邊形EHFG是平行四邊形.證明：因?yàn)锳BCD是平行四邊形，

所以AO=OC，DO=OB.

因?yàn)锳E=CF，DG=BH，

所以AO-AE=OC-CF，DO-DG=OB-BH.

即EO=OF，GO=OH，

所以四邊形EHFG是平行四邊形（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）.1．已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D．試判斷四邊形ABCD是否是平行四邊形，并說明理由．ABCD∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，

而∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，

∴2∠A＋2∠B＝360°.

∴∠A＋∠B＝180°.

∴AD//BC，同理可證：AB//CD.

∴四邊形ABCD是平行四邊形.2．畫□ABCD，使AB＝2cm，BC＝3cm，AC＝4cm．ABCD用直尺畫2cm的線段AB，用圓規(guī)以A為圓心，4cm為半徑畫弧，再以B為圓心3cm為半徑畫弧，兩弧交點(diǎn)為C，連接AC，BC，過C做CD＝2cm，且平行于AB，連接AD，即可得□ABCD.證明：∵FC∥AB，∴∠DAC=∠ACF∠ADF=∠DFC.又AE=CE，∴△ADE≌△CFE.如圖所示，D為△ABC的邊AB上一點(diǎn)，DF交AC于點(diǎn)E，且AE=CE，F(xiàn)C∥AB．求證：CD=AF．BCDAFE∴DE=EF.∵AE=CE，∴四邊形ADCF為平行四邊形.∴CD=AF.BCDAFE如圖所示，在四邊形ABCD中，DC∥AB，以AD，AC為邊作□ACED，延長(zhǎng)DC交EB于F，求證：EF=FB．ABCDEFG證明：過點(diǎn)B作BG∥AD，交DC的延長(zhǎng)線于G，連接EG．∵DC∥AB，∴四