向量組的線性關(guān)系詳解

向量組的線性關(guān)系詳解演示文稿本文檔共17頁；當(dāng)前第1頁；編輯于星期日\11點38分（優(yōu)選）向量組的線性關(guān)系本文檔共17頁；當(dāng)前第2頁；編輯于星期日\11點38分兩個向量之間最簡單的關(guān)系是成比例。定義：如果向量組中存在一個向量可以由其余的向量線性表示，那么向量組稱為線性相關(guān)的。否則，該向量組中任一向量都不能由其它向量線性表示，此時則稱該向量組是線性無關(guān)的。如向量組：有從而是線性相關(guān)的。本文檔共17頁；當(dāng)前第3頁；編輯于星期日\11點38分定義表明，在線性相關(guān)的向量組中至少可以建立一個有意義的線性運算做成的等式關(guān)系；而當(dāng)向量組線性無關(guān)時，在該向量組上惟一能由線性運算建立的等式關(guān)系為恒等式定義：向量組稱為線性相關(guān)，如果有不全為零的數(shù)使否則稱該向量組線性無關(guān)。兩個定義在s≥2時是一致，但第二個定義包含了只有一個向量的向量組情形。本文檔共17頁；當(dāng)前第4頁；編輯于星期日\11點38分由定義易知：1）對單個向量構(gòu)成的向量組，若=0，則線性相關(guān)；

≠0則線性無關(guān)。2)若向量組的一個部分組線性相關(guān)，則該向量組必線性相關(guān)。對應(yīng)于線性無關(guān)則為：如果一向量組線性無關(guān)，那么它的任何一個非空的部分組也必線性無關(guān)。3)線性相關(guān)與無關(guān)性的判定可以歸結(jié)為求解齊次線性方程組問題。關(guān)于齊次線性方程組的基本結(jié)論是永遠存在零解，因此只需判定該齊次線性方程組是否存在非零解即可。若存在則線性相關(guān)，不存在則線性無關(guān)。本文檔共17頁；當(dāng)前第5頁；編輯于星期日\11點38分定理：向量組線性相關(guān)的充分必要條件是它所構(gòu)成的矩陣的秩小于向量個數(shù)m，即R(A)<m；向量組線性無關(guān)的充分必要條件是R(A)=m。例：已知討論向量組與的線性相關(guān)性。解：本文檔共17頁；當(dāng)前第6頁；編輯于星期日\11點38分從定理還可得：1)若向量個數(shù)大于其維數(shù)，則該向量組必相關(guān)；2)如果n維向量組線性無關(guān)，那么在每一個向量上的相同位置上添一個或多個分量所得到的更高維的向量組也線性無關(guān)；3)反之如果n維向量組線性相關(guān)，那么在每一個向量上減少一個或多個相同位置的分量所得到的低維的向量組也線性相關(guān)。本文檔共17頁；當(dāng)前第7頁；編輯于星期日\11點38分定理：矩陣的行初等變換不改變矩陣的列向量組間的線性關(guān)系。本文檔共17頁；當(dāng)前第8頁；編輯于星期日\11點38分例：本文檔共17頁；當(dāng)前第9頁；編輯于星期日\11點38分由于行初等變換不改變矩陣的列向量組間的線性關(guān)系，從而由右端矩陣可知由右端矩陣還可得向量組線性無關(guān)等結(jié)論。本文檔共17頁；當(dāng)前第10頁；編輯于星期日\11點38分二向量組間的相互線性表示與等價關(guān)系定義：設(shè)有兩個向量組及若B

組中的每個向量都能由向量組A

線性表示，則稱向量組B

能由向量組A線性表示。若向量組A

與向量組B

能相互表示，則稱向量組等價。1向量組間的線性表示與矩陣方程的關(guān)系單個向量由某組向量線性表示對應(yīng)于一個線性方程組有解；多個向量由某組向量線性表示則對應(yīng)于一組線性方程組有解。本文檔共17頁；當(dāng)前第11頁；編輯于星期日\11點38分若記則向量組B能由向量組A表示意味著矩陣方程

AX=B有解；反之若矩陣方程有解，則

B的列向量組可由A的列向量組線性表示。定理：向量組能由向量組線性表示的充分必要條件是矩陣方程有解。本文檔共17頁；當(dāng)前第12頁；編輯于星期日\11點38分2向量組的線性表示與等價的判定對向量組與若記定理：向量組能由向量組線性表示的充分必要條件是

R(A)=R(A,B).

注意：其另一個必要條件是R(A)≥R(B)。定理：向量組與向量組等價的充分必要條件是

R(A)=R(B)=R(A,B).本文檔共17頁；當(dāng)前第13頁；編輯于星期日\11點38分例：本文檔共17頁；當(dāng)前第14頁；編輯于星期日\11點38分三向量組線性相關(guān)性的判定定理：本文檔共17頁；當(dāng)前第15頁；編輯于星期日\11點38分推論1：如果向量組可以由向量組線性表出，且線性無關(guān)，那么s≥r.推論2：s個n維向量組成的向量組，當(dāng)維數(shù)n小于向量個數(shù)s時一定線性相