電磁場中地逆問題

電磁場中的逆問題周開0510318∫首先介紹一下逆問題

簡單概括的定義，逆問題就是由果求因問題其特點(diǎn)：

（1）逆問題通常是病態(tài)的或不適定的。（2）他是由“部分信息”求“全部信息”。

（3）逆問題研究必須建立在對正問題透徹研究的基礎(chǔ)之上。其中的問題病態(tài)是指：①沒有任何原因會造成某結(jié)果；②不同的原因造成相同的結(jié)果；③差別很大的原因造成特別相似的結(jié)果；逆問題的分類從應(yīng)用的角度，逆問題可分為兩類：㈠優(yōu)化設(shè)計問題；㈡參數(shù)識辨問題；逆問題的信息量

一方面，信息的量對逆問題的求解至關(guān)重要，信息越多解就被刻畫得越精確，更多的位解就被排除，可能解集就越小。另一方面，信息的“質(zhì)”回顯著影響信息的“量”。逆問題的研究目前，人們主要從以下兩方面進(jìn)行研究：一方面，從嚴(yán)格數(shù)學(xué)模型出發(fā)，討論解的存在性和唯一性理論。另一方面，從合理定義正則解開始，將問題轉(zhuǎn)化為某個泛函的極小值問題，再設(shè)定一些先驗條件作為級值問題的約束條件。

與逆問題一樣，電磁場中的逆問題從應(yīng)用的角度也可分為兩類：優(yōu)化設(shè)計問題和參數(shù)識辨問題。其中優(yōu)化設(shè)計問題又稱為綜合問題。這兩類不同的是：優(yōu)化設(shè)計問題一般不要求解的唯一性但要求解的存在性，而參數(shù)識辨問題卻需要給出和客觀實(shí)際吻合的唯一解。電磁場中的逆問題電磁場中的逆問題概述優(yōu)化設(shè)計問題按求解對象的不同又可大致分為：源綜合，邊界條件綜合，材料性質(zhì)綜合和形狀綜合問題；參數(shù)綜合問題則可分:位置識辨，形狀識辨和媒質(zhì)參數(shù)（如電導(dǎo)率，介電常數(shù)，復(fù)等效介電常數(shù)等）識辨等。優(yōu)化問題：通常表述為

電磁場中逆問題求解方法概述其中x為待優(yōu)化的參數(shù)組，0為目標(biāo)函數(shù)，即我們要找出使F取值最小的x（最優(yōu)解）情況下，很難直接求解該問題，而是轉(zhuǎn)而通過迭代過程，即多次計算不同的x所對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值，來逐步逼近最優(yōu)解。一般其中很容易想到的辦法是窮舉法，即逐一計算所有可能的解的目標(biāo)函數(shù)，然后找出哪個（那些）目標(biāo)函數(shù)值最小的解。窮舉法原理很簡單，但當(dāng)列舉量無窮大或隨解空間維數(shù)劇烈增長時，窮舉法理論上或?qū)嶋H上是行不通的。為了避免“窮舉”，可以在迭代過程中根據(jù)一定的策略，只選舉部分可能解進(jìn)行“實(shí)驗”以得到或逼近最優(yōu)解。根據(jù)不同的策略，可以將優(yōu)化問題的求解方法分為兩類：（一）確定性方法；（二）隨機(jī)性方法；確定性方法確定性方法是指在迭代過程中根據(jù)每步迭代所確定的搜索方向與步長而一步一步的進(jìn)行搜索，當(dāng)前步迭代解所對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值一定比前一次迭代解對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值要小。不同的確定性方法主要就是指搜索方向不同，如最速下降法，共軛梯度法，擬牛頓法等。確定性方法是靠當(dāng)前搜索位置的鄰域的特點(diǎn)來確定下一步的搜索位置（同時也實(shí)現(xiàn)了非線性問題的局部線性化），所以本質(zhì)上是一種局部尋優(yōu)，

它們尋找局部最優(yōu)解的效率很高，單在多值問題中幾乎不具備尋找全局最優(yōu)解的能力，除非給其提供一個合適的初始猜測解，但在沒有相關(guān)先驗信息的條件下，這幾乎是不可能的。確定性方法的另一個缺點(diǎn)是需要知道目標(biāo)函數(shù)的一階或二階導(dǎo)數(shù)，這通常要求目標(biāo)函數(shù)不太復(fù)雜并具有解析表示，此外還導(dǎo)致了很大的計算量，并且有時目標(biāo)函數(shù)本身并不可導(dǎo)。另一方面，由于逆問題的病態(tài)往往會

遺傳到優(yōu)化問題當(dāng)中，所以確定性方法的每步迭代過程中一般還需要加入正則化處理，否則計算誤差會相當(dāng)大，甚至使迭代無法進(jìn)行下去。隨機(jī)性方法隨機(jī)性方法又稱蒙特卡羅法（MonteCarlo），是指在每步迭代中都有（偽）隨機(jī)數(shù)參與了當(dāng)前迭代解的生成，或者說搜索方向和步長具有隨機(jī)性.蒙特卡羅法分為傳統(tǒng)蒙特卡羅法和現(xiàn)代蒙特卡羅法.傳統(tǒng)蒙特卡羅法進(jìn)行完全隨機(jī)的“盲目”搜索,即認(rèn)為所有可能解等概率地出現(xiàn),其列舉量較窮舉法小，但代價是無法保證找到最優(yōu)解，只能找出滿足給定條件的部

分解集；然后可以總結(jié)出這些解的共性，并認(rèn)為這些共性反映了觜游街的特點(diǎn)。現(xiàn)代蒙特卡羅法則是有指導(dǎo)地進(jìn)行隨機(jī)搜索，它讓不同的可能解具有不同的出現(xiàn)概率。它是啟發(fā)式的，是對傳統(tǒng)蒙特卡羅法的發(fā)展?，F(xiàn)代蒙特卡羅法的典型代表是遺傳算法，模擬退火法等。對比確定性方法，蒙特卡羅法的優(yōu)點(diǎn)在于：

（一）普適性強(qiáng)，不需要區(qū)分代求問題是線性的還是非線性的，是病態(tài)的還是良態(tài)的；

（二）可以處理正算子非常復(fù)雜或無法用解析式表示的問題；（三）具有較強(qiáng)的全局尋優(yōu)能力。其缺點(diǎn)是計算量通常較大，且隨問題階數(shù)劇烈增長。目前看來，以遺傳算法為代表的隨機(jī)搜索方法在求解優(yōu)化設(shè)計問題時較為有效，因為：此類問題通常未知量較少；不要求解唯一性。但逆散射等參數(shù)識辨問題往往因分辨率的要求而未知量較多，且需找出與客觀實(shí)際相符合的為一解，此時增加信息量（包括先驗信息和測量信息）是首要問題，其次是上快速而穩(wěn)定的算法。下面舉兩個逆問題的例子（一）電阻抗成相如下圖所示，通過置于導(dǎo)體（區(qū)域Ω所示）表面的電極s給導(dǎo)體注入電流I，測量導(dǎo)體表面的電位Φ，由此求導(dǎo)體內(nèi)的電導(dǎo)率分布б。該問題的簡化數(shù)學(xué)模型為

，在Ω內(nèi)，在邊界上其中j為邊界上電流密度的法向分量，應(yīng)滿足電荷守恒定，率且它與I的關(guān)系為可以看到這是一個橢圓形偏微分方程的參數(shù)識辨問題，相應(yīng)的正問題則是以知Ω內(nèi)的б分布及邊界上的內(nèi)法向電流密度j，求Ω內(nèi)的電位分布。逆散射（inversescattering）問題逆散射問題是指，以知入射波入射某散射體（被測物體），通過測量散射體激發(fā)的二次場（散射場），來重建散射體的形狀與內(nèi)部結(jié)構(gòu)，如下圖所示，Ω1為包含散射體的計算區(qū)域，Ω2為（均勻）背景媒質(zhì)區(qū)域，其波長為k，則總場u在區(qū)域Ω2內(nèi)滿足齊次亥姆霍方程而散射場滿足Sommerfeld輻射條件,當(dāng)時于是它具有如下的漸進(jìn)性質(zhì)當(dāng)時其中函數(shù)定義在單位球面上，成為散射波的遠(yuǎn)場模式（farfieldPattern）。

這里談到的“波”既可以是電磁波也可以是聲波等。