2022屆高考文科數(shù)學(xué)考案函數(shù)與方程

§2.8函數(shù)與方程真題探究考綱解讀知識盤點典例精析例題備選命題預(yù)測基礎(chǔ)拾遺技巧歸納考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選

考點考綱解讀1函數(shù)零點與方程根結(jié)合二次函數(shù)的圖象,了

解函數(shù)零點與方程根的聯(lián)

系.2綜合應(yīng)用判斷一元二次方程根的存

在性及根的個數(shù).

以基本函數(shù)為命題對象,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性考查零點的存在性,零點所在的區(qū)間.而零點所在的區(qū)間問題與用二分法求方程的近似

解聯(lián)系緊密.將函數(shù)的零點與方程的根、不等式的解,函數(shù)的交點綜

合在一起考查,需借助函數(shù)關(guān)系才能加以解決.一般為選擇題、填空

題或解答題的某一問,解題時要注意數(shù)形結(jié)合的運用.考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選

1.對于函數(shù)y=f(x),使f(x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點.事實上,函

數(shù)y=f(x)的零點就是f(x)=0的實數(shù)根.2.方程f(x)=0有實根?函數(shù)y=f(x)與x軸有交點?函數(shù)y=f(x)有零點.3.如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)曲線,且有f(a)·f(b)<0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)有零點,即存在x0∈[a,b],使得f(x0)=0,

此時x0是方程f(x)=0的根.4.對于在區(qū)間[a,b]上連續(xù),且有f(a)·f(b)<0的函數(shù)y=f(x),通過不斷地把

函數(shù)y=f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個端點逐漸逼近

零點,進而得到零點的近似值的方法叫做二分法.考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選1.(2011年長春實驗中學(xué))函數(shù)f(x)=ex+x-2的零點所在的一個區(qū)間是

(

)(A)(-2,-1).

(B)(-1,0).(C)(1,2).

(D)(0,1).【解析】f(0)=1+0-2=-1<0,f(1)=e+1-2>0,∴f(x)在區(qū)間(0,1)存在零點.故選D.【答案】D考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選2.若關(guān)于x的方程

=kx+2只有一個實數(shù)根,則k的取值范圍為

(

)(A)k=0.

(B)k=0或k>1.(C)k>1或k<-1.

(D)k=0或k>1或k<-1.【解析】作直線y=kx+2的圖象和半圓y=

,從圖中可以看出:k的取值范圍應(yīng)選D.注:求與方程實數(shù)根個數(shù)有關(guān)的問題常用圖解法.【答案】D考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選3.(湖南省懷化市2011年高三第一次模擬)在用二分法求方程x3-2x-1=

0的一個近似解時,已經(jīng)將一根鎖定在區(qū)間(1,2)內(nèi),則下一步可斷定

該根所在的區(qū)間為

.【解析】令f(x)=x3-2x-1,f(1)=1-2-1=-2<0,f(2)=8-4-1=3>0,f(

)=

-4-1=-

<0,f(

)·f(2)<0,則下一步可斷定該根所在的區(qū)間為(

,2).【答案】(

,2)考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選4.(湖南省岳陽市2011屆高三教學(xué)質(zhì)量檢測二)函數(shù)f(x)=

則方程f(x)-x=0的解集為

.【解析】當(dāng)-1<x<2時,方程f(x)-x=0等價于1-x=0,∴x=1;當(dāng)x≤-1或x≥2時,方程f(x)-x=0等價于x2-x-1-x=0,∴x2-2x-1=0.∵x≤-1或x≥2,∴x=1+

.綜上:方程f(x)-x=0的解集為{1,1+

}.【答案】{1,1+

}考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選題型1函數(shù)與方程問題

例1

(1)(2011年福建福州三中)函數(shù)f(x)=ln

-

的零點一定位于下列哪個區(qū)間

(

)(A)(1,2).

(B)(2,3).

(C)(3,4).

(D)(4,5).(2)(2011年貴州銅仁一中)設(shè)函數(shù)f(x)=

若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,則關(guān)于x的方程f(x)=x的解的個數(shù)為

(

)(A)1.

(B)2.

(C)3.

(D)4.考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選(3)下列分別為四個函數(shù)的圖象,其中能用二分法求函數(shù)零點的是

(

)

【分析】(1)確定零點所在的區(qū)間的問題需借助端點值去分析;(2)分段函數(shù)求零點一般需要分區(qū)間求出對應(yīng)零點;(3)能用二分法求函數(shù)的零點,必須滿足在函數(shù)在[a,b](a<b)上是連續(xù)

函數(shù)且f(a)·f(b)<0.【解析】(1)f(1)=ln

-2<0,f(2)=ln3-1>0,∴f(x)在區(qū)間(1,2)上存在零點,故選A.考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選(2)∵f(-4)=f(0),f(-2)=-2,∴16-4b+c=c,且4-2b+c=-2,∴b=4,c=2,∴f(x)=

當(dāng)x>0時,x=4;當(dāng)x≤0時,x2+4x+2=x,∴x=-1或x=-2.∴f(x)=x的解的個數(shù)為3.(3)根據(jù)圖象可知只有B才可能使f(a)·f(b)<0.【答案】(1)A

(2)C

(3)B【點評】本題包含3個小題,屬于簡單的函數(shù)與方程問題,只需緊扣定義.其中(1)考查判斷零點區(qū)間的問題,(2)考查分段函數(shù)求零點問

題,(3)考查二分法運用的條件.考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選變式訓(xùn)練1

(1)函數(shù)f(x)=|x-2|-lnx在定義域內(nèi)零點的個數(shù)為

(

)(A)0.

(B)1.

(C)2.

(D)3.(2)已知函數(shù)f(x)=

則關(guān)于x的方程[f(x)]2+bf(x)+c=0有5個不同實數(shù)解的充要條件是

(

)(A)b<-2且c>0.

(B)b>-2且c<0.(C)b<-2且c=0.

(D)b≥-2且c=0.考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選(3)設(shè)m∈N,若函數(shù)f(x)=2x-m

-m+10存在整數(shù)零點,則m的取值集合為

.【解析】(1)當(dāng)x≥2時,f(x)=x-2-lnx,f'(x)=1-

=

>0,∴f(x)在[2,+∞)上是增函數(shù).當(dāng)0<x<2時,f(x)=-x+2-lnx,∴f(x)在(0,2)上是減函數(shù).f(2)=-ln2<0,而f(e-2)=2-e-2+2>0,f(e2)=e2-2-2>0,∴f(x)在定義域內(nèi)有2個零點.考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選(2)f(x)為偶函數(shù),當(dāng)x≠0時,f(x)≥2.因為關(guān)于x的方程[f(x)]2+bf(x)+c=0有5個不同實數(shù)解,所以[f(x)]2+bf(x)+c=0等價于x2+bx+c=0的解為x1=0,x2>2,

所以b<-2,且c=0.故選C.(3)由題中m∈N,若函數(shù)f(x)=2x-m

-m+10知,-5≤x≤10,又因為當(dāng)m≠0時

∈Z,于是x只能取0,6,1,10這四個數(shù)字,代入求的m∈{3,14,30};當(dāng)m=0時,x=-5也符合題意,于是m的取值集合為{0,3,14,30}.【答案】(1)C

(2)C

(3){0,3,14,30}考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選?例2已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.題型2二次方程根的問題(1)若方程有兩根,其中一根在區(qū)間(-1,0)內(nèi),另一根在區(qū)間(1,2)內(nèi),求

實數(shù)m的取值范圍;(2)若方程的根均在(0,1)內(nèi),求實數(shù)m的取值范圍.【分析】利用根所在的區(qū)間結(jié)合二次函數(shù)的圖象分析參數(shù)的取值

范圍,注意端點處的值是否有等號.【解析】(1)令f(x)=x2+2mx+2m+1,函數(shù)f(x)開口向上,∵方程有兩根,其中一根在區(qū)間(-1,0)內(nèi),另一根在區(qū)間(1,2)內(nèi),考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選∴

∴

∴-

<m<-

.∴實數(shù)m的取值范圍為(-

,-

).(2)方程的兩根均在(0,1)內(nèi),函數(shù)f(x)的對稱軸為x=-m,∴

即

考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選∴-

<m≤1-

,∴實數(shù)m的取值范圍為(-

,1-

].∴

【點評】一元二次方程與二次函數(shù)的聯(lián)系體現(xiàn)了方程與函數(shù)的結(jié)

合,從二次函數(shù)的開口方向,與x軸的交點,對稱軸的位置,區(qū)間端點處

的函數(shù)值符號四個方面去列式,再通過解不等式組求出相應(yīng)參數(shù)的

取值范圍.考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選變式訓(xùn)練2已知關(guān)于x的方程2ax2+2x-3-a=0(a∈R)在區(qū)間[-1,1]上有

解,求實數(shù)a的取值范圍.【解析】當(dāng)a=0時,方程為2x-3=0,即x=

?[-1,1],∴a≠0.當(dāng)a≠0時,令函數(shù)f(x)=2ax2+2x-3-a(a∈R),對稱軸為x=-

.Δ=4+8a(3+a)=4(2a2+6a+1)≥0,∴a≥

或a≤

,∴f(-1)·f(1)≤0或

或

考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選∴1≤x≤5或

或

∴a≤

或a≥1,∴實數(shù)a的取值范圍為(-∞,

)∪[1,+∞).考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選?例3函數(shù)f(x)是以2為周期的偶函數(shù),且當(dāng)x∈[0,1]時,f(x)=x.若在區(qū)間[-1,3]上,函數(shù)g(x)=f(x)-kx-k有4個零點,求實數(shù)k的取值范圍.【分析】根據(jù)函數(shù)f(x)是以2為周期的偶函數(shù),作出函數(shù)在[-1,3]上的

圖象.函數(shù)g(x)=f(x)-kx-k有4個零點,可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)與y=kx+k圖象

的交點問題.【解析】函數(shù)f(x)是以2為周期的偶函數(shù).且當(dāng)x∈[0,1]時,f(x)=x.題型3函數(shù)的零點考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選在區(qū)間[-1,3]上,f(x)的圖象如圖所示,函數(shù)g(x)=f(x)-kx-k有4個零點,∴f(x)與直線y=kx+k有4個交點.直線y=kx+k過定點(-1,0),∴k>0,且3k+k≤1;∴0<k≤

.∴實數(shù)k的取值范圍為(0,

].【點評】本題考查函數(shù)的周期性、奇偶性以及運用數(shù)形結(jié)合的方

法解決函數(shù)零點的問題.需要把函數(shù)g(x)的零點轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的

圖象的交點問題.從而通過數(shù)形結(jié)合解決問題,需要轉(zhuǎn)化的能力,同時還要抓住y=kx+k過定點來控制直線的圖象.考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選變式訓(xùn)練3分析函數(shù)f(x)=|1-x|-kx的零點個數(shù).【解析】設(shè)y=|1-x|,y=kx,則函數(shù)y=|1-x|的圖象與y=kx的圖象交點的個數(shù)就是函數(shù)f(x)=|1-x|-kx

的零點個數(shù).由右邊圖象可知:考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選當(dāng)-1≤k<0時,兩函數(shù)圖象沒有交點;當(dāng)k=0或k<-1或k≥1時,兩函數(shù)圖象只有一個交點;當(dāng)0<k<1時,兩函數(shù)圖象有兩個不同的交點.綜上:當(dāng)-1≤k<0時,函數(shù)f(x)=|1-x|-kx沒有零點;當(dāng)k=0或k<-1或k≥1時,函數(shù)f(x)=|1-x|-kx有一個零點;當(dāng)0<k<1時,函數(shù)f(x)=|1-x|-kx有兩個零點.

考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選1.求函數(shù)的零點可能與特殊值有關(guān),或者直接解方程求解;分析函數(shù)

零點所在的區(qū)間常用二分法.2.關(guān)于函數(shù)交點個數(shù)問題或函數(shù)零點個數(shù)問題,常用數(shù)形結(jié)合分析

求參數(shù)的取值范圍.3.利用導(dǎo)數(shù)分析零點的個數(shù),與利用數(shù)形結(jié)合分析零點的個數(shù)相得

益彰,注意兩種方法的優(yōu)缺點.

考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選1.(2011年北京卷)已知函數(shù)f(x)=

若關(guān)于x的方程f(x)=k有兩個不同的實根,則實數(shù)k的取值范圍是

.【解析】在同一坐標(biāo)系下作出f(x)的函數(shù)圖象,易得到k∈(0,1).【答案】(0,1)考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選2.(2011年山東卷)已知函數(shù)f(x)=logax+x-b(a>0,且a≠1),當(dāng)2<a<3<b<4

時,函數(shù)f(x)的零點x0∈(n,n+1),n∈N*,則n=

.【解析】方程logax+x-b=0(a>0且a≠1)的根為x0,即函數(shù)y=logax(2<a<

3)的圖象與函數(shù)y=-x+b(3<b<4)的圖象的交點橫坐標(biāo)為x0,且x0∈(n,n+

1),n∈N*,結(jié)合圖象,f(2)=loga2+2-b,因為2<a<3,所以0<loga2<1,所以f

(2)<3-b<0;f(3)=loga3+3-b,因為2<a<3,所以loga3>1,所以f(3)>4-b>0,所

以n=2.【答案】2考綱解讀命題預(yù)測知識盤點典例精析技巧歸納真題探究基礎(chǔ)拾遺例題備選?例1

(2011年廣東廣州市)如果函數(shù)f(x)=|x|+

-

(a>0)沒有零點,則實數(shù)a的取值范圍為

(

)(A)(0,1).

(B)(0,1)∪(

,+∞).(C)(0,1)∪(2,+∞).

(D)(0,

)∪(2,+∞).【解析】由題知0≤x2≤a,f(x)=|x|+

-

=

+

-

=