第2章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ 第8節(jié) 函數(shù)與方程

第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ第8節(jié)函數(shù)與方程考試要求結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù).知識(shí)診斷基礎(chǔ)夯實(shí)內(nèi)容索引考點(diǎn)突破題型剖析分層訓(xùn)練鞏固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識(shí)診斷基礎(chǔ)夯實(shí)1知識(shí)梳理(1)函數(shù)零點(diǎn)的概念對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，把使______________的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn).(2)函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與______有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有______.(3)零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)y＝f(x)滿足：①在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線；②_____________.則函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的根.1.函數(shù)的零點(diǎn)f(x)＝0x軸零點(diǎn)f(a)·f(b)<02.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與x軸的交點(diǎn)____________________________無交點(diǎn)零點(diǎn)個(gè)數(shù)210(x1，0)，(x2，0)(x1，0)常用結(jié)論1.若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).函數(shù)的零點(diǎn)不是一個(gè)“點(diǎn)”，而是方程f(x)＝0的實(shí)根.2.由函數(shù)y＝f(x)(圖象是連續(xù)不斷的)在閉區(qū)間[a，b]上有零點(diǎn)不一定能推出f(a)·f(b)<0，如圖所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有零點(diǎn)的充分不必要條件.3.周期函數(shù)如果有零點(diǎn)，則必有無窮多個(gè)零點(diǎn).×診斷自測(cè)(1)函數(shù)f(x)＝lgx的零點(diǎn)是(1，0).(

)(2)圖象連續(xù)的函數(shù)y＝f(x)(x∈D)在區(qū)間(a，b)?D內(nèi)有零點(diǎn)，則f(a)·f(b)<0.(

)(3)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0時(shí)沒有零點(diǎn).(

)1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)解析(1)f(x)＝lgx的零點(diǎn)是1，故(1)錯(cuò)誤.(2)f(a)·f(b)＜0是連續(xù)函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)的充分不必要條件，故(2)錯(cuò)誤. ×√CA.(0，1) B.(1，2)C.(2，3) D.(3，4)2.函數(shù)f(x)＝x＋lnx－3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(

)解析∵f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(2)＝ln2－1<0，f(3)＝ln3>0，故f(x)在(2，3)上有唯一零點(diǎn)，故選C.BA.2 B.3 C.4 D.53.(2019·全國Ⅲ卷)函數(shù)f(x)＝2sinx－sin2x在[0，2π]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(

)解析由2sinx－sin2x＝0，得sinx＝0或cosx＝1.又x∈[0，2π]，由sinx＝0，得x＝0，π，2π.由cosx＝1，得x＝0，2π.∴f(x)＝0有三個(gè)實(shí)根0，π，2π，即f(x)在[0，2π]上有三個(gè)零點(diǎn).解析二次函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱軸為x＝1，若在區(qū)間(0，4)上存在零點(diǎn)，只需f(1)≤0且f(4)>0即可，即－1＋m≤0且8＋m>0，解得－8<m≤1.4.(易錯(cuò)題)若二次函數(shù)f(x)＝x2－2x＋m在區(qū)間(0，4)上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_____________.(－8，1]解析令函數(shù)f(x)＝2x＋3x－k，則f(x)在R上是增函數(shù).當(dāng)方程2x＋3x＝k的解在(1，2)內(nèi)時(shí)，f(1)·f(2)<0，即(5－k)(10－k)<0，解得5<k<10.又當(dāng)f(1)＝0時(shí)，k＝5.綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍是[5，10).6.(2021·唐山檢測(cè))方程2x＋3x＝k的解在[1，2)內(nèi)，則k的取值范圍是________.[5，10)KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點(diǎn)突破題型剖析2考點(diǎn)一函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判定A.(－1，0) B.(0，1)C.(1，2) D.(2，3)C故函數(shù)在(1，2)上有零點(diǎn).A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)B又f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上只有一個(gè)零點(diǎn)，且零點(diǎn)在(1，2)內(nèi).A.(a，b)和(b，c)內(nèi)

B.(－∞，a)和(a，b)內(nèi)C.(b，c)和(c，＋∞)內(nèi)

D.(－∞，a)和(c，＋∞)內(nèi)3.若a<b<c，則函數(shù)f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間(

)A解析∵a<b<c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可知，在區(qū)間(a，b)，(b，c)內(nèi)分別存在零點(diǎn).又函數(shù)f(x)是二次函數(shù)，最多有兩個(gè)零點(diǎn)，因此函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間(a，b)，(b，c)內(nèi).1所以f(1)f(2)<0，所以f(x)有唯一的零點(diǎn)x0∈(1，2)，所以n＝1.1.確定函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法：(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(diǎn).(2)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷.2.函數(shù)零點(diǎn)存在性定理只能判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的變號(hào)零點(diǎn)，不滿足條件時(shí)，一定要結(jié)合函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行分析判斷.感悟提升考點(diǎn)二確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)A.3 B.2 C.1 D.0B解得x＝－2或x＝e.因此函數(shù)f(x)共有2個(gè)零點(diǎn).法二函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，由圖象知函數(shù)f(x)共有2個(gè)零點(diǎn).解析法一∵f(0)f(1)＝(－1)×1＝－1<0，且函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增且連續(xù)，∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)有且只有1個(gè)零點(diǎn).法二設(shè)y1＝2x，y2＝2－x3，在同一坐標(biāo)系中畫出兩函數(shù)的圖象如圖所示，在區(qū)間(0，1)內(nèi)，兩圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)有且只有1個(gè)零點(diǎn).(2)函數(shù)f(x)＝2x＋x3－2在區(qū)間(0，1)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(

)A.0 B.1 C.2 D.3B解析由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝f(x)，知周期T＝2，令f(x)－|x|＝0，得f(x)＝|x|.A作出函數(shù)y＝f(x)與g(x)＝|x|的圖象如圖所示.由函數(shù)的圖象知，y＝f(x)－|x|有兩個(gè)零點(diǎn).函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法：(1)直接求零點(diǎn)，令f(x)＝0，有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)；(2)零點(diǎn)存在性定理，要求函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(3)利用圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出兩函數(shù)圖象，觀察其交點(diǎn)個(gè)數(shù)即得零點(diǎn)個(gè)數(shù).感悟提升解析當(dāng)x>0時(shí)，作出函數(shù)y＝lnx和y＝x2－2x的圖象，由圖知，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)有2個(gè)零點(diǎn)；A.1 B.2 C.3 D.4C解析在平面直角坐標(biāo)系中，分別作出y＝lg|x|與y＝sinx的圖象，如圖所示，(2)函數(shù)y＝lg|x|－sinx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________.6由圖可知，兩函數(shù)圖象共有6個(gè)交點(diǎn)，故原函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn).角度1根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)考點(diǎn)三函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用C解析作出函數(shù)f(x)的圖象如圖：因?yàn)殛P(guān)于x的方程f(x)＝2a恰有兩個(gè)不同實(shí)根，所以y＝2a與函數(shù)y＝f(x)的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，解析∵f(x)為偶函數(shù)，故f(2－x)＝f(x－2)，∴f(x＋2)＝f(x－2)，故f(x)的周期為4，∵f(x)－loga(x＋2)＝0有3個(gè)不同的解，∴f(x)的圖象與y＝loga(x＋2)的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，解∵2，3為方程x2＋bx＋c＝0的兩根，例3

函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c的兩個(gè)零點(diǎn)為2，3. (1)求b，c的值；角度2根據(jù)零點(diǎn)范圍求參數(shù)

解由(1)知f(x)＝x2－5x＋6，∴g(x)＝x2＋(m－5)x＋6，(2)若函數(shù)g(x)＝f(x)＋mx的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間(1，2)，(2，4)內(nèi)，求m的取值范圍.1.已知函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)，主要方法有：(1)直接求方程的根，構(gòu)建方程(不等式)求參數(shù)；(2)數(shù)形結(jié)合.2.已知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍，常利用數(shù)形結(jié)合法將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題，需準(zhǔn)確畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用圖象寫出滿足條件的參數(shù)范圍.感悟提升解析畫出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在R上有兩個(gè)零點(diǎn)，所以f(x)在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)有一個(gè)零點(diǎn)，需0<a≤1；當(dāng)x>0時(shí)，f(x)有一個(gè)零點(diǎn)，需－a<0，即a>0.綜上，0<a≤1.A解析由題意知，如圖，在(0，10)上，函數(shù)y＝|lgx|的圖象和直線y＝c有兩個(gè)不同交點(diǎn)，所以ab＝1，0<c<lg10＝1，所以abc的取值范圍是(0，1).(2)設(shè)實(shí)數(shù)a，b是關(guān)于x的方程|lgx|＝c的兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，且a<b<10，則abc的取值范圍是________.(0，1)嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問題微點(diǎn)突破

函數(shù)的零點(diǎn)是命題的熱點(diǎn)，常與函數(shù)的性質(zhì)和相關(guān)問題交匯.對(duì)于嵌套函數(shù)的零點(diǎn)，通常先“換元解套”，將復(fù)合函數(shù)拆解為兩個(gè)相對(duì)簡單的函數(shù)，借助函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解.解析設(shè)t＝f(x)，令f(f(x))－a＝0，則a＝f(t).在同一坐標(biāo)系內(nèi)作y＝a，y＝f(t)的圖象(如圖).當(dāng)a≥－1時(shí)，y＝a與y＝f(t)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t1，t2(不妨設(shè)t2>t1)，則t1<－1，t2≥－1.當(dāng)t1<－1時(shí)，t1＝f(x)有一解；當(dāng)t2≥－1時(shí)，t2＝f(x)有兩解.綜上，當(dāng)a≥－1時(shí)，函數(shù)g(x)＝f(f(x))－a有三個(gè)不同的零點(diǎn).[－1，＋∞)A.4 B.5 C.6 D.3A解析當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝4x3－6x2＋1的導(dǎo)數(shù)為f′(x)＝12x2－12x，當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，x>1時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，可得f(x)在x＝1處取得最小值，最小值為－1，且f(0)＝1，作出函數(shù)f(x)的圖象，g(x)＝3[f(x)]2－10f(x)＋3，可令g(x)＝0，t＝f(x)，當(dāng)t＝3時(shí)，可得f(x)＝3有一個(gè)實(shí)根，即g(x)有一個(gè)零點(diǎn)，綜上，g(x)共有四個(gè)零點(diǎn).FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分層訓(xùn)練鞏固提升3A級(jí)基礎(chǔ)鞏固在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)必有零點(diǎn)的區(qū)間為(

)A.(1，2) B.(2，3) C.(3，4) D.(4，5)1.已知函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，且有如下對(duì)應(yīng)值表：Bx12345f(x)－4－2147解析由所給的函數(shù)值的表格可以看出，x＝2與x＝3這兩個(gè)數(shù)字對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的符號(hào)不同，即f(2)·f(3)<0，所以函數(shù)在(2，3)內(nèi)有零點(diǎn).解析當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝－x－1，令f(x)＝0得x＝－1，故f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)為－1，當(dāng)a≠0時(shí)，則Δ＝1＋4a＝0，2.函數(shù)f(x)＝ax2－x－1有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為(

)DD解析當(dāng)x≤1時(shí)，令f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；又因?yàn)閤>1，所以此時(shí)方程無解.綜上，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)只有0.A.f(x0)＝0B.f(x0)>0C.f(x0)<0D.f(x0)的符號(hào)不確定又0<x0<a，∴f(x0)<f(a)＝0，即f(x0)<0.CA.2 B.3 C.4 D.55.函數(shù)f(x)＝x·cos2x在區(qū)間[0，2π]上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(

)D解析借助余弦函數(shù)的圖象求解.f(x)＝x·cos2x＝0?x＝0或cos2x＝0，BA.g(a)<0<f(b) B.f(b)<0<g(a)C.0<g(a)<f(b) D.f(b)<g(a)<07.(2022·渭南調(diào)研)設(shè)函數(shù)f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝lnx＋x2－3.若實(shí)數(shù)a，b滿足f(a)＝0，g(b)＝0，則(

)A解析易知函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，且f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，由f(a)＝0知0<a<1；函數(shù)g(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，g(1)＝－2<0，g(2)＝ln2＋1>0，由g(b)＝0知2>b>1，所以g(a)<g(1)<0，f(b)>f(1)>0，故g(a)<0<f(b).A.多于4個(gè) B.4個(gè)

C.3個(gè) D.2個(gè)8.(2021·惠州模擬)若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)＝x，則函數(shù)y＝f(x)－log3|x|的零點(diǎn)有(

)B解析分別作出y＝f(x)與y＝log3|x|的圖象如圖所示，由圖可知y＝f(x)與y＝log3|x|有4個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)y＝f(x)－log3|x|有4個(gè)零點(diǎn).解析令f(x)＝0?x＝－2或1.令f(f(x)＋m)＝0得f(x)＋m＝－2或f(x)＋m＝1，∴f(x)＝－2－m或f(x)＝1－m.作出y＝f(x)的圖象，如圖所示，y＝f(f(x)＋m)有四個(gè)零點(diǎn)，∴f(x)＝－2－m，f(x)＝1－m各有兩個(gè)根，[－3，－1)解析x1，x2分別是函數(shù)y＝ex，函數(shù)y＝lnx與函數(shù)y＝的圖象的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)，12.若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xlnx＝1的解，則x1x2＝________.1B級(jí)能力提升A.x1<x2<x3 B.x2<x1<x3C.x2<x3<x1 D.x3<x1<x2CA.mn＝1 B.mn>1 C.0<mn<1 D.以上都不對(duì)14.(2021·長郡中學(xué)調(diào)研)若函數(shù)f(x)＝|logax|－