第一節(jié) 數(shù)學(xué)期望概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

第一節(jié)數(shù)學(xué)期望概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四分布函數(shù)能完整地描述r.v.的統(tǒng)計(jì)特性,但實(shí)際應(yīng)用中并不都需要知道分布函數(shù)，而只需知道r.v.的某些特征.判斷棉花質(zhì)量時(shí),既看纖維的平均長(zhǎng)度

平均長(zhǎng)度越長(zhǎng),偏離程度越小,質(zhì)量就越好;又要看纖維長(zhǎng)度與平均長(zhǎng)度的偏離程度例如：第二頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四考察一射手的水平,既要看他的平均環(huán)數(shù)是否高,還要看他彈著點(diǎn)的范圍是否小,即數(shù)據(jù)的波動(dòng)是否小.由上面例子看到，與r.v.有關(guān)的某些數(shù)值，雖不能完整地描述r.v.但能清晰地描述r.v.在某些方面的重要特征,這些數(shù)字特征在理論和實(shí)踐上都具有重要意義.第三頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四

r.v.的平均取值——數(shù)學(xué)期望

r.v.取值平均偏離均值的情況——方差描述兩r.v.間的某種關(guān)系的數(shù)——協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)本章內(nèi)容隨機(jī)變量某一方面的概率特性

都可用數(shù)字來(lái)描寫(xiě)第四頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四§4.1數(shù)學(xué)期望問(wèn)題：有甲、乙兩個(gè)射手，他們的射擊技術(shù)用下表給出：甲射手乙射手擊中環(huán)數(shù)8910概率0.30.10.6擊中環(huán)數(shù)8910概率0.20.50.3試問(wèn)哪一個(gè)射手本領(lǐng)較好？要解決這個(gè)問(wèn)題，可采用如下方法：使兩個(gè)射手各射N(xiāo)槍?zhuān)瑒t他們打中的環(huán)數(shù)大約是：甲：乙：平均來(lái)看，甲每槍擊中9.3環(huán)，乙每槍擊中9.1環(huán).第五頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四設(shè)X為離散r.v.其分布為若無(wú)窮級(jí)數(shù)其和為X

的數(shù)學(xué)期望記作E(X),即數(shù)學(xué)期望的定義絕對(duì)收斂,則稱(chēng)一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望第六頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四例1:某種產(chǎn)品即將投放市場(chǎng)，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查估計(jì)每件產(chǎn)品有60%的把握按定價(jià)售出，20%的把握打折售出及20%的可能性低價(jià)甩出。上述三種情況下每件產(chǎn)品的利潤(rùn)分別為5元，2元和-4元。問(wèn)廠家對(duì)每件產(chǎn)品可期望獲利多少？解:設(shè)X表示一件產(chǎn)品的利潤(rùn)(單位：元),X的分布率為X52-4P0.60.20.2X的數(shù)學(xué)期望:雖然任一件產(chǎn)品投放市場(chǎng)都有虧損的風(fēng)險(xiǎn)，但每件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為2.6元，還是有利可圖的。第七頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四例2：設(shè)X服從參數(shù)為p的（0-1）分布，求E(X)。解：X的分布律為X01Pqp0<p<1,q=1-p第八頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四例3：設(shè)X~b(n，p)，求E(X)。解：X的分布律為則：第九頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四第十頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四例5幾何分布第十一頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四設(shè)連續(xù)r.v.X的d.f.為若廣義積分絕對(duì)收斂,則稱(chēng)此積分為X

的數(shù)學(xué)期望，記作E(X),數(shù)學(xué)期望的本質(zhì)——加權(quán)平均，它是一個(gè)數(shù)不再是r.v.定義二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望即第十二頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四例6設(shè)X~U(a，b)，求E(X)。第十三頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四例7指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望密度函數(shù)：第十四頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四例8

X~N(,2),求E(X)

.解密度函數(shù)：第十五頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四常見(jiàn)r.v.的數(shù)學(xué)期望分布期望概率分布參數(shù)為p

的0-1分布pB(n,p)npP()第十六頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四分布期望概率密度區(qū)間(a,b)上的均勻分布E()N(,2)第十七頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四注意不是所有的r.v.都有數(shù)學(xué)期望例如：柯西(Cauchy)分布的密度函數(shù)為但發(fā)散它的數(shù)學(xué)期望不存在!第十八頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四設(shè)離散r.v.X

的概率分布為

若無(wú)窮級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則三、r.v.函數(shù)Y=g(X)的數(shù)學(xué)期望第十九頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四設(shè)連續(xù)r.v.的d.f.為f(x)絕對(duì)收斂,則若廣義積分第二十頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四設(shè)離散r.v.(X,Y)的概率分布為Z=g(X,Y),絕對(duì)收斂,則若級(jí)數(shù)第二十一頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四設(shè)連續(xù)r.v.(X,Y)的聯(lián)合d.f.為Z=g(X,Y),絕對(duì)收斂,則若廣義積分f(x,y)，第二十二頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四例9設(shè)圓的直徑X～U(a,b)，求圓的面積的期望。第二十三頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四例10將n封不同的信的n張信箋與n個(gè)信封進(jìn)行隨即匹配，記X表示匹配成對(duì)數(shù)，求E(X)。第二十四頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四例11

設(shè)(X,Y)~N(0,1;0,1;0),求的數(shù)學(xué)期望.解第二十五頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四解(1)設(shè)整機(jī)壽命為

N,五個(gè)獨(dú)立元件,壽命分別為都服從參數(shù)為的指數(shù)分布，若將它們例12(1)串聯(lián)；(2)并聯(lián)成整機(jī)，求整機(jī)壽命的均值.第二十六頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四即N~E(5),(2)設(shè)整機(jī)壽命為第二十七頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四可見(jiàn),并聯(lián)組成整機(jī)的平均壽命比串聯(lián)組成整機(jī)的平均壽命長(zhǎng)11倍之多.第二十八頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四例13

設(shè)X~N(0,1),Y~N(0,1),X,Y

相互獨(dú)立，求E(max(X,Y)).解D1D2第二十九頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四其中稱(chēng)為概率積分第三十頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四所以第三十一頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四一般地，若X,Y相互獨(dú)立，則第三十二頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四

E(C)=C

E(aX)=aE(X)

E(X+Y)=E(X)+E(Y)四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)常數(shù)第三十三頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四當(dāng)X,Y獨(dú)立時(shí)，E(XY)=E(X)E(Y).若存在數(shù)

a使

P(Xa)=1,則

E(X)a;若存在數(shù)

b使

P(Xb)=1,則

E(X)b.性質(zhì)4的逆命題不成立，即若E(XY)=E(X)E(Y)，X,Y不一定獨(dú)立注第三十四頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四設(shè)X連續(xù)，d.f.為f(x),分布函數(shù)為

F(x),則故證

性質(zhì)5第三十五頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四例14

將4個(gè)不同色的球隨機(jī)放入4個(gè)盒子解一設(shè)X為空盒子數(shù),則

X的概率分布為XP0123中,每盒容納球數(shù)無(wú)限,求空盒子數(shù)的數(shù)學(xué)期望.第三十六頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四解二再引入Xi,i=1,2,3,4Xi

P10第三十七頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四例15

設(shè)二維r.v.(X,Y)的d.f.為求E(X),E(Y),E(X+Y),E(XY),E(Y/X)解

第三十八頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四由數(shù)學(xué)期望性質(zhì)X,Y獨(dú)立第三十九頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用第四十頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四據(jù)統(tǒng)計(jì)65歲的人在10年內(nèi)正常死亡解應(yīng)用1的概率為0.98,因事故死亡概率為0.02.保險(xiǎn)公司開(kāi)辦老人事故死亡保險(xiǎn),參加者需交納保險(xiǎn)費(fèi)100元.若10年內(nèi)因事故死亡公司賠償

a元,應(yīng)如何定a,才能使公司可期望獲益;若有1000人投保,公司期望總獲益多少?設(shè)Xi

表示公司從第i

個(gè)投保者身上所得的收益,i

=1~1000.則Xi~0.980.02100100第四十一頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四由題設(shè)公司每筆賠償小于5000元,能使公司獲益.公司期望總收益為若公司每筆賠償3000元,能使公司期望總獲益40000元.第四十二頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四

為普查某種疾病,n個(gè)人需驗(yàn)血.驗(yàn)血方案有如下兩種：分別化驗(yàn)每個(gè)人的血,共需化驗(yàn)n

次；分組化驗(yàn),k

個(gè)人的血混在一起化驗(yàn),若結(jié)果為陰性,則只需化驗(yàn)一次;若為陽(yáng)性,則對(duì)k

個(gè)人的血逐個(gè)化驗(yàn),找出有病者,此時(shí)

k

個(gè)人的血需化驗(yàn)k+1次.設(shè)每人血液化驗(yàn)呈陽(yáng)性的概率為

p,且每人化驗(yàn)結(jié)果是相互獨(dú)立的.試說(shuō)明選擇哪一方案較經(jīng)濟(jì).驗(yàn)血方案的選擇應(yīng)用2第四十三頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四解只須計(jì)算方案(2)所需化驗(yàn)次數(shù)的期望.n/k

組.設(shè)第i組需化驗(yàn)的次數(shù)為Xi,則Xi

P1k+1

為簡(jiǎn)單計(jì),不妨設(shè)n

是k

的倍數(shù)，共分成第四十四頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四若則E(X)<n例如,當(dāng)

時(shí),選擇方案(2)較經(jīng)濟(jì).第四十五頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四市場(chǎng)上對(duì)某種產(chǎn)品每年需求量為X噸，X~U[2000,4000],每出售一噸可賺3萬(wàn)元,售不出去，則每噸需倉(cāng)庫(kù)保管費(fèi)1萬(wàn)元，問(wèn)應(yīng)該生產(chǎn)這中商品多少?lài)?才能使平均利潤(rùn)最大？解設(shè)每年生產(chǎn)y噸的利潤(rùn)為Y顯然，2000<y<4000應(yīng)用3第四十六頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四第四十七頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四顯然，故y=3500時(shí),E(Y)最大,E(Y)=8250萬(wàn)元第四十八頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四設(shè)由自動(dòng)線加工的某種零件的內(nèi)徑

X(mm)~N(,1).已知銷(xiāo)售每個(gè)零件的利潤(rùn)T(元)與銷(xiāo)售零件的內(nèi)徑X有如下的關(guān)系：?jiǎn)柶骄睆?/p>

為何值時(shí),銷(xiāo)售一個(gè)零件的平均利潤(rùn)最大？應(yīng)用4第四十九頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四解第五十頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四即可以驗(yàn)證，零件的平均利潤(rùn)最大.故時(shí),銷(xiāo)售一個(gè)第五十一頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四柯西Augustin-Louis

Cauchy

1789-1857法國(guó)數(shù)學(xué)家第五十二頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四柯西簡(jiǎn)介法國(guó)數(shù)學(xué)家27歲當(dāng)選法國(guó)科學(xué)院院士早在1811年就解決了拉格朗日向他提出的一個(gè)問(wèn)題：凸多面體的角是否被它的面所決定？柯西作了肯定的回答.這一直是幾何學(xué)中一個(gè)精彩的結(jié)果.在概率論中他給出了有名的柯西分布.然而他一生中最重要的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)在另外三個(gè)領(lǐng)域：微積分學(xué)、復(fù)變函數(shù)和微分方程.第五十三頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四柯西在代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、誤差理論以及天體力學(xué)、光學(xué)、彈性力學(xué)諸方面都有出色的工作，特別是他弄清了彈性理論的基本數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，為彈性力學(xué)奠定了嚴(yán)格的理論基礎(chǔ).在這三個(gè)領(lǐng)域中我們常常能見(jiàn)到以柯西名字命名的定理、公式和方程等:柯西積分定理;柯西積分公式;柯西-黎曼方程;柯西判別法則;柯西不等式;柯西初值問(wèn)題第五十四頁(yè)，共六十二頁(yè)，編輯于2023年，星期四《微積分在幾何上的應(yīng)用》1826年柯西的著作大多是急就章，但都樸實(shí)無(wú)華，有思想,有創(chuàng)見(jiàn).他所發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)立的定理和公式,往往是一些最簡(jiǎn)單、最基本的事實(shí).因而，他的數(shù)學(xué)成就影響廣泛，意義深遠(yuǎn).柯西是一位多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，一生共發(fā)表論文800余篇，著書(shū)7本.《柯西全集》共有27卷，其中最重要的為：《分析教程》1821年《無(wú)窮小分析教程概論》1823年第五十